三角函數中最值問題解法探究

◇　云南　閔　敏　韋　歡

北京　童嘉森2(特級教師)

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三角函數中最值問題解法探究

◇云南閔敏1韋歡1

北京童嘉森2(特級教師)

三角函數最值問題是三角函數中的基本內容,也是難點之一,對三角函數恒等變換、綜合應用能力要求較高.該內容重點考查學生轉化與化歸、函數與方程、數形結合等數學思想的應用,有一定的靈活性,要求學生具備一定的分析問題、解決問題、運算求解的能力,突破此內容要靠平時多積累．筆者歸納了求三角函數值域的3種方法與讀者分享.

1　用三角方法求三角函數的最值

2　用代數方法求三角函數的最值

y=1-sin2x+2asinx=

-(sinx-a)2+a2+1.

若a>1,則當sinx=1時,

ymax=-(1-a)2+a2+1=2a.

若-1≤a≤1,則當sinx=a時,

ymax=-(a-a)2+a2+1=a2+1.

若a<-1,則當sinx=-1時,

ymax=-(-1-a)2+a2+1=-2a.

所以

故

方法2y=sinx·cosx+sinx+cosx=

方法2y=cos3x+sin2x-cosx=cos3x+1-cos2x-cosx.

令cosx=t(-1≤t≤1),則

y=t3-t2-t+1(-1≤t≤1),

y′=3t2-2t-1=(t-1)(3t+1),

1) y=asin2x+bsinx+c

或

y=acos2x+bcosx+c(a≠0),

可通過令t=sinx或t=cosx轉化為關于t的二次函數在區間[-1,1]上的最值.

3)y=a(sinx±cosx)+bsinx·cosx.

把三角問題轉化為代數問題解決.

以上3種形式可統稱為換元法,換元后一定要注意“新元”的取值范圍.

3　用解析法求三角函數的最值

圖1

2sinx+(3-y)cosx=4-2y.

設 a=(2,3-y),b=(sinx,cosx).

由柯西不等式的向量形式|a·b|≤|a||b|得