準目標　習知識　煉方法　善反思
——“相似三角形專題復習”課堂實錄與思考*

●何云英

(衢江區實驗中學　浙江衢州　324022)

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準目標習知識煉方法善反思

——“相似三角形專題復習”課堂實錄與思考*

●何云英

(衢江區實驗中學浙江衢州324022)

中考專題作為第二輪復習內容，是學生知識綜合、思維發展和能力提升的一個關鍵期．文章以“相似三角形復習課”為例，從準確設定復習目標、精心設計例題鏈、勤于聯想知識方法、善于反思解題策略這4個方面著手，闡述如何使中考專題復習更高效．

中考專題復習；教學思考；高效

年年要中考，屆屆得復習．中考專題復習也稱二輪復習，它是學生知識綜合、思維發展和能力提升的一個關鍵期，是一個經歷從量變到質變的快速積累階段．我們一直在“實踐—思考—再實踐—再思考”如何上好中考專題復習課，提高二輪復習的效率，筆者以“相似三角形中考專題復習課”(浙江省衢州市中考復習會的展示課)為例加以闡述.執教者在教學設計過程中，以提升學生提出問題、分析和解決問題的能力為目標，以滲透轉化思想、函數與方程思想、分類討論思想為主線，與學生共同探究、提煉利用相似解決問題的方法，從而讓學生清晰地構建出解決這類問題的策略．

1　教學過程簡錄

1.1母題重現，自主回顧

圖1

幻燈片呈現教材母題：

題目如圖1，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120 mm，高線AD=80 mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余2個頂點分別在AB，AC上，求加工成的正方形零件的邊長．

師：這是書本上一個原題，有印象嗎？

全體學生(聲音響亮，貌似信心十足)：有！

師：請你把過程完整地寫在學案上．

(教師在黑板上畫圖，然后巡視課堂，5分鐘后……)

師：哪位同學愿意和我們分享一下你的方法？

(生1走上講臺，借助電子白板展示其作業，并口述解題過程：先證相似，再寫出比例式，列方程，解方程.)

師：大家都贊同嗎？

全體學生(異口同聲)：贊同！

師：哦，看來同學們都會解,老師有幾個問題，你們能幫我解決一下嗎？

全體學生(生胸有成竹，似乎志在必得)：能！

師：這是一個三角形和正方形結合的問題．它用到了相似三角形的哪些知識？

生2：判定和性質．

師(追問)：哪個判定？

生2(快速、流利地回答)：平行于三角形一邊的直線和其他2條邊相交，所構成的三角形和原三角形相似．

師(繼續追問)：這是哪個性質？

生2：對應高線之比等于相似比.

師：它用到了正方形的什么性質？

全體學生：邊長相等．

(接連幾個問題都被生2回答，大家再也按捺不住了，搶答著，氣氛活躍！)

師：通過設邊長為x，轉化為列方程求解，運用了什么數學思想？

全體學生：方程思想！

師：我們班的同學真棒，不僅會解題，還懂得數學原理．今天我們著重利用相似三角形的對應高之比等于相似比來解決問題．

評析通過重溫一道書本習題，學生做5分鐘，展示并交流5分鐘，學生再次回顧了整個解題過程，體驗了利用三角形相似解決問題的方法：證相似→寫比例式→列方程→求線段長度，也再次感悟題中蘊含的數學思想，同時也為后續的變式埋下伏筆．學生在解題中體驗，在交流中感悟，在反思中提高．

1.2母題改編，深入探究

師：如果變為如下變式1，你會求解嗎？

變式1要加工成并排的2個小正方形零件(如圖2)，你會求正方形的邊長嗎？只需列出關于x的方程．

圖2　 圖3 　圖4

師：你的依據是什么？

生2：還是利用對應高之比等于相似比列方程，只要把x變成2x就好了．

師：你太厲害了！抓住了圖形中的不變關系和變化的量，然后再變！如果是“并排的3個小正方形”(如圖3)，你能列出關于x的方程嗎?看誰寫得快．

生3：把2x變成3x！

(學生個個興致勃勃，脫口而出.)

生4：老師，我們還可以變成并排的4，5，…，2 016個小正方形(如圖4)．

(大家笑著點頭稱贊，生4學會了自己出題，還聯想到了“2 016”這個幸運數．)

生5：如果有n個小正方形，直接把x變成nx就是了．

師：我們班個個都是高手，可以當命題老師了．

(全班同學哈哈大笑.)

(大家拿起筆不停地寫著．對于這個含參數的方程，少部分學生感到有些棘手，教師點撥指導.)

(教師的小結非常及時，精準到位.)

師：請同學們再次觀察這幾幅圖形的變化過程，隨著正方形個數的改變，哪些等量關系始終不變？

師：哪些量發生變化了？

生7：PN的長度.

師：我們試想一下，隨著正方形個數的不斷增多，PN會怎么樣？

全體學生齊聲答：越來越趨近于BC！

評析通過教材母題的變式，師生交流約8分鐘，學生進一步鞏固了相似的知識，以及解決問題的方法．在教師的引領下，學生不由自主地創編題目、積極參與、主動思考，這是一個對知識的再認識和再創造的過程．教師的小結始終及時到位，也別有用意，如：你太厲害了，抓住了圖形中的不變關系和變化的量！利用三角形相似不僅可以直接求出線段長度，還可以用含參數的式子來表示線段長度……

1.3母題再編，拓展提高

師：當PN從BC邊開始運動時，又變出了新問題．

圖5

變式2如圖5,在△ABC中,邊BC=120,高線AD=80,垂直于AD的直線m從底邊BC出發，以每秒2個單位長度的速度沿DA方向勻速平移，分別交射線BA,CA,DA于點P,N,E，作矩形MNPQ，使QM始終落在直線BC上．設運動時間為t秒．

1)當E在線段DA上時，PQ=______,PN=______(用含t的代數式表示).

(5分鐘過去了，大多數學生根據前面的經驗，很快地解決了問題,其中一位學生上臺詳細交流了解題過程．)

師：變式2與原題相比變化之處在哪？

(學生講解完成之后，教師似乎都有意要“刁難”.)

生8：直線m在運動．

師：是的，隨著直線m的運動，就變成了相似三角形與矩形相結合的問題．解決動態幾何問題第1招：“動中覓靜”，就是在運動變化中探索問題中的不變性，抓住變化中的不變量和不變關系．

師：剛才我們解決了矩形的長PN與寬PQ問題，接下來你還可以變式出什么新問題呢？

生9：求矩形的面積.

(大家紛紛發出贊嘆之聲，掌聲自發地響了起來.)

師：你太了不起了,老師佩服你!

2)設矩形MNPQ面積為S，求S關于t的函數關系式，并判斷S是否有最大值．若有，求出最大值；若無，請說明理由．

先獨立做3分鐘，接著小組合作交流3分鐘，再接著小組代表上臺展示并解說過程．這時班里炸開了鍋，各小組意見不一：有只考慮1種情況的，有考慮2種情況的.舌戰片刻，教室又趨于平靜，繼續解決第2)小題……

教師小結，解決動態幾何問題第2招：“以動制動”，建立圖形中2個變量之間的函數關系，將幾何(相似)問題轉化為代數(函數)問題．

3)當點E在線段DA上時，底邊BC上是否存在點R，使△RPN為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出t的值．

(有些學生開始畫圖操作，也有學生盯著圖形思考，交流討論后，大多數學生都注意到了分類討論．)

4)你還能創編新題目嗎？

生10：將等腰直角三角形改為等邊三角形，求t的值．

生11：求矩形和三角形重合部分的面積．

師(有些遺憾)：非常好的想法，因時間有限，這些問題留給大家課后去思考．

評析有了前面的鋪墊，學生對于動態圖形問題中的相似應用得得心應手，會根據成比例將一個未知數用含另一個未知數的代數式來表示，真正抓住了解決問題的核心．對于第2)小題求矩形面積問題，是將相似與函數有機聯系起來，其實質是建立函數模型，轉化為函數的最值問題求解，同時考查了分類討論思想．第3)小題繼續分類討論，考查等腰直角三角形的分類情況．第4)小題拋出一個開放問題，考查學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，旨在培養學生思維的深度和廣度．

1.4總結方法，升華思想

教師引導學生“由已知條件或圖形怎樣進行聯想？考查什么知識？解題策略是什么？運用什么數學思想”等問題展開，暢所欲言．

評析復習課的課堂小結需對知識、能力、思想方法及整節課進行提煉，是復習課的重要環節．對本節課而言，教師已在每個環節結束時及時地和學生進行解題反思，再次小結可以幫助學生一起構建出這類問題的解題策略以及所運用的數學思想，真正達到“做一題，通一類，觸一片”的效果．

2　中考專題復習教學思考

現代課程觀認為，教學活動是師生共同探求知識的過程，是教師、學生、教材、環境諸多因素相輔相成的動態生長的結構過程，教學活動要充分體現學生的個性，充分落實學生的主體地位，以促進學生的發展為目標[1]．簡單的復制教材內容是一種低效勞動，不能喚醒學生的認知情趣，唯有對教材進行科學地加工，才能讓學生激情四溢、興趣滿滿．因此，專題復習要重建學生知識結構，不斷滲透學生的認知因素，提高學生數學思維能力，真正實現知識綜合、思維發展和能力提升的目標．

2.1準確設定復習目標

中考專題復習通常在第一輪基礎復習之后進行，因此教學目標的設定必須有別于一輪復習[2]．如果說一輪復習構建知識網絡是在“理清混亂的知識，重拾遺忘的記憶”，那么二輪的專題復習就猶如“禾谷類作物的抽穗”，在前期勞作的基礎上，最終結實粒數的多少取決于抽穗期營造環境的優劣．一輪復習目標可以以知識點為主線貫穿課堂，專題復習目標則應該以知識與策略的融合為主線、以能力培養為宗旨來確定．就像這節“相似三角形專題復習”課一樣，教師從書本一道習題出發，通過不斷的變式，循序漸進地將相似與函數有機融合在一起，提升了學生在建立數量關系基礎上建立函數關系式的能力．同時，這節課教師始終將相關核心知識綜合在解題策略之中，教學目標集中、清晰，重點突出，所涉及的內容也有新意，學生學得興趣盎然．

2.2精心設計問題鏈

心理學指出：認知策略的獲得，需要經歷習得規則、規則變式練習和規則支配自己的認知活動這3個階段，但習得與變式的時間較長，因此需要進行變式訓練以促進解題策略的遷移和思維的提升．《義務教育數學課程標準(2011年版)》中也倡導：教師要用教材，而不是簡單地教教材．照本宣科是對教材思維價值的壓縮，照單全收是對問題立意的膚淺理解．唯有結合具體學情，針對個體的“數學現實”，對問題進行必要地精加工和深挖掘，才能讓學生各有所得．對問題進行匹配地改編和整合，才能讓學生的分析思維有序有向地遞增．因此，改編教材中的通性問題，融入學生的復習需求和教師的復習指南，既能凸顯教師的智慧和課堂魅力，更能提高學生的思維能力．正是如此，該教師將原本考查視角單一的教材母題創編為一道綜合性較強的動態變化題，使學生思維的長度得以延伸，思維的寬度得以拓展，思維的厚度得以增添，并讓學生的思維觸及初中階段數學最核心的知識點．顯然，這樣的“例題鏈”能使專題復習更高效．

2.3勤于聯想知識方法

愛因斯坦說：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界的一切．”聯想是想象力的重要組成部分，它既是思維的一種形式，也是記憶的一種表現．巴普洛夫所謂“任何一個新問題的解決都要運用主體經驗中已有的同類問題”，強調的就是聯想的重要意義．它是回憶舊知識、發現新知識的重要手段，即所謂的“舉一反三”“由此及彼”等．誠然，聯想已成為數學解題的一種重要思維方法．

中考專題復習中，學生在解決綜合題時，缺乏的就是見微知著的聯想能力[3]，即一看到新問題的假設或結論、已知或未知，就立即回想其解法，并立即作出快速反應，朝這個方向試試.而聯想是憑借著原型進行的，這些原型就是數學的基本知識、概念、性質、定理等．教學中，教師可提供一個或幾個聯想的原型，當這些原型達到一定概括化程度后，當再次面臨新情境或新問題時，原型便會信手拈來，同時產生活躍的聯想、遷移、類比、轉化．在這節課中，教師善于建立題目之間的聯系，為學生展開聯想提供了很好的素材．教師的一系列問題，如：它用到了相似三角形的哪些知識？用到了正方形的什么性質？你的依據是什么？哪些量發生變化了？這道題目和前面題目的變化之處在哪？等等，這些都有助于學生展開聯想的翅膀．

2.4善于反思解題策略

反思是對自己的思維過程、思維結果進行再認識的檢驗過程．解題反思是迅速提高數學解題能力的一個法寶．它是將題中所涉及的最重要的知識與方法內化的一個過程．教師要引導學生學會解題反思：這道題主要考查了哪些知識點？解題結論是否正確？解題過程是否嚴密？是否有一題多解？最優解法是哪種？還能變式嗎？對于不同的題型，還要熟知解題策略．在這節課中，教師在每個習題之后都設計了思考性的問題，從而引導學生反思問題的解決過程、積累問題解決的經驗、感悟蘊涵的思想方法，使學生做到“見題心中有數，做題心中有法”，真正實現從一輪復習“量的積累”達到專題復習“質的飛躍”．

中考專題復習實質上是將知識專題和方法專題有機結合起來，要以“四基”為本，回歸教材，適當拔高，實現對知識的重新有效整和；要以思想方法為魂，選取有針對性、代表性的專題進行復習，滲透初中數學必須掌握的基本數學思想方法．年年要中考，屆屆得復習．如何使中考專題復習更有成效，是一個值得大家反復研究的課題．期待有更多的同仁參與進來，共同研討，共享成果．

[1]孫朝仁,朱桂鳳.四節觀摩課的即時思考與再實踐[J].中國數學教育,2015(3)：7-11.

[2]韓建芳,孫學東.目標·聯想·運算——陳述三個基于實踐的中考二輪復習關鍵詞[J].中學數學教學參考,2013(5):36-38.

[3]劉永東,蘇德杰.談2015年中考數學專題復習[J].中國數學教育,2015(3):36-46.

*收文日期：2016-04-17；2016-05-18

何云英(1983-)，女，浙江衢州人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)09-19-04