體驗概念生成　促進思維發展
——“充分條件與必要條件”(新授課)為例*

●易文輝

(東莞市教育局教研室　廣東東莞　523000)

?

體驗概念生成促進思維發展

——“充分條件與必要條件”(新授課)為例*

●易文輝

(東莞市教育局教研室廣東東莞523000)

數學概念是進行數學推理、判斷、證明的重要依據.概念學習中應抓住概念的本質、關注概念生成，在概念學習中學會學習和思考如何研究數學對象、如何學習數學概念，從而凸顯思維的發展.充分條件、必要條件和充要條件是基本的數學用語，數學學科中大量的命題用它們來敘述，在充分條件與必要條件的學習中，通過充分條件與必要條件的數學和現實背景，初步了解充分、必要條件的含義，然后再通過不同角度的思考，加深對概念內涵、本質的理解，及其在數學命題中的地位和作用.

概念生成;充分條件;必要條件;思維

數學概念是進行數學推理、判斷、論證的重要依據，概念學習的核心任務就是要體會概念產生、發展的過程，理解概念的本質，構建概念系統，完善認知體系.因此，在學習中，不僅僅要理解“是什么”，還應該明白“為什么”，同時要掌握知識之間的內在、橫向聯系.人教A版選修2-1第1.2節“充分條件與必要條件”[1]的學習不能孤立地學，應該緊扣“現實背景”和“數學內在聯系”這兩大源頭，凸顯“為何、何為”的哲學考量，以實現學習目標的有效達成.

1　學習目標

知識與技能1)了解推斷符號“?”的含義，理解充分條件與必要條件的概念；2)初步掌握充分條件與必要條件的判斷方法與簡單應用.

過程與方法1)通過復習命題的真假判斷及4種命題之間的關系，理解推斷符號“?”的意義；2)通過具體的實例及層層遞進問題思考，從“命題”“符號”“邏輯關系”這3個角度理解充分條件與必要條件的本質.

情感態度價值觀通過參與知識的形成過程，體驗數學的和諧統一及簡約美，培養辯證的思維品質.

2　重點與難點

重點理解充分條件與必要條件的概念及其判斷方法.

難點必要條件的理解及充分、必要綜合應用.

3　教學過程

3.1問題情境

數學知識的發生和發展都離不開數學和實際生活的需要，學習中要充分體會知識背景中蘊含的數學思想方法及數學知識發生、發展的歷程.充分條件與必要條件在現實生活中有相應的實際背景及數學內在的聯系，體現了數學知識發展源自“客觀實際”與“數學內在發展”需求.

情境1請同學們閱讀下列材料.

材料1：小明同學有一天找到老師說：“老師，我想和小軍同學同桌.”老師：“為什么？”小明：“因為我想和他一起坐.”老師：“你這個理由不夠充分啊！”……

材料2：在2015年市人大會議上，徐書記說“引進高端人才，是東莞高水平發展的必要條件”……

材料3：只要人人都獻出愛，世界就會變得更美好；只有堅持才能取得最后的勝利……

思考如何理解上述材料中“理由不夠充分”“必要條件”“只要……就……”“只有……才……”的意思呢？

提示這些源自生活的“充分”“必要”的詞語，實際上是數學中的2個重要概念，并且給出了嚴格的定義，學好這些用語有助于提高我們的邏輯思維能力，幫助我們準確地表達.

情境2復習回顧.

問題1上節課學習的4種命題是什么？它們之間有什么真假關系？

問題2判斷下列命題的真假.

1)若x>a2+b2，則x>2ab；

2)若ab=0，則a=0.

3.2概念剖析，把握內涵

通過對前面引入情境中問題的思考與研究，對概念有初步的感知和想象，還需要通過去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的反復體會，歸納概括概念的本質特征，由此理解科學的定義.充分條件與必要條件的知識生長點除了現實背景以外，主要是數學中條件與結論的“必然”與“應然”關系的一種考量.

師：通過剛才的回顧，我們知道有的命題為真命題，如問題2中的命題1)；有的命題為假命題，如問題2中的命題2).這說明對于命題中條件與結論存在著一種重要的關系，這種關系就是今天要學習的主要內容.

定義一般地，“若p則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可推出q，記作p?q.并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件.

如命題1)“若x>a2+b2，則x>2ab”為真，可以寫成：x>a2+b2?x>2ab,且x>a2+b2是x>2ab的充分條件，x>2ab是x>a2+b2的必要條件.

問題1“若p則q”為假命題，是指由p通過推理______(填寫：能或不能，答案：不能)得到q.這時，我們就說，由p______(填寫：推出或推不出，答案：推不出)q，記作______(答案≠>)q，則p是q的______(答案：不充分)條件，q是p的______(答案：不必要)條件.

練一練

1.用符號“?”與“≠>”填空：

1)x2=y2______x=y；

2)內錯角相等______2條直線平行；

3)整數a能被6整除______a的個位數字為偶數；

4)ac=bc______a=b.

分析根據定義，p?q表示“若p則q”為真，即由p成立就一定能推導得到q成立；反之，p≠>q表示“若p則q”為假，即由p成立不能推導得到q成立.

2.下列“若p則q”形式的命題中，哪些命題中p是q的充分條件？

1)若2條直線的斜率相等，則這2條直線平行；

2)若x>5，則x>10.

分析要判斷p是否為q的充分條件，先確定p(條件)和q(結論)，然后判斷是否有p?q.

3.下列“若p則q”形式的命題中，哪些命題中q是p的必要條件？

1)若x=y，則x2=y2；

2)若2個三角形全等，則這2個三角形的面積相等；

3)若a>b，則ac>bc.

分析要判斷q是否為p的必要條件即判斷是否有p?q.

說明“問題1”和“練一練”是幫助學生理解推導符號“?”“充分條件”“必要條件”的內涵，其本質就是“若p則q”為真命題，“若p則q為真”“p?q”“p是q的充分條件，q是p的必要條件”表示同一邏輯關系在“命題”“符號表示”“關系說明”這3個角度的不同表述.

3.3概念辨析，智慧生成

數學概念是數學學習中的重要內容，而概念學習過程中，其辨析環節是極為重要的，除揭示概念本質、明確其內涵和外延之外，也是完善概念學習習慣的重要途徑，明確定義是概念辨析的基本依據，通過問題串的思考使學生一步步地深入理解數學概念的本質、數學方法的步驟、數學思想的精髓[2].

問題2根據定義，p是q的充分條件說明什么？

分析p是q的充分條件說明由p通過推理可以得出q，即“若p則q”為真命題.

問題3如何理解“q是p的必要條件”？

分析“若p則q”為真命題，根據4種命題之間的關系，其逆否命題“若q則p”，即是說沒有q就沒有p，要使p成立，則q一定要成立，因此q成立是p成立的必不可少的條件.

問題4怎么樣才能說“p是q的必要條件”？

分析要說p是q的必要條件，就是q?p，即“若q則p”為真命題.

說明通過3個問題的思考與討論，明確要判定p與q之間的“充分”“必要”的關系，就是判斷“若p則q”及其逆命題“若q則p”的真假問題，揭示“充分條件與必要條件”的本質.

問題5“p是q的充分條件”有哪些含義？

分析有p必有q，有q不一定有p，但是沒有q就一定沒有p，沒有p不一定沒有q.

請根據表1填空：

表1　原命題、逆命題符號表示

練一練請用“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”填空.

1)x=1是x2-4x+3=0的______條件；

2)x2=y2是x=y的______條件；

3)ac=bc是a=b的______條件.

3.4構建聯系，凸顯思維

問題6請同學們回憶以往學過的數學命題、定理、推論中，說說有哪些能夠體現充分條件與必要條件的邏輯關系？

生1：若函數f(x)的圖像在(a,b)上是連續不斷的，且f(a)·f(b)是f(x)在(a,b)內有零點的充分條件(零點存在性定理).

生2：四邊形的對角線相等是四邊形為矩形的必要條件.

……

說明通過聯系數學中的判定定理和性質定理，體會充分條件、必要條件內涵的同時，也要能深刻體會到數學中定義一個新的對象、尋求確定這個對象的依據，即充分條件.例如，尋找判定一個圖形是否為平行四邊形的條件、判斷方程有解的條件、判斷線面平行(垂直)的條件等.同時研究數學對象的性質，即性質定理，就是給出判定一個對象的必要條件，可用來區別一個事物與另一個事物.

問題7已知“若p則q”為真命題，設集合A={x|x滿足p}，B={x|x滿足q}，則集合A和B之間有什么關系？反之是否成立？

分析如圖1，A是B的子集，反之若A是B的子集，則“若p則q”為真命題.

練習11)若p:x>0,q:x>1，則p是q的什么條件？2)問：p:x>0成立的一個充分不必要條件是______.

圖1 　　　　　　　圖2

分析第1)題根據數軸(如圖2)，集合{x|x>1}?{x|x>0}，即q?p,p≠>q,因此p是q的必要不充分條件.

第2)題根據條件實際上是尋找集合{x|x>0}的真子集.

說明通過設置與集合關系相關的問題，凸顯充分、必要條件與子集之間的關系，引導學生在理解與“開語句”有關的命題時，可以借助韋恩圖或者數軸，先確定集合之間的關系，然后再確定充分與必要條件的關系，凸顯數形結合在處理與數集有關的“充分、必要”邏輯關系問題中的應用.

3.5鞏固應用，深化理解

練習21)請用“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”填空.

① “sinα=sinβ”是“α=β”的______條件;

② “x>1成立”是“x2>1成立”的______條件.

2)已知p:x>a(其中a∈R)，q:x>1，若p是q的充分不必要條件，求實數q的取值范圍.

3)判斷下列命題的真假.

①x=2是x2-4x+4=0的充分必要條件；

③ab≠0是a≠0的充分不必要條件.

說明練習2主要是熟悉概念的應用，加深對概念的理解，設置了直接判斷和逆向的問題，也注重體現“數形”結合，提高思維能力.

3.6課堂小結,回顧反思

通過這節課的學習，你有哪些收獲？

1)學習內容(自主歸納)：

①命題“若p則q”為真?“p?q”?“p是q的充分條件”?“q是p的必要條件”；

②判斷p是q的什么條件，即是研究是否有p?q(充分性)和q?p(必要性)，即命題“若p則q”及其逆命題的真假.

2)數學思想方法上，學生能夠總結出主要有轉化思想、數形結合、分類討論等思想方法.

3)學習數學概念的一般思維特征：概念引入的背景(現實背景、數學內部背景)——概念的表述——概念的表示(文字、符號、圖形)——特例——聯系(橫向與縱向).

3.7布置作業

習題1.2A組第1～3題.

4　反思

概念學習是數學學習的重中之重，根據實際情況，探索思考突出概念本質、環環相扣的問題，關注概念的生成過程，即數學知識產生的背景(包括“實際背景”與“數學背景”)、歸納概念本質的過程，讓學生邊觀察、邊說、邊思考，做到眼、手、口、腦并用，使概念的形成與概況經歷形象化感知、外部言語、再到內部言語這樣的過程[3]，才能更加有利于自身思維的發展.同時，在學習的過程中，要善于歸納研究數學問題的一般方法，歸納思考數學問題的一般思維特征.例如，數學中研究一個新的“對象”一般過程是怎樣的？如何研究？又如，函數的性質的思維特征是什么,等.

[1]課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書·數學·選修2-1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]楊藝.優化設計問題串實現高效型課堂[J].中學數學研究，2016(1):封二-3.

[3]俞永鋒.探究概念形式一般化，深化導數概念理解[J].數學通訊:下半月，2014(9)：16-18.

*收文日期：2016-04-29；2016-06-01

易文輝(1981-)，男，江西尋烏人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O141

A

1003-6407(2016)09-15-04