2016年山東卷理科第21題的深度探究*

●韓長峰

(太和中學　安徽阜陽　236600)

●衛小國

(單縣一中　山東菏澤　274300)

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2016年山東卷理科第21題的深度探究*

●韓長峰

(太和中學安徽阜陽236600)

●衛小國

(單縣一中山東菏澤274300)

探究2016年山東省數學高考理科第21題，挖掘隱含背景，領悟命題思想，明確考查方向,為高三圓錐曲線的復習教學和壓軸突破提供研究方法與解題技巧.

試題推廣；縱向研究；橫向拓展

2016年山東省數學高考理科第21題的第2)小題考查直線與拋物線、橢圓的位置關系等基礎知識及轉化化歸的基本數學思想；以證明點在定直線上為載體，考查推理論證能力和運算求解能力，檢測創新解題意識[1].筆者對此題進行了分析與研究，現撰文以展示探究歷程.

1　試題再現

1)求橢圓C的方程.

圖1

2)設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的2個點A,B,線段AB的中點為D，直線OD與過點P且垂直于x軸的直線交于點M.

①求證：點M在定直線上；

②略.

分析易求得橢圓C的方程為x2+4y2=1，下面對第2)小題的第①問進行探究.

設A(xA,yA)，B(xB,yB),D(xD,yD),聯立方程組

得

(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0.

于是直線OD的方程為

聯立方程組

作差得

即

(xA+xB)(xA-xB)+4(yA+yB)(yA-yB)=0，

從而

kODkAB=-4.

解完題，筆者仍覺意猶未盡.因命題專家精心編制的試題往往將問題的抽象本質隱藏，而僅呈現出具體的表象[2].試題揭示了什么規律，其命制的源頭何在？筆者進一步從一般性推廣、縱向探究和橫向拓展進行思考，終獲玄機.

2　一般探究及推廣

得

(b2+a2k2)x2+2a2kqx+a2q2-a2b2=0.

問題的一般性結論為：

圖2

y=kx+q.

聯立方程

得

(b2+a2k2)x2+2a2kqx+a2q2-a2b2=0,

可知

綜合探究1、探究2可得如下的定理：

該結論道出了試題的深刻背景，也揭示出“動中有定，變與不變”的本質特征.命題者正是依據以上定理所蘊含的規律，利用特殊化，將其中的本質屬性隱藏，命制出一道有一定思維難度、區分度較高、能較好考查學生數學素養的好題[3].

筆者在探究1和探究2的基礎上進一步縱向深度探究和橫向拓展，另有一番風味.

3　縱向探究

探究3探究1中在給定橢圓和拋物線焦點位置前提下，得出交點M在定直線上.試想，若橢圓和拋物線的焦點在坐標軸上位置發生變化，那么交點M是否仍在一條定直線上呢？

經探究，交點M仍在一條定直線上.但要注意，當橢圓和拋物線焦點位置不同時，條件“過點P且垂直于x軸的直線”和“過點P且垂直于y軸的直線”要與之對應.綜合得到以下新結論：

圖3

證明過程如結論1，筆者不再贅述.最終的結論呈現出條件與結論的對應關系，展示了一種內在的對稱美！

探究4將題中部分條件和結論互換后，命題是否成立？

推理論證后得到以下結論：

4　橫向拓展

探究5橢圓的特例是圓，圓是橢圓的極限，那么以上結論是否成立？

結論1～2中作特殊化類比：令橢圓中m=n，即得：

結論7平面直角坐標系xOy中，⊙C：x2+y2=m(其中m>0)，拋物線E：x2=2py(其中p>0).設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的2個點A,B,線段AB的中點為D，直線OD與過點P且垂直于x軸的直線交于點M，則點M在定直線y=-p上.

結論8平面直角坐標系xOy中，⊙C：x2+y2=m(其中m>0)，拋物線E：y2=2px(其中p>0).設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的2個點A,B,線段AB的中點為D，直線OD與過點P且垂直于y軸的直線交于點M，則點M在定直線x=-p上.

同理，將定理1特殊化得：

定理2平面直角坐標系xOy中，⊙C：x2+y2=m(其中m>0)，拋物線E：x2=2py(其中p>0).設P是E上的動點，且位于第一象限，過E上點P處的直線l若與C交于不同的2個點A,B,線段AB的中點為D，且直線OD與過點P且垂直于x軸的直線交于點M，則直線l為E在點P處的切線的充要條件是點M在定直線y=-p上.

將定理1在圓錐曲線內推廣得：

綜合定理1～3,再推廣，得到統一結論：

[1]中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準(實驗)[M]．北京：人民教育出版社，2011.

[2]李鋒.2014年高考數學福建卷理科第19題的探究歷程[J].中國數學教育，2015(1/2)：93-97.

[3]岳峻.透析考題信息提升解題驅動力——賞析2015年湖北卷21題[J].中學教研(數學)，2015(8)：30-32.

*收文日期：2016-06-23；2016-07-23

韓長峰(1979-)，男，安徽阜陽人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)09-43-04