從提問(wèn)的視角優(yōu)化學(xué)生算法
——一道課本改編題的算法探究*

●郭建華　王　偉

(南京市第二十九中學(xué)　江蘇南京　210036)

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從提問(wèn)的視角優(yōu)化學(xué)生算法

——一道課本改編題的算法探究*

●郭建華王偉

(南京市第二十九中學(xué)江蘇南京210036)

課本是高三學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要載體和依據(jù)，拓展研究教材能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更為靈活，充分培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，拓寬學(xué)生學(xué)習(xí)的視野.文章從課堂提問(wèn)的視角，對(duì)教材中的一個(gè)例題進(jìn)行改編和探究，不僅從提問(wèn)中優(yōu)化學(xué)生的算法，挖掘例題和習(xí)題的潛能，也讓高三的數(shù)學(xué)課堂變得高效和有趣.

課堂提問(wèn)；優(yōu)化算法；提升思維

課本是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的主要依據(jù)，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)性、思想性以及新課程理念，因此高三復(fù)習(xí)要用“好”課本，用“活”課本.許多高考題來(lái)源于課本中的例題或習(xí)題，原因是課本中的例題和習(xí)題不僅浸潤(rùn)著編者的意圖和心血，而且蘊(yùn)含著考查學(xué)生能力的數(shù)學(xué)思想和精妙的解法和算法，因此課本在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中占有舉足輕重的地位，挖掘例題和習(xí)題的潛能是十分必要的.對(duì)于習(xí)題的教學(xué),教師要引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的過(guò)程[1].筆者從提問(wèn)的視角，通過(guò)渲染課堂氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生參與課堂，在交流和探究中優(yōu)化學(xué)生的算法，讓高三的數(shù)學(xué)課堂變得真正高效和有趣.

1　問(wèn)題的提出

圖1

題目如圖1，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊△ABC，當(dāng)∠ABO變化時(shí)，求線段OC的最大值？

在高三復(fù)習(xí)課上，筆者對(duì)蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)5(必修)》第19頁(yè)例4進(jìn)行改編，從提問(wèn)的視角談?wù)剬?duì)學(xué)生算法的優(yōu)化.

2　算法的優(yōu)化

生1：設(shè)∠ABO=θ(其中0<θ<π)，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，在△OBC中，由余弦定理，得

在△OAB中，由余弦定理，得

4=1+a2-2acosθ，

(1)

從而

(2)

(3)

將式(1)和式(2)代入式(3)，得

現(xiàn)在遇到的困難是不知道怎么求OC的最大值.

師：目標(biāo)看起來(lái)比較復(fù)雜，你能否把它整理一下，看看是否會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生1：目標(biāo)可化為

師：很好，目標(biāo)看上去很整齊，你現(xiàn)在的困惑是什么?

師：想想我們以前是如何處理二次根式的？

生1：常用換元法或平方法.

生1和其他同學(xué)開(kāi)始嘗試用換元法求解.

師：現(xiàn)在生1希望目標(biāo)函數(shù)中不出現(xiàn)根式，誰(shuí)有辦法幫他完成這項(xiàng)任務(wù).

大家思考片刻……

生2：我發(fā)現(xiàn)式子中隱藏著一個(gè)定值

它和圓的方程很像，于是可以這樣換元，令

由-(a2-5)2+16≥0，得

-4≤x≤4，0≤y≤4，

即

師：真不錯(cuò)，生2肯動(dòng)腦筋，發(fā)現(xiàn)目標(biāo)中隱藏著一個(gè)恒等式，給我們帶來(lái)了驚喜，終于突破這道題的障礙，應(yīng)該給予表?yè)P(yáng).

(筆者滿意地為他鼓起掌，全班同學(xué)也表示肯定和祝賀，興奮地?zé)崃夜恼?)

師：你能給大家說(shuō)說(shuō)接下來(lái)怎么求解嗎？

評(píng)析通過(guò)化歸思想，將目標(biāo)清晰地表示出來(lái)，用規(guī)劃知識(shí)求解，關(guān)鍵是要找準(zhǔn)約束條件，這種方法學(xué)生還是比較容易理解和接受的.“變式教學(xué)”可以幫助學(xué)生透過(guò)表象理解概念，掌握解題規(guī)律，領(lǐng)悟思想方法，養(yǎng)成科學(xué)的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，從而達(dá)到以不變應(yīng)萬(wàn)變的目的.問(wèn)題的設(shè)計(jì)要具有小坡度、層層遞進(jìn)、螺旋上升的特點(diǎn)，這樣才能發(fā)揮變式題的輻射功能.在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)引導(dǎo)探究，使得達(dá)到“解一題，通一類”的效果.通過(guò)變式教學(xué)，借助于教師提問(wèn)的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

師：在生2求解的基礎(chǔ)上，大家再觀察條件x2+y2=16，還有其他的想法嗎?

(留給學(xué)生時(shí)間思考和討論.)

師：很好，生3抓住條件的結(jié)構(gòu)作了進(jìn)一步思考，那么應(yīng)該如何三角換元呢？

生3：令a2-5=4cosβ，則

評(píng)析教師要為學(xué)生不斷搭建臺(tái)階來(lái)創(chuàng)建問(wèn)題情境，用問(wèn)題吸引學(xué)生的注意力，誘發(fā)學(xué)生思維的積極性，激起學(xué)生更多的聯(lián)想，在交流和互動(dòng)中調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、感受和興趣，從而讓學(xué)生更加自主地參與知識(shí)的獲取過(guò)程和問(wèn)題解決的過(guò)程.

此時(shí)，學(xué)生們興奮不已，估計(jì)他們還有其他的解法.教室里的氣氛相當(dāng)活躍，于是筆者干脆放手讓學(xué)生們?nèi)ケM情地說(shuō).

師：這個(gè)難度有點(diǎn)大，你是怎么想到的呢？

生4：我想到蘇教版教材必修4上用數(shù)量積運(yùn)算法則將cosx+sinx寫成(cosx，sinx)·(1,1)的形式，于是就聯(lián)想到了構(gòu)造向量法.

師：非常好！可見(jiàn)有時(shí)逆向思維會(huì)給解題帶來(lái)驚喜，生4的思維還是比較敏捷的，跳出知識(shí)點(diǎn)的局限，打破了原有的思維定式，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，真正讓我們的思維“活”起來(lái)了.

將生4的解法展示給大家：

2OC2=m·n=|m|·|n|cosγ.

又|m|=2，|n|=4，則

2OC2=8cosy+10，

當(dāng)m與n的夾角為0°時(shí)，cosγ取得最大值1，因此2OC2=8cosy+10的最大值為18，即OC的最大值為3.

評(píng)析抓住要求解的目標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，將目標(biāo)中x,y的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征凸顯出來(lái)，使得解題具有思路清晰、構(gòu)思新穎、方法獨(dú)特、趣味性強(qiáng)等特點(diǎn).由此可見(jiàn)，課堂上師生的對(duì)話交流，不但有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，而且給人帶來(lái)一種數(shù)學(xué)美的享受.

生5(興奮地站起來(lái))：老師，我也用了逆向思維的方法，逆用柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2求解，解法也比較簡(jiǎn)單.

師：很好，請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的想法.

即

μ2≤8，

得

OC≤3，

即OC的最大值為3.

非常精彩，全班同學(xué)幾乎異口同聲地贊嘆生5的解法.生5已將這節(jié)課推向了一個(gè)探究的高潮……

師：你們真的很棒，通過(guò)思考和探究，產(chǎn)生了很多想法，并且一個(gè)比一個(gè)巧妙.同學(xué)們課后還要認(rèn)真體會(huì)各種解法，只有通過(guò)反思和比較才會(huì)辨別優(yōu)劣，才能找到更適合自己的解法.

評(píng)析有些問(wèn)題從正面求解，往往會(huì)障礙重重，若改變思維的角度，避開(kāi)正面強(qiáng)攻，采用逆向思維，則能達(dá)到出奇制勝的效果.

3　教學(xué)啟示

對(duì)于高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，教師要善于鉆研教材，針對(duì)本班學(xué)生的情況可以適當(dāng)、適時(shí)地選擇部分例題和習(xí)題，對(duì)它們進(jìn)行精心設(shè)計(jì)、開(kāi)發(fā)和再利用，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)，挖掘它們的創(chuàng)新生長(zhǎng)點(diǎn)；或通過(guò)類比、引申、推廣，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，同時(shí)也要為學(xué)生提供足夠的時(shí)間和自主發(fā)揮的空間，不斷豐富他們的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，幫助他們提高“提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題”的能力.數(shù)學(xué)探究無(wú)處不在，關(guān)鍵在于師生有無(wú)探究的意識(shí)，是否養(yǎng)成了探究的習(xí)慣．探究不必那么“高大上”，只要有心，無(wú)疑處生疑，凡事都問(wèn)一個(gè)為什么，處處有探究[2]．唯有如此，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上走得更遠(yuǎn)，真正讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)出生命的活力．

要想把高三的數(shù)學(xué)做得有實(shí)效，必須關(guān)注學(xué)生的主體性，促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)探究，讓更多的學(xué)生參與課堂.關(guān)注學(xué)情，科學(xué)地設(shè)計(jì)所要提問(wèn)的問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生思考；通過(guò)問(wèn)題促進(jìn)學(xué)生交流；通過(guò)問(wèn)題激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.借助課堂提問(wèn)讓難以解決的問(wèn)題擴(kuò)大其“最近發(fā)展區(qū)”，為順利解題作好鋪墊，為學(xué)生搭建思維的腳手架，讓學(xué)生嘗試成功的喜悅，同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性，拓展學(xué)生的思維[3]，因此課堂上教師合理、正確、恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)是十分必要的.以“問(wèn)”問(wèn)題的方式與學(xué)生交流，建立和諧平等的師生關(guān)系，不斷提高高三數(shù)學(xué)課堂的效率.

[1]郭建華，于健.借課堂生成資源提升學(xué)生的思辨能力[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2016(1)：30-32.

[2]張?jiān)骑w.追問(wèn)中深入探究中升華[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2015(7)：57-59．

[3]郭建華.重視借題“發(fā)揮”提高學(xué)生學(xué)習(xí)效能[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(12)：6-8.

*收文日期：2016-04-28；2016-06-01

南京市鼓樓區(qū)教育教學(xué)微課題立項(xiàng)課題(GJ/2015/01/06)

郭建華(1982-)，男，安徽宿州人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)09-23-03