談立體幾何教學中邏輯推理核心素養的培養

程彤霖

(江西省九江市永修縣第一中學，九江　330304)

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談立體幾何教學中邏輯推理核心素養的培養

程彤霖

(江西省九江市永修縣第一中學，九江330304)

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程．主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要是演繹．邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質．在邏輯推理核心素養的形成過程中，學生能夠發現問題和提出命題；能掌握推理的基本形式，表述論證的過程；能理解數學知識之間的聯系，建構知識框架；能形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，增強數學交流能力．

立體幾何邏輯推理核心素養教學培養

數學核心素養是學生學習數學需具備的關鍵能力與思維品質，能適應個人終身發展和社會發展的需要．數學核心素養是數學課程目標的集中體現，并在數學學習的過程中逐步形成的．它包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析．

這些數學核心素養既獨立，又相互交融，形成一個有機整體．它們幾乎都與立體幾何的教學直接或間接相關，其中與符號表示、轉化思想、歸納類比、演繹證明、運算求解、反思與建構等直接相關．因此，通過立體幾何的教學來培養學生的邏輯推理素養，具有廣泛的意義．下面筆者就從幾個方面淺談立體幾何教學中學生邏輯推理核心素養的培養．

一、符號表示方面

羅素說過，數學就是符號加邏輯．高中立體幾何學習中的點、線、面、體都是用圖形和符號呈現出來的，對所研究的立體對象按照“幾何模型—圖形—文字—符號”的程序進行的．學習中要學會將抽象的符號與直觀圖形聯系起來，讀懂符號并使用符號，了解文字語言、符號語言、圖形語言這三種語言的互譯．在立體幾何的教學中，要經常訓練學生用三種語言來表示所學的定理、公理、定義等．如在教學中，我們可以用類似表1這樣的方式來引導學生練習．

學生通過這樣的訓練后，無論是空間觀念，還是對定理的理解與記憶都得到了較大的提高，同時對證明和規范答題也有幫助．在解決用文字語言表達的數學練習題中，首先就必須把文字語言翻譯成符號語言，有時還

表1

需要借助圖形才能正確理解題意．因此，在立體幾何教學中，教師要注重訓練學生用符號語言和圖形語言來表達數學信息，培養學生嚴謹、科學、規范的邏輯推理核心素養．

二、轉化思想方面

轉化思想是一個極其重要的數學思想，在立體幾何中這一思想顯得尤為重要，它是學好本部分內容的關鍵所在．本部分內容的轉化思想主要體現在以下幾個方面．

1．文字語言、圖形語言、符號語言的互相轉化．本部分內容出現的定理和性質都是以文字形式給出的，證明之前必須先把它們轉化為圖形語言，再轉化為符號語言，這是一種學習立體幾何的基本功訓練，不可等閑視之．

2．空間問題與平面問題的互相轉化．處理立體幾何問題，往往要把它轉化為平面問題來解決．例如通過截面、展開、射影等手段，將空間中分散的條件集中到同一平面上來．

3．“線線”“線面”“面面”之間的互相轉化．立體幾何問題的有關證明中，“面面垂直”通常轉化為“線面垂直”，而“線面垂直”通常轉化為“線線垂直”；“二面角”和“線面角”通常轉化為“線線角”，“線面距離”“面面距離”通常轉化為“點面距離”．在立體幾何教學中，要經常滲透“轉化思想”，在教師潛移默化的訓練下，學生的“轉化”能力必將得到提高，從而使他們在不知不覺中提高邏輯推理核心素養．

三、歸納類比方面

歸納就是以特殊性知識為前提，推出一般性知識結論的推理方法．類比是根據兩個對象在某些方面的相同或相似，推出它們在其他方面的相同或相似的一種推理方法．立體幾何教學中，要加強變式訓練，練習要講究科學性、有效性，由淺入深、逐步遞進，構造合理的序列．同時，練習還要有一定的靈活性，并注意引導學生發現解題規律、掌握學習方法和思維方法，這樣才能使學生在千變萬化的問題中應付自如．數學題目雖然多樣化，但其規律和類型都是有限的．引導學生歸納總結解題規律，用規律指導練習是提高學習質量、減輕學習負擔的根本途徑．立體幾何題目繁多，常用的數學思想方法有平移、翻折、割補、旋轉、借用、添線、替代、假設等，在相應的基礎知識教學后，讓學生練習、應用這些基本的解題方法，以提高學生應用知識解決問題的能力．例如：判斷空間直線的位置關系，最佳方法是構造恰當的幾何圖形，它具有直觀和易于判斷的優點；遇到證明點或面共線的問題，通常是證明點在同一條直線上；在解翻折問題時，要注意各個量在折前與折后的變化與否；有三條相交直線兩兩互相垂直，可以考慮建立空間直角坐標系，或者想到長方體從一個頂點出發的三條棱，等等．

另外教學中可以把空間中的位置關系與平面中的位置關系進行類比；空間的距離與平面的距離進行類比；空間的角與平面的角進行類比．講授新知識的同時，回顧與舊知識的聯系，創造條件進行類比．教學中要有意識地培養學生歸納總結和分析類比的邏輯推理核心素養．

四、演繹證明方面

演繹證明是運用演繹推理所作的證明．立體幾何證明是學習立體幾何必不可少的內容之一．它對邏輯思維的訓練和發展有著相當重要的作用．但是很多學生有“證明恐懼癥”，存在有證明思路卻無法用數學語言和符號表達或證明，證明過程煩瑣不規范等問題．教師在教學中，首先對定理的教學要有推理證明的過程，不能直接給出讓學生被動接受．其次對例題的求解要做必要的科學、規范、簡潔、邏輯嚴密的書寫示范．同時要求學生對“線線平行”“線面平行”“面面平行” 及“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”的相互推導做到爛熟于心．結合轉化思想和嚴謹、規范的解題過程，使證明問題得到解決．

五、運算求解方面

運算能力是中學數學教學中要求培養的重要能力，也是每年高考必定考查的一種能力．在立體幾何中，集中體現培養學生運算求解的內容就是用向量法解立體幾何問題．這種方法有別于傳統的純幾何方法，是將幾何元素用向量表示，進行向量運算，再回歸到幾何問題中．

學生用向量法解決立體幾何問題時，求解的方法是通性通法的，解題思路很明確．常見的問題是方法都會，一算就錯．經常會出現坐標運算錯誤、法向量求解錯誤、代入計算錯誤等．教師在教學中要培養學生解題時的嚴謹和專注，建立不同的坐標系求解同一問題，運用向量法和傳統法求解同一問題，不斷提高學生的運算速度和運算的正確率．

六、反思與建構方面

反思是對自己的思維過程、思維結果進行再認識的檢驗過程，是自我喚醒的過程，它是學習中不可缺少的重要環節．建構主義也叫結構主義，建構主義認為，由主客體相互作用而形成的對客觀世界的認識．知識是不能簡單地被傳授的，必須通過學生自身已有的經驗、方式和信念，以主動、積極的建構方式獲得．未經反思的知識是無法融入或建構新的認知結構的，是一種低效的甚至無效的學習．

立體幾何與平面幾何有著密切的聯系．立體幾何中的許多定理、公式和法則都是平面幾何定理、公式、法則在空間中的推廣，處理問題的思想方法有許多相似之處，但必須注意這兩者之間又有著明顯的區別，有時平面幾何的局限性會對立體幾何的學習產生一些干擾和阻礙作用，如果僅憑平面幾何的經驗，用平面幾何的結論套用到空間中的物體，有時會產生錯誤．例如，在平面幾何中命題“若a⊥b，b⊥c，則b∥c”“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”都為真命題，但在立體幾何中未必是真命題．因此，平面幾何的定義、定理對空間圖形需要經過證明才能應用．在立體幾何教學中教師要強調學生對自己的思維過程不斷地反思，總結反思之后建構出對此問題新的認識．

總之，在立體幾何教學中，只要我們認真地去學習和探索，大膽科學地去實踐新課改所呈現的教育教學理念，有意識地從以上幾方面對學生加以點撥、引導，就一定能不斷提高學生的邏輯推理核心素養．

(責任編輯：李珺)