關(guān)于處理小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)疑難爭議問題的幾點思考

劉自強

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常有一些疑難問題會引起教師的爭議、困惑。比如：對一些數(shù)學(xué)概念的理解與把握等知識性問題;對不同年段、學(xué)段教學(xué)要求的“度”的把握等技術(shù)性問題;對教師教學(xué)語言、學(xué)生作業(yè)格式的要求等規(guī)范性問題;因教學(xué)的階段要求以及學(xué)科概念與生活用語習(xí)慣混淆而引起的差異性問題，等等。這些問題往往在學(xué)生答題或質(zhì)疑時產(chǎn)生，教師卻難以給出明確回答，甚至在同行之間引發(fā)爭議，時常辯論不休，但又莫衷一是，成為長期困擾一線教師的“沉疴痼疾”。國內(nèi)教育教學(xué)刊物上雖然有過一些相關(guān)具體問題的探討，但多是零散討論，就題論題，沒能從根本上提高教師的分析、辨別能力。

針對上述問題，福州市小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教研工作室從為教研服務(wù)的立場出發(fā)，將此作為一個課題，向一線教師廣泛征集疑難爭議問題，并組織教研力量進行深入研究，力圖給出較為規(guī)范、有根據(jù)的回答。在此基礎(chǔ)上，我們還通過適當(dāng)分類，歸納形成了解決類似問題的一些基本方法、策略或原則。以下通過舉例說明，與一線教師共享，希望有助于大家據(jù)此對有關(guān)問題進行分析，作出正確判斷。

一、登高望遠(yuǎn)，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)知識

從教師自身來看，很多爭議是由于教師自身數(shù)學(xué)本體性知識的缺陷，對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及其產(chǎn)生的背景缺乏深刻的把握，以及小學(xué)教師職業(yè)帶來的思維“童化”——即伴隨著體驗兒童認(rèn)知特點的過程，引起數(shù)學(xué)思維的退化現(xiàn)象。

問題1 三角形能叫三邊形嗎？反之，多邊形為什么不叫多角形？

簡答：在數(shù)學(xué)上，多邊形是用它的邊（線段）來定義的，其定義過程的邏輯順序是：

線段→折線→封閉折線→平面折線→多邊形→n邊形

所以，稱“多邊形”符合它的概念定義特征。另外，組成幾何體的基本元素是點、線、面，用“×邊形”“×面體”來命名相關(guān)幾何形體也更顯得簡潔、一致。

三角形的定義也是如此：“由三條線段首尾順次連接所組成的圖形……”按理叫它“三邊形”也無不可。

但是，雖然數(shù)學(xué)概念的定義要基于它的本質(zhì)屬性，而它的命名卻既有一定的合理性（能刻畫概念特征，簡潔、系統(tǒng)），也有一定的偶然性（先入為主，沿用生活概念，約定俗成）。

采用“多邊形”命名主要源于前一種因素。其實類似于三角形，生活中人們通常稱四邊形、六邊形為“四角形”“六角形”。《中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊》中就有“……多邊形，又叫多角形”的表述和“多角形，即多邊形”的解釋，可見兩種命名均可，但n≥4時，數(shù)學(xué)上習(xí)慣稱之為“n邊形”。

至于n=3時，數(shù)學(xué)上不采用“三邊形”這個名稱，更多的還是因為現(xiàn)實生活的約定俗成因素，即“三角形”名稱在生活中對人們的影響更強，所以《中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊》中特別指出：“……當(dāng)n=3時，習(xí)慣上稱為三角形，而不說三邊形。”

所以，如果有學(xué)生質(zhì)疑，可以告訴他：叫“三邊形”有道理，但是數(shù)學(xué)上尊重約定俗成。

由此引申到：課堂教學(xué)中讓小學(xué)生給數(shù)學(xué)概念“起名字”是否有意義？——我們認(rèn)為，關(guān)鍵要看是否指向數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注概念的特征（本質(zhì)屬性）。比如：有的老師在給三角形分類時，讓學(xué)生給各類三角形起名字，由此引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注各類三角形的不同特點，顯然很有意義。但如果只是形式上想體現(xiàn)讓學(xué)生“自主”，那就大可不必了。

問題2 “平角是一條直線”，“周角是一條射線”，對嗎？0°角與周角有什么區(qū)別？

簡答：新教材對角的定義是：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形。所以，我們要明確：角的圖形包括一個頂點、兩條邊以及它們叉開（旋轉(zhuǎn)過）的角度。那么：

（1）平角是一條射線（始邊）繞它的端點旋轉(zhuǎn)180度，使終邊和始邊在同一條直線上，方向相反時，所構(gòu)成的圖形。它的要素包括：一個頂點，兩條邊以及一邊轉(zhuǎn)過的角度。平角是可以測量的，它等于180度。而直線是沒有端點、無限長、不可測量、沒有角度的。

可見平角與直線是不同的概念，平角不是一條直線，但是我們可以說“平角的兩邊在同一條直線上”。

（2）由上可知，一個角一定有一條始邊和一條終邊，看一個角不能只看終邊或只看始邊。所以，周角不是一條射線，而是射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)360度后所成的圖形，這時它的兩條邊重合。0°角（也稱零角）同樣要看作是兩條邊重合，因此不能認(rèn)為是一條射線。零度角與周角的區(qū)別在于：零度角的邊沒有轉(zhuǎn)動。

可見，對于這類問題，教師自身要加強學(xué)習(xí)，努力提升學(xué)科本體知識水平，從更高的視角來分析、把握有關(guān)知識，才能撥開迷霧見真理。

二、階段區(qū)別，關(guān)注知識后續(xù)發(fā)展

數(shù)學(xué)知識是一個系統(tǒng)的整體，但很多數(shù)學(xué)內(nèi)容在小學(xué)是分階段、由低到高、螺旋上升編排的，往往在一個階段內(nèi)只學(xué)習(xí)某一知識的一部分，在后續(xù)的教學(xué)中再逐步加深和拓寬。這就給一線教師的教學(xué)及評價帶來了“如何把握教學(xué)要求的度”的問題。

問題3 二年級上學(xué)期教學(xué)《角的初步認(rèn)識》時，認(rèn)識銳角和鈍角，是以直角為標(biāo)準(zhǔn)，說“銳角比直角小”“鈍角比直角大”。加上“大于0度”“比平角小”這樣的補充說明，是不是更嚴(yán)謹(jǐn)？

簡答：這是關(guān)于整體認(rèn)識和階段把握的問題。新課標(biāo)第一學(xué)段要求：結(jié)合生活情境認(rèn)識角，了解直角、銳角和鈍角。即只要學(xué)生能從具體實例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征，以及根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說明對象。由于二年級學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)有關(guān)角的度量的知識，所以此時只要學(xué)生能把一個角與直角進行比較，知道它是哪一種角即可。

第二學(xué)段要求：知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的關(guān)系。因此，到了四年級上學(xué)期學(xué)習(xí)“角的分類”時，在學(xué)習(xí)了“角的度量”的基礎(chǔ)上進一步認(rèn)識銳角和鈍角，這時才可以要求學(xué)生根據(jù)角的度數(shù)來區(qū)分銳角和鈍角，明確鈍角大于直角而小于平角，銳角小于直角。

由于小學(xué)生直觀感知的角是有公共端點的兩條射線組成的圖形，所以不宜介入“零度角”這個概念，此時研究零度角也沒有意義。而且，認(rèn)識周角時還是以直觀演示的方式來突破“兩邊重合”這個難點，添上零度角只會給學(xué)生增添無謂的干擾。

問題4 數(shù)平行四邊形個數(shù)時要不要包括長方形？

簡答：這個問題要分學(xué)段來看。根據(jù)新課標(biāo)，第一學(xué)段對平行四邊形的學(xué)習(xí)要求為“能辨認(rèn)”“會（用它）拼圖”，都是直觀層面的;第二學(xué)段才要求“認(rèn)識”，即會描述其特征以及與相關(guān)對象間的區(qū)別和聯(lián)系。可見，在第二學(xué)段學(xué)習(xí)了平行四邊形與長方形（正方形）的關(guān)系之后，數(shù)平行四邊形個數(shù)時要包括長方形（同樣，數(shù)長方形個數(shù)時要包括正方形），而在第一學(xué)段則不應(yīng)要求學(xué)生做這樣的聯(lián)系。

但也有這樣的個例：一名三年級學(xué)生在數(shù)平行四邊形個數(shù)時包括了長方形，他說：“爸爸告訴我，長方形也是平行四邊形。”我們認(rèn)為，個別學(xué)生在數(shù)學(xué)上的這種不同發(fā)展，是應(yīng)該允許和肯定的，這樣更有利于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。

所以，對于不同階段學(xué)習(xí)要求上的差異，我們既要認(rèn)真鉆研新課標(biāo)和教材，從總體上把握好“度”，也要注意對特殊情況的妥善處理，使之更有利于后續(xù)學(xué)習(xí)的銜接。為此，在評價方面可以靈活掌握，但不必鼓勵所有學(xué)生都達到那樣超前的認(rèn)識。

三、恰當(dāng)規(guī)范，著重基于數(shù)學(xué)本質(zhì)

為了便于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、交流和運用，數(shù)學(xué)教學(xué)中有許多格式等方面的標(biāo)準(zhǔn)要求，我們不妨統(tǒng)稱為“規(guī)范”。由于各種原因，這些規(guī)范在給數(shù)學(xué)教學(xué)和評價提供方便的同時，也帶來了一些爭議和不必要的麻煩。對此，我們必須明確：嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)的特征之一，所以“規(guī)范”是必要的，它有利于促進學(xué)生的邏輯思維發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。其次，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要追求的是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而非形式，所以“規(guī)范”不應(yīng)是生硬和一成不變的。從一些數(shù)學(xué)規(guī)定不斷被優(yōu)化、簡化的歷史發(fā)展過程，可以看出數(shù)學(xué)也是在動態(tài)發(fā)展的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要基于數(shù)學(xué)的本質(zhì)來看待規(guī)范要求，使“規(guī)范”與“寬容”相輔相成，更好地促進學(xué)生發(fā)展。

問題5 在解答如：“媽媽買了15個蘋果，吃了8個，還剩幾個？”這樣“已知總體求部分”的問題時，學(xué)生列成加法算式“8+7=15”是否可以？

簡答：低年級學(xué)生受“想加算減”習(xí)慣的影響，常常會經(jīng)歷這樣一個過程，但是對這種做法不應(yīng)鼓勵，否則將不利于減法概念的建立，也不利于逆向思維的培養(yǎng)。

遇到這種情況，教師應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識到解題的基本規(guī)范，那就是：算出的答案必須是題目所要求的。同時，可以引導(dǎo)他們先將所求用括號表示：（ ）+8=15，然后根據(jù)逆運算關(guān)系列出減法算式，這樣更能體現(xiàn)對學(xué)生思維過程的引導(dǎo)。

問題6 對于“怎樣簡便就怎樣算”這類題目，解題時有什么具體要求？

簡答：計算是比較主觀的過程，肯定應(yīng)該允許學(xué)生存在各自的差異性。從這個意義上說，學(xué)生根據(jù)自己的計算習(xí)慣靈活選擇的算法、順序，只要正確都是可以的。

但是，教學(xué)中教師也必須和學(xué)生達成評價共識，從更寬闊的視野予以規(guī)范要求。那就是“簡便”應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)為：（1）符合運算法則和運算定律;（2）便于口算或簡化計算過程。例如：計算125×88，可以有125×8×11，125×80+125×8，125×11×8等不同的計算過程轉(zhuǎn)化。其中第三種先算“125×11”這一步，對于個別人也許覺得簡便，但顯然沒有普遍性。前兩種都是先轉(zhuǎn)化成能口算出整十整百的數(shù)，對所有人來說都簡便。作為平時練習(xí)，應(yīng)該要有這樣的引導(dǎo)，讓學(xué)生自覺地對計算式題進行分析，選擇較簡便的計算過程，還可以設(shè)計較大數(shù)字，凸顯簡便計算的好處，引導(dǎo)學(xué)生形成自覺運用有關(guān)定律、性質(zhì)進行簡便計算的意識，提高運算能力。但在考查時，則可適當(dāng)?shù)胤艑捯螅o學(xué)生更多的靈活性。

除了可以定論的規(guī)范要求之外，更多的是一些介于黑白之間的“灰色區(qū)域”，似乎是A面、B面都有道理，這種情況下只要不會傷及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，我們就應(yīng)采取寬容的態(tài)度，不要用太多人為“規(guī)矩”框住學(xué)生，影響他的數(shù)學(xué)思考。也就是說，對于規(guī)范要求問題，應(yīng)本著：

確實需要規(guī)范的，平時教學(xué)要從嚴(yán);應(yīng)該規(guī)范但無礙數(shù)學(xué)本質(zhì)的，考試評價可從寬。

四、嚴(yán)謹(jǐn)命題，聯(lián)系實際避免歧義

教學(xué)中很多爭議往往是從對學(xué)生答題的評價過程產(chǎn)生的。除了上述各種情況外，有相當(dāng)部分是由于題目設(shè)計時表述不夠嚴(yán)謹(jǐn)，條件限定不夠明確，或者由于題目情境聯(lián)系生活實際時，數(shù)學(xué)語言與生活語言的差異造成的。

例如：判斷題“正方體的6個面都是長方形”雖然是真命題，但是從試題設(shè)計的目的性來看卻是劣質(zhì)題，劣在其檢測的目的不明確——是要考查學(xué)生對正方體概念的理解，還是對正方形和長方形關(guān)系的把握？不如改成：（判斷題）“有兩個面是正方形的長方體一定是正方體”或“有兩個相鄰的面是正方形的長方體一定是正方體”，這樣檢測目的明確，既無歧義，又有思維含量，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

可見，設(shè)計題目時要仔細(xì)斟酌推敲，盡量避免歧義;一旦出現(xiàn)答題爭議，要多從題目自身的嚴(yán)謹(jǐn)性上去分析。另外，還要注意數(shù)學(xué)學(xué)科知識與生活概念、習(xí)慣用語之間的差別。

數(shù)學(xué)教育的核心在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，對教學(xué)中存在的疑難、爭議問題的分析，應(yīng)本著著眼核心目標(biāo)，以是否關(guān)乎數(shù)學(xué)本質(zhì)，是否有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升和后續(xù)學(xué)習(xí)的發(fā)展為準(zhǔn)則。基于這樣的理念，我們就容易作出正確判斷，達成共識。