貝葉斯公式的妙用

周坤　黃恒　趙華　滕興虎

摘 要：本文利用貝葉斯公式對三門問題和潛艇區域搜索這兩類經典問題進行了巧妙求解，以便于幫助讀者理解貝葉斯公式在實際中的應用。

關鍵詞：貝葉斯公式；全概率公式；三門問題；潛艇區域搜索

貝葉斯公式是概率論中極為重要的公式，它以其靈活的特性與簡潔的表達方式，受到了廣泛重視。正確運用貝葉斯公式，有助于把握隨機事件之間的相互影響，為我們解決復雜問題提供方便。然而，多數教材對貝葉斯公式的探討并不深入，公式的應用形式也過于單調。讀者在學習過程中，通常只是簡單地套用公式，對于貝葉斯公式的本質并沒有徹底理解。本文將結合三門問題和潛艇區域搜索問題，巧妙利用貝葉斯公式深入探究其本質，幫助讀者更好地掌握與應用貝葉斯公式。

一、三門問題

三門問題亦被叫做“蒙提霍爾悖論”，問題如下：

電視臺的一個抽獎節目。臺上有三扇門，一扇后邊有汽車，其余兩扇后邊是山羊。主持人讓參與者任意選擇其中一扇門。然后，他將打開其余兩扇門中的一扇，參與者看到是山羊。這時，他讓參與者重選（主持人知道哪扇門后面有車）。也就是說，參與者可以在剩下的門中重新再選一扇。那么，參與者該不該選？

自從該問題1991年1月在美國《檢閱》雜志刊登發表后就引起了廣泛熱議，許多人給出了他們自己的解法，如基于條件期望的方法、窮列舉法等。下面我們采用貝葉斯公式對該問題的答案進行一個新的解釋。

設三扇門分別為A門、B門、C門，假設抽獎人打開A門，三扇門后面是車的概率都為1/3。主持人知道哪扇門后面有車，設主持人打開C門的概率為P（openC），基于電視臺利益的考慮，主持人打開的一定是羊門。

如果車在A門后面，則主持人有B、C兩種選擇，打開C門概率為：P（openC|A）=；如果車在B門后面，則主持人沒有選擇，只能打開C門，打開C門的概率為：P（openC|B）=1；如果車在C門后面，則主持人沒有選擇，絕對不能打開C門，打開C門的概率為：P（openC|C）=0。

因為A，B，C三個事件是樣本空間車所在位置的一個劃分，根據全概率公式P（openC）=P（openC|A）P（A）+P（openC|B）P（B）+P（openC|C）P（C），解得P（openC）=。

根據貝葉斯公式，在主持人打開C門的條件下，A、B兩門后面是車的概率分別為：

因此，在主持人知道內幕的情況下，抽獎者應該換門。若主持人不知道哪扇門后面有車，則同樣可運用貝葉斯公式進行求解。但在絕大多數情況下，主持人對車的位置是了解的，所以本文不再對主持人不知情的情況進行詳細求解。

三門問題是一個極易產生“認知錯覺”的問題，對該問題進行探討和解決，將有助于提高我們的邏輯思辨能力。本文從歸納推理的角度，利用貝葉斯公式對其進行了再分析，從而獲得了三門問題的合理答案。

二、潛艇區域搜索問題

該問題改編自美國某潛艇失蹤的實例：一艘潛艇因意外事故在甲、乙、丙3個區域之一失蹤，相關部門判斷其概率分別為1/2，1/3，1/6。搜救人員對這些區域進行搜索，若有潛艇，則每個區域發現潛艇的概率分別為1/2，2/3，1/4。現在對甲區域搜索后未找到潛艇，求潛艇在甲、乙、丙3個區域失蹤的概率分別是多少。

解：設事件A、B、C分別為搜索甲、乙、丙區域未找到潛艇，事件D1、D2、D3分別為潛艇失蹤在甲、乙、丙3個區域，根據題意，得：

P（D1）=，P（D2）=，P（D3）=，則：

P（A| D1）=，P（A| D2）=1，P（A| D3）=1，由貝葉斯公式可得：

這是經過一次預估后所得的結果，如果一個區域被搜索后，沒有發現潛艇的蹤跡，按照貝葉斯公式，這個區域潛艇存在的概率就會降低，即：

其中p是潛艇位于該區域的概率，q是潛艇在這個區域的條件下，它被搜索到的概率。如果此次搜尋未搜索到失蹤潛艇，則說明甲區域潛艇存在的概率會降低；若在第二次搜尋時，仍采取原預估概率，則搜索成功的概率會降低，所以我們以所求概率代替原預估概率，得到的新預估概率如下表所示：

若將區域擴展至n個，則每次尋找時會挑選所有區域內潛艇存在概率值最高的一個區域進行搜索。如果在該區域內沒有發現潛艇，可把利用貝葉斯公式求得的結果作為新預估概率，以新概率替換原有概率，然后搜索新概率中概率值最大的區域。周而復始，直到找到潛艇為止，其操作流程圖如下圖所示。

以上我們利用貝葉斯公式，將潛艇搜索這一較為復雜的問題進行了巧妙的求解。通過對數據的反復更新，準確地把握了各個事件間的相互影響關系，抓住了問題的關鍵。

三、結語

貝葉斯公式的意義在于，根據事件的結果可以探尋引起該事件發生的原因，即“執果求因”。本文利用貝葉斯公式，對三門問題和潛艇區域搜索問題從新的視角進行了再探究，詳細闡述了貝葉斯公式在求解現實世界中復雜事件概率的妙用。此外，貝葉斯公式在投資、保險、工程、生產等諸多領域也都有著重要作用，能夠為生產實踐提供有價值的決策支持。靈活掌握貝葉斯公式，定會給我們的決策帶來很大方便。

參考文獻：

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[3]王洪春.貝葉斯公式與貝葉斯統計[J].重慶：重慶科技學院學報，2010.