解三角形可謂“萬變不離其宗”*

●王蘇文

(浬浦中學　浙江諸暨　311824)

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解三角形可謂“萬變不離其宗”*

●王蘇文

(浬浦中學浙江諸暨311824)

近3年的高考解三角形試題，從考查意圖、試題結構、解法探究等上都透視著“萬變不離其宗”之現象.文章給出高考試題的多種解法和教學思考．

正弦定理;余弦定理;探究

解三角形在浙江省近3年(2014～2016年)的數學高考中，均以解答題的第1題出現，既可以看出其重要性，又可以看出其基礎性．從近3年的試題來看，總有一種簡約而不簡單之感．每次考完數學都能聽到學生提及第1個解答題時表示得不到滿分，有點心灰意冷．筆者仔細閱讀、對照近3年的解三角形試題，無論從考查意圖、試題結構、解法探究上都透視著“萬變不離其宗”之現象．

1)求角C的大小；

(2014年浙江省數學高考理科試題)

1)求tanC的值；

2)若△ABC的面積為3，求b的值．

(2015年浙江省數學高考理科試題)

例3在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知b+c=2acosB.

1)證明：A=2B；

(2016年浙江省數學高考理科試題)

1　考查意圖

從近3年的試題來看，一方面考查了三角函數及其變換、正弦定理、余弦定理、面積公式等基礎知識，另一方面也考查了學生的運算求解能力與基本的推理能力．可以看出考查一直是一個“穩”字貫穿于解三角形，形成一成不變的格局．

2　試題結構

每年的解三角形試題均有2個小題，第1)小題為求角或角的關系；第2)小題為面積與角或邊之間進行命題．試題總體結構樸實、平淡，問題簡潔、清楚．試卷總體有適度創新，甚至個別設問具有一定的靈活性，但解三角形的試題結構近3年來整體保持穩定不變．

3　解法探究

以下筆者對例3的第1)小題進行探究：

探究1針對所求，考慮使用化角處理，運用正弦定理較為自然．

解法1(參考答案)

由正弦定理得

sinB+sinC=2sinAcosB,

又sinC=sin(A+B),從而

sinB=sinAcosB-cosBsinB=sin(A-B).

由A,B∈(0,π)，得

0

則

B+A-B=π或B=A-B,

得

A=π(舍去)或A=2B,

故

A=2B．

探究2根據條件中含有acosB，聯想三角形中的射影定理c=acosB+bcosA可得解法2．

解法2將c=acosB+bcosA代入b+c=2acosB，得

b+bcosA=acosB，

結合正弦定理得

sinB=sin(A-B),

余下同解法1(略)．

探究3結合解法2，將角A,B獨立，由此得到解法3．

解法3由解法2得

b+bcosA=acosB,

結合正弦定理得

sinB(1+cosA)=sinAcosB,

探究4根據條件聯想到余弦定理，結合所求A=2B，必有cosA=cos2B,得到解法4．

解法4由余弦定理得

從而

a2-b2=bc.

故

cos2B=cosA.

探究5將條件a2-b2=bc再次結合正弦定理進行轉化．

解法5由a2-b2=bc，得

sin2A-sin2B=sinBsinC，

根據二倍角公式得

cos2B-cos2A=2sinBsinC.

利用角的變換2A=(A+B)+(A-B),2B=(A+B)-(A-B),整理得

2sin(A+B)sin(A-B)=2sinBsinC,

顯然sinB=sin(A-B)，余下同解法1(略)．

探究6結合和差化積公式轉化三角函數．

解法6由余弦定理得

從而

a2-b2=bc,

于是

sin2A-sin2B=sinBsinC.

根據和差化積公式得(sinA-sinB)(sinA+sinB)=sin(A-B)sin(A+B)=

圖1

sinBsinC,即

sinB=sin(A-B)，

余下同解法1(略)．

解法7如圖1，延長邊BA至D，使得AC=AD，則△ACD為等腰三角形，從而

∠BAC=∠ADC+∠ACD=2∠ADC.

過點C作CE⊥BD,根據題意得

即

從而點E為BD的中點，于是

∠B=∠ADC，

故

A=2B．

評注解法7充分利用條件，將問題轉化為平面幾何進行處理，可謂清楚、簡潔，將數形結合發揮得淋漓盡致，避免了繁瑣的代數運算．

從上述7種解法可以看出，利用正弦定理、余弦定理之外的幾個公式，實際上是教材課后習題中出現過的結論，也再次提醒我們要加強于教材，回歸于教材，而對于例1和例2的解答也不外乎上述幾條途徑(此處略)．

4　教學點撥

4.1夯實基礎是不變，學會運用是根本

首先2個公式(正弦定理、余弦定理)必須熟練記憶，對公式的運用條件要了如指掌；其次，要熟練求解模式是“邊角互化”，其中“邊化角”常用正弦定理，“角化邊”常用余弦定理；再者要聯系三角函數的內容，畢竟它們之間關系最為緊密，有時需要考慮與向量的交匯．如若對三角函數知識不熟悉，則解三角形也會有一定的難度．三角形面積是點綴，公式常用“2條邊和1個夾角”，有時聯想余弦定理中的乘積項可實現與面積之間的轉化．

筆者發現學生解決此類問題時概念錯誤，公式記憶不清楚，導致失分較多．在教學中要求學生記、背數學概念與公式是有必要的，但發現部分學生能寫出公式但無法將它們聯系起來，還是不能得到更多的分數，因此平時能通過應用公式來記憶顯得尤為重要．

4.2通性通法是主導，淡化技巧是趨勢

這類題目考查題型熟悉，方法常規，入口易、寬，往往有多種方法，以知識點為載體，考查數學思想方法及計算能力，解決這類題目應把握問題特征，合理選擇方法．雖有不同的解法，但究其根本還是運用正弦定理、余弦定理，其他方法為輔助，所有方法均在教材中有所出現，復習時應立足課本．平時強化此類問題的常規解法，形成一定的解題模式，要做到“熟讀唐詩三百首，不會作詩也會吟”的境界．

4.3審題是關鍵，運算是基礎，格式是保證

由于學生平時習慣于運用計算器，產生一定的依賴性以至于削弱了運算能力．在運算中常犯錯，出錯率居高不下，同時也降低了運算速度，導致考試時間緊迫或不夠.因此,在平時教學中應盡量要求學生自己運算，不要借助計算器，更不要養成眼高手低的習慣，導致在真正考試時手忙腳亂，甚至出現一些低級的運算錯誤．

在解題的格式環節中，由于不夠規范與不到位導致失分的學生也不占少數，在平時教學中對易出錯的環節更應向學生指出并強調，使他們減少或避免這些無謂的失分．

*收文日期：2016-06-19；2016-07-05

王蘇文(1975-)，男，浙江諸暨人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O124.1

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1003-6407(2016)09-41-03