先猜后證：利用數學活動經驗實現“問題解決”*

●房香玉　李昌勇　文　東

(四川師范大學數學與軟件科學學院　四川成都　610068)

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先猜后證：利用數學活動經驗實現“問題解決”*

●房香玉李昌勇文東

(四川師范大學數學與軟件科學學院四川成都610068)

以學生已有的數學活動經驗作為“問題解決”的基礎，以“先猜后證”的方式為問題中已知條件與未知結果搭建橋梁；先對問題結果進行“言之有理”的猜，然后再給出“持之有據”的證；這不僅有助于快速找到問題解決的策略，實現“問題解決”，而且還能提升學生已有的數學活動經驗，幫助學生養成“化解為證”的問題解決意識，形成一定的數學思維，為學生今后進行更深層次地學習提供準備.

活動經驗；先猜后證；問題解決

1　實現“問題解決”的策略

1.1找基礎

著名教育家陶行知曾說：“我們要以自己的經驗為根，以這經驗所發生的知識為枝，然后別人的知識才能接上去，別人的知識才能成為我們知識的一個有機體部分.”舍恩菲爾德在提出的影響“問題解決”的4個要素中把知識資源作為首要因素，他認為知識資源作為解題者解題的根源，如果解題者缺少與原問題解決相關的數學事實、數學定義以及解題技巧，那么該解題活動便很難進行下去[1].而解題者所具有的對原問題相關的數學事實、數學定義以及解題技巧是解題者在以往的數學學習、數學解題等活動中積累起來的經驗，即數學活動經驗[2].因此，解題者本身已有的數學活動經驗便是實現問題解決的基礎.

1.2搭橋梁

“先猜后證”是指在問題解決中，解題者可以先拋開問題的某些方面或部分，抓住問題的主要結構，把問題轉化成較簡單或較特殊的形式，猜測出這個簡單或特殊問題的答案，然后利用這個答案的特征來實現更復雜或更一般的問題解決[3].因此，利用這種“先猜后證”的問題解決方式能為已知條件和未知結論搭起橋梁，幫助“問題解決”.當然先猜并不是無根據地亂猜而是以解題者已有的數學活動經驗為基礎、以直覺為先導、以聯想為手段、以邏輯為根據、以觀察為向導、以思維為核心進行的合理猜測[4].

那么，解題者在具體問題解決時該如何以自己已有的數學活動經驗為基礎，以“先猜后證”的方式搭建起已知和未知的橋梁找到“問題解決”的策略呢？下面，筆者結合4個具體的“問題解決”案例來加以分析.

2　“問題解決”的案例分析

圖1 　　　　　　　　　　圖2 　　　　　　　圖3

(2007年全國初中數學競賽試題)

先猜觀察到結論與點B的位置無關，利用極端化的數學活動經驗，將點B趨于點C(如圖2)，此時線段BP將半圓分成S1,S2+S△ACP這2個部分.注意到S1=S2，故分成的這2個部分面積之差的絕對值就是S△ACP，因此猜測線段BP把圖形APCB分成2個部分面積之差的絕對值是S△ACP=4.

分析從極端情況回到一般情況，如圖3，聯結AP,CP，也有2個弓形S1=S2，因此BP分成的2個部分是S△CBP,S△ABP，只需證|S△ABP-S△CBP|=S△ACP.以圓心O為中心作點M的對稱點N，根據等底同高得到

S△CMP=S△ANP，S△CMB=S△ANB,S△PMO=S△PNO,S△BMO=S△BNO，

從而

|S△ABP-S△CBP|=S△PBN，

于是只需進一步證明S△PBN=S△ACP即可.

證明如圖3，聯結AP,CP，由對稱性知S1=S2.作點M關于圓心O的對稱點N，則CM=AN,OM=ON,從而

S△CMP=S△ANP，S△CMB=S△ANB，S△PMO=S△PNO,S△BMO=S△BNO,

于是

|S△ABP-S△CBP|=S△PBN=2S△PBO=2S△PCO=S△PCA=4.

反思以極端化的數學活動經驗為基礎，利用“先猜后證”的解題方式搭建已知條件與未知結論的橋梁，“化解為證”；提升學生變靜為動、動中找定的“問題解決”能力，找到定值，進而尋找依據回歸定值S△ACP=4，驗證猜測，實現問題解決.

(2015年全國初中數學聯賽初二試題)

圖4

所以

反思“凍結變量，猜測為橋，后證索據”可將很多代數問題化難為易，化繁為簡.“凍結變量”不僅能發現剩下變量的關系，更有助于化繁為簡；“猜測為橋”以猜測搭起已知與未知之橋，化求為證；“后證索據”以證說理，論證猜測.

例3如圖4，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，∠ADB=45°，∠ACB=90°,求∠DCA的大小.

策略1先猜利用尺規作圖的數學活動經驗，首先構造出任意∠B及其角平分線，并在∠B的角平分線上任取一點D，過點D作BD的垂線，然后作該直角的角平分線與∠B的一條邊相交于點A，這時再過點A作AC⊥BC于點C，聯結DC，便可構造出滿足條件的四邊形ABCD；最后用量角器可測出∠DCA的大小為45°，進而猜測∠DCA=45°.

分析要證∠DCA=45°，只需證明CD是∠ACB補角的角平分線.過點D向AC,BC作垂線,垂足分別為點G,E(如圖5)，只需證DG=DE.注意到BD是∠ABC的角平分線，過點D分別向AB,BC作垂線，垂足分別為點H(點H,E重合),F，得到DF=DE，于是只需證DG=DF；通過證明△AGD≌△AFD即可.

證明如圖5，過點D分別向BC,AB,AC作垂線，垂足分別是點E,F,G，則DF=DE.注意到

從而∠FAD=∠GAD，于是△AGD≌△AFD，故DG=DF=DE，即直線CD為∠ACE的角平分線，亦即∠DCA=45°.

圖5 圖6 圖7

策略2先猜如圖6，將原題目中的Rt△ABC特殊化為等腰直角三角形,則A,B,D在以點C為圓心、BC為半徑的圓上，從而

∠ACD=2∠ABD=∠ABC=45°，

故猜測∠ACD=45°.

分析在非特殊化情況下，知∠ACB=90°，作∠ACB的角平分線與BD交于點E，聯結AE(如圖7)，得到∠ACE=45°.又∠ADB=45°，從而∠ACE=∠ADB，于是點A,E,C,D共圓，得∠ACD=∠AED.進而，通過找到∠AED的大小得到未知的∠ACD的大小.

證明作∠ACB的角平分線與BD交于點E，聯結AE(如圖7)，則∠ACE=45°=∠ADE,于是點A,E,C,D共圓，從而∠ACD=∠AED.又BE平分∠ABC，則AE平分∠BAC,于是

故∠ACD=45°.

反思策略1和策略2都利用了“先猜后證”的問題解決方式，但2者猜測時所利用的數學活動經驗是不一樣的.尺規作圖的數學活動經驗幫助學生思考圖形的形成條件，鍛煉學生對數學圖形的認識和理解能力，對于問題解決更有“活學巧用”的效果；特殊化的活動經驗則有助于培養學生從特殊到一般的意識，抓住特殊時的不變性質，發現一般情況的解題策略，加強數學問題解決意識.

先猜猜測最大數M取最小值的情況是當a=b=c時.注意到當x=y=z=1時，a=b=c=2 ，因此猜測M的最小值為2.

證明根據已知條件知M=max{a,b,c},則M≥a,M≥b,M≥c，于是

故M≥2.因為當x=y=z=1時，a=b=c=2,所以M的最小值是2.

反思以特殊值為切入點先猜測出問題的答案，然后觀察出代數式之間的結構特征，結合已有的數學活動經驗證明猜測，這樣才能增強學生的數學觀察力,提升學生已有的數學活動經驗，促進數學思維發展.

以學生已有的數學活動經驗作為問題解決的基礎，以“先猜后證”的解題方式搭建未知結論和已知條件的橋梁，做出“言之有理”的猜想，幫助學生變求解為證明，從而更有效地找到問題的突破口，發現一般規律,再給出“持之有據”的證明,有效實現問題解決.在數學問題解決中,學生不但要會邏輯分析,而且更應在尋找特例、發現問題結構特征、洞察問題本質時[5],結合自身已有的數學活動經驗恰當運用數學猜想，從最簡單、最特殊的情況入手,找到問題解決的突破口，增強“問題解決”的能力，從而更有效地立足于新課標中的“四基”，提升數學思維[6].而這種以已有的數學活動經驗為基礎，結合“先猜后證”的問題解決方式不僅對于學生問題解決能力的培養是非常有幫助的，而且更能幫助學生找到“問題解決”中存在的不變性質，抓住問題的本質，更有效地實現問題解決，幫助知識經驗的遷移與獲得,這對于學生今后進行更高層次的問題解決的學習是非常有益的.

[1]鮑建生,徐斌艷.數學教育研究導引(二)[M].南京:江蘇教育出版社,2013.

[2]仲秀英.學生數學活動經驗研究[D].重慶:西南大學，2008:45-56.

[3]喻平.數學問題解決認知模式及教學理論研究[D].南京:南京師范大學，2002:17-21.

[4]傅航.先猜后證的數學思想在高中教學中的應用[J].數學通報,2007(4):38-39.

[5]余錦銀.活用特殊化思想巧解數學解答題[J].中學數學,2009(1):16-18.

[6]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準(2011年)[M].北京:北京師范大學出版社,2012.

*收文日期：2016-05-05；2016-06-10

房香玉(1991-)，四川德陽人，碩士研究生.研究方向：數學教育.

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1003-6407(2016)09-01-04