觀函數發展史，思變量之對應

陳燕

【摘要】在函數教學中滲透函數發展史，有助于學生理解函數的概念，幫助學生理解函數的對應關系，從生活中選取實例，讓學生體會常量與變量的對應關系無處不在，函數關系來源于生活，服務于生活。

【關鍵詞】函數 對應 數學史 教學設計

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）20-0233-02

教學內容

人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》八年級下冊第十九章“函數”第一課時。

人教版教科書先通過章引言讓學生體會變化的世界及研究這些變化規律的函數方法。具體內容的展開從變量開始，結合實例介紹變量和常量的意義，并在此基礎上逐步抽象函數的概念。在介紹函數概念時，先研究能用數學式子表示的變量關系，讓學生通過公式計算和列表，歸納其共同特征，即兩個變量的相互聯系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量有唯一確定的值與之對應，即解析式法。接著，讓學生觀察用圖像和表格表示的變量關系，讓學生體會函數概念的確定方法也可以通過圖像和表格的方式進行。

在變量與常量的教學中要創設各種變化的情境讓學生深刻體會到運動變化的普遍性。在此基礎上重點引導學生用數量描述變化過程（這是用數學方法研究運動變化過程的必然要求）。函數的概念的教學是本節的核心內容.教學中需要讓學生體會到，雖然萬物變化，但變化往往是有規律的，對變量之間相互依存關系的研究是把握變化規律的需要。

教學目標

1.知識與技能目標：

（1）探索簡單實例中的數量關系和變化規律，了解常量、變量的意義。

（2）結合實例，了解函數的概念和三種表示法，能舉出函數的實例。

（3）能結合圖像對簡單實際問題中的函數關系進行分析。

2.過程與方法目標：

引導學生探索實際問題中的數量關系，在解決問題的過程中體會數學的應用價值。

3.情感、態度與價值觀目標：

通過觀函數2000多年的發展史，培養學生對函數學習的興趣，學生在解決問題的過程中體會數學的應用價值，幫助學生建立數學學習的自信心。

教學重點

常量與變量概念的形成過程，理解“一一對應”的含義。

教學難點

通過函數概念的辨別和舉例說明，讓學生深刻理解函數概念中的變化和對應。

教學流程

1.能找出簡單實例中的數量關系，理解其中的變化規律，并指出其中的常量與變量.了解在一個變化過程中，數值變化的量為變量，數值始終不變的量為常量.能舉例說明常量與變量。

2.能結合實例，借助圖像、表格、式子等工具，用“運動變化與聯系對應”的觀點認識變量，理解兩個變量之間的單值對應關系，即當一個變量取定一個值時，單值對應有兩重含義：（1）另一個變量有對應值。（2）對應值只有一個。體會兩個相關變量的不同等性，即先對其中的一個賦值，再考慮另一個的對應值，前者在變化過程中處于主動地位，后者隨前者的變化而變化，后者為前者的函數。

了解列表法、解析法、圖像法是函數的常用三種表示方法，知道各種表示方法的不同長處，列表法可以清楚地列出一些自變量和函數的對應值，對某些特定的數值帶來一目了然的效果；解析法可以從數量關系角度明確自變量與函數的對應關系；圖像法可以直觀形象地反映函數的變化趨勢，能選用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系。

能結合生活中關于函數的問題情境，舉出函數實例，分析其中哪個量是自變量，哪個量是函數，它們之間是如何對應的，讓抽象的數學概念具體化。

教學活動

活動1：觀看視頻《函數發展的2000年》（視頻來源：洋蔥數學），了解函數的發展史，幫助學生理解函數的概念。

古希臘時期，人們從對運動的認識中產生了變量和函數意識的萌芽。14世紀，奧雷斯姆想把速度用圖像表示出來，于是用水平線的點表示時間，稱為經度；豎直線上的點表示速度，稱為緯度。然后用一條線段描述了速度逐漸減少到0的運動，在函數沒有精確定義前，圖像已經出現。

200多年后，隨著科學的發展，加快了歷史的進程，人們認識到運動變化的現象大量存在，天文、航海、制圖中出現了大量運動變化的問題需要解決，這些問題中都有函數的影子。笛卡爾引入了變量這一概念，萊布尼茨創造了函數一詞，他認為函數由變量和常數共同組成的，他的學生伯努利強調函數一定要用公式來表示（解析式），但后來數學家們認為不應該把函數局限于只能用公式來表達，而應該體現“只要一些變量變化，另一些變量也隨之變化”。

1755年歐拉把函數定義為：如果某些變量，以某一種方式依賴另一些變量，也就是當后面的這些變量變化時，前面的這些變量也隨著變化，我們就把前面的變量稱為后面變量的函數，例如：y=kx+b（k≠0），在這個函數的定義里，公式的地位被削弱了，變化的地位被突顯出來。1837年，德國數學家狄利克雷認為怎樣去建立兩個變量之間的關系，也就是x與y之間的關系并不重要，只要對于每一個x都存在與之相對應的唯一的y，則y就是x的函數，這些定義抓住了函數概念的本質，事實上，函數就是研究兩個變量之間的對應關系。

活動2：交流互動（形成概念）：通過四個實例的分析，讓學生初步認識變量常量，得出變量、常量的概念。

問題1：汽車以60 km/h的速度勻速行駛，行駛路程為s km，行駛時間為t h，填寫下表，s的值隨t的值的變化而變化嗎？

問題2：電影《瘋狂動物城》每張票售價為30元，購買3張票花費多少元？購買10張票花費多少元？若購買的電影票數量為x張，共花費y元，y的值隨x的值的變化而變化嗎？

問題3：用10米長的繩子圍一個矩形，當矩形的一邊長分別為3米，3.5米，4米，4.5米時，它的鄰邊分別為多少？若矩形的長為x米，寬為y米，y的值隨x的值的變化而變化嗎？

問題4：美麗的水中漣漪圖中，圓形水波紋慢慢地擴大，在這一過程中，當圓的半徑r分別為10cm，20cm，30cm時， 圓的面積S分別為多少？請用含r的式子表示S。

活動3：鞏固練習（加深理解）：通過練習進一步理解變量與常量概念， 能正確判斷出某個變化中的常量和變量。

指出下列變化過程中的常量和變量：

（1）購買一些單價為0.5元/支的鉛筆，總價y隨購買支數x的變化而變化。

（2）已知三角形底邊長為8cm，高h可任意伸縮，面積S隨h的變化而變化。

（3）看一本200 頁的小說，看完這本小說需要t天，平均每天所看的頁數n隨t的變化而變化。

活動4：體會兩個變量關系的表示方法。

問題5：《韶關日報》全年定價288元（360期），若學校去年底訂閱了今年全年的《韶關日報》為x份，總費用為y元。

（1）若x為10，y為多少？若x為20，y為多少？

（2）上述問題中的常量是什么？變量是什么？

（3）請用含x 的式子表示y。

問題6：目前，韶關90號汽油價格為每升7.17元，若所加汽油的量為x升，油費為y元。

（1）若x為20升，y為多少元？若x為40元，y為多少元？

（2）上述問題中的常量是什么？變量是什么？

（3）請用含x的式子表示y。

問題7：下面是中國代表團在第23 屆至30 屆夏季奧運會上獲得的金牌數統計表，屆數和金牌數可以分別記作 x 和 y，對于表中每一個確定的屆數 x，都對應著一個確定的金牌數 y 嗎？

問題8：如圖是北京某天的氣溫變化圖，你能根據圖像說出某一時刻的氣溫嗎？

歸納：兩個變量關系的表示方法有公式（解析式）、列表、圖像三種常用方式。

活動5：觀看視頻《中國最美城鎮——韶關》，并嘗試找出視頻中的變量關系。

學生帶著問題觀看視頻，并以小組為單位討論視頻中存在的變量關系，每組選派代表展示討論結果。

學生的展示舉例：1.隨著年代的變化，韶關地區客家圍村的數量也在變化。

2.視頻中，家鄉的風光照片很美，這些照片的拍攝，隨著相機焦距的變化，圖片成像大小也在變化。

3.隨著游客人數的變化，景點門票的總費用也在變化。

小結拓展

1.函數關系中有兩個變量；

2.一個變量變化，另一個變量隨之變化；

3.一個變量取定一個值， 隨之變化的變量有唯一確定的對應值；

4.可以用圖像、表格、式子三種方式來表達函數關系。

作業設計

1.舉例說明生活中的函數關系，并指出變量之間的對應關系；

2.預習19.1函數（第2課時）。

教學反思

本節課主要針對粵北鄉鎮學生而設計，選用較多當地的生活情境，幫助學生理解函數的概念及變量之間的對應關系，鼓勵學生積極發言，學生通過積極回應老師的提問而更專注地投入學習，通過設計教學活動，幫助學生辨別函數概念，學生對于變量之間對應關系的舉例說明，十分精彩。學生觀看視頻《中國最美城鎮——韶關》后，通過小組合作，討論視頻中的變量對應關系，十分出彩，使學生在下課后仍回味反思。