樸實亦有精彩處
——一道浙江省數學競賽題的深度思考*

●陳金花　計惠方

(湖州市王勇強名師工作室　浙江湖州　313000)

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樸實亦有精彩處

——一道浙江省數學競賽題的深度思考*

●陳金花計惠方

(湖州市王勇強名師工作室浙江湖州313000)

浙江省數學競賽試題出題常常表述十分簡潔，但仔細思考往往能挖掘出十分豐富的內涵，因此好題、好解法、好的推廣形式頻頻出現．由于橢圓、雙曲線、拋物線之間特定的聯系和區別，不僅可以將有關圓錐曲線的問題設計得形式優美，還可以由點及面推廣到圓錐曲線的一般形式，通過合理的運算，進而得到完整的結論．

離心率；斜率；一般化

2016年浙江省高中數學競賽中有這樣一道試題：

1)求橢圓的標準方程；

2)若k1+k2=0,求實數k.

1　賽題的評價與閱卷體會

賽題入口平寬，表述簡潔，表面上樸實無華，但仔細思考就會發現賽題形式優美，內涵豐富，堪稱是一道不可多得的好題．閱卷中筆者發現：學生均能動手作答，但求解完整者較少．究其原因是學生運算能力有待提高，特別是運算的合理性，教學中要強調和重視．為了進一步說明問題，特摘錄經筆者整理的2種解法，讓我們一窺其中的門道．

解法11)由已知得

又

即

16a2=25b2,

解得

a2=25,b2=16,

2)由題意知右焦點為(3,0),①當斜率k不存在時，斜率k1,k2均不存在，不合題意.

(16+25k2)x2-150k2x+225k2-400=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

(注：此處能繼續往下算的學生很少．)

由y1=k(x1-3),y2=k(x2-3)，得

2)①當k=0時，

(16t2+25)y2+96ty-256=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

即

得

點評事實上，解法1中的分母是(x1-3)(x2-3),解法2中的分母是y1y2,顯然選擇直線方程x=ty+3更加合理．關于直線方程形式的合理選擇，請參閱文獻[1].

2　賽題的一般化與推廣

受到試題一般化思路的引領，我們將點P放到更一般的位置，結合文獻[2]的研究以及雙曲線、拋物線的性質，不難得到如下幾個精彩的結論：

證明①當x0≠0,k=0時，不合題意.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

得k1+k2=0,等價于

綜上，命題得證．

證明①當k不存在時，不合題意.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

得k1+k2=0，等價于

2x1x2=(x1+x2)x0,

即

因此

綜上，命題得證．

證明①當k=0時，不合題意.

②當k≠0時，設直線l的方程為x=ty+x0,代入雙曲線方程，得

得k1+k2=0,等價于

綜上，命題得證．

證明①當k不存在時，顯然不合題意.

②當k存在時，設直線l的方程為

y=kx+y0(其中y0≠0),

得k1+k2=0，等價于

2x1x2=x0(x1+x2)，

即

從而

綜上，命題得證．

證明①當k=0時，顯然不合題意.

②當k≠0時，設直線l的方程為x=ty+x0(其中x0>0),代入拋物線方程，得

y2-2pty-2px0=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

y1+y2=2pt,y1y2=-2px0,

得k1+k2=0,等價于

2y1y2=y0(y1+y2)，

即

-4px0=2py0t,

亦即

綜上，命題得證．

證明①當k=0或k不存在時，顯然不合題意.

②當k存在且k≠0時，設直線l的方程為

y=kx+y0,

代入y2=2px，得

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

得k1+k2=0，等價于

2x1x2=x0(x1+x2),

即

得

綜上，命題得證．

值得一提的是,命題6和推論6還有很漂亮的有關線段長度的定值性質，具體參閱文獻[3].

[1]陳金花，計惠方．以線段為直徑的圓過定點問題的求解策略[J]．數理化學習，2014(4):16-19.

[2]計惠方.橢圓的共軛直徑的1個性質的三點注記[J]．中學數學，2016(3):37-40.

[3]王勇強，計惠方.一道浙江競賽題證法的補充與引申[J]．中學數學，2013(8):87-89.

*收文日期：2016-05-09；2016-06-10

陳金花(1984-)女，浙江湖州人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)09-47-04