數學應用題教學中解決問題的變式教學初探

韓旦

解決問題的變式，就是改變解決問題的呈現形式——變一般式為特殊式、變標準式為相似式、變定型式為活動式。這種變式教學，旨在突出解決問題中數量關系的本質，訓練學生在多變繁雜的情形中準確審題和靈活解答的能力。即：將解決問題看作一個整體，一般包括事理、情節、關系、結構、條件、問題、數量等因素，現著重介紹其中的幾種。

一、應用解決問題過程中的條件變式

解決問題的條件，就是解決問題所反映的有關事情的存在和狀況。解決問題中的條件一般有直接條件和間接條件、外顯條件和潛在條件、具體條件和抽象條件、必要條件和多余條件，教學中宜依據具體情況對上述四對條件進行相互變式。

（1）直接條件和間接條件。直接條件是可直接參加列式計算的已知條件。如：“正方體的棱長是3厘米，那么這個正方體的體積是多少？”題中條件為直接條件，而間接條件則需變式后方可列式計算。如：“用一根長36cm的鐵絲焊接成一個正方體，那么這個正方體的體積是多少？”題中“一根長36cm的鐵絲”是間接條件。

（2）外顯條件和潛在條件。明顯外化的已知條件是外顯條件。一般地，直接條件和間接條件均是外顯條件。隱蔽內化的已知條件則是潛在條件。如：“一只手表分針長2cm，分針11：00走到12：00，問：分針的尖端走過的路程是多少厘米？”這里的條件中“分針從11：00走到12：00”指的就是“分針走了1小時，也就是走了一圈”。

（3）具體條件和抽象條件。具體條件是含有數量或倍率的已知條件。如：“長青橋小學有一塊面積是490平方米的長方形苗圃，苗圃長35米，寬是多少米？”而抽象條件就是不含有數量或倍率而僅用句子陳述的已知條件。如歸一問題：“李師傅5天加工50個零件，照這樣計算，加工200個零件要用多少天？”

（4）必要條件和多余條件。解題時必不可少的已知條件是必要條件。如“把一根長36厘米的鐵絲圍成一個最大的正方形，求這個正方形的面積”中的“最大”就是不可缺少的。對解題過程沒有作用的已知條件稱之為多余條件。如：“小明家有14只雞和5只鴨。公雞有6只，母雞有幾只？”本題的問題是求母雞的只數，只要知道總的雞數和公雞的只數就可以求出，算法是14-6=8（只）。題目中的一個條件“5只鴨”沒有用到，是一個多余條件。

二、應用解決問題過程中的問題變式

解決問題中的問題，就是解決問題中所反映的有關事情的矛盾和任務。

（1）級變。即把一級（個）問題“折”為二級（個），或將二級（個）問題“合”為一級（個）問題。如：

〔原題〕四（4）班男女學生之比是5：4，男生比女生多5人。男生與女生分別有多少人？

〔變題〕四（4）班男女學生之比是5：4，男生比女生多5人。男生與女生一共有多少人？

（2）恒變。即進行非本質屬性的變式。如：

〔原題〕小明有一本120頁的故事書，看了5天，每天看8頁，小明已經看了多少頁？

〔變題〕小明有一本120頁的故事書，看了5天，每天看8頁，還剩下多少頁沒有看？

（3）異變。即進行本質屬性的變式。如：

〔原題〕一個長方體玻璃魚缸，長50厘米，寬40厘米，高30厘米。這個魚缸能夠放入多少水？

〔變題〕一個長方體玻璃魚缸，長50厘米，寬40厘米，高30厘米。做這個魚缸至少需要玻璃多少平方厘米？

原題中求的是“長方體的體積”，而變題中求的是“長方體五個面的面積”。

三、應用解決問題過程中的事理變式

解決問題的事理，就是解決問題所反映的有關事情的含義和性質。小學的解決問題，大多反映日常生活和生產方面的事情，有的是學生親身經歷過的，有的是學生從未看到或聽到過的。因此，事情的熟悉和生疏對解決問題思路的形成有一定影響。如分數工程問題的事理，它不只局限于工程問題方面的題材，其他如修路、燒煤、行程、買賣、看書等題材，只要符合工程問題的特征，并具有“工程量÷合效率=合時間”性質，都可以進行事理變式。如：

〔原題〕甲、乙二人同時從相距38千米的兩地相向行走，甲每時行3千米，乙每時行5千米，經過幾時后兩人才能相遇？

〔變題〕

1.甲地到乙地的公路長436千米。兩輛汽車從兩地對開，甲車每小時行42千米，乙車每小時行46千米。經過幾小時兩車相遇？

2.電視機廠要裝配2500臺電視機，兩個組同時裝配，一個組每天裝配132臺，另一個組每天裝配118臺，需要幾天完成？

3.甲、乙兩個工程隊同時從兩端開挖一條1000米長的水渠，甲隊每天挖48米，乙隊每天挖52米，這條水渠多少天能夠完成？

……

四、應用解決問題過程中的結構變式

解決問題中的結構，就是解決問題中所反映的有關事情的關聯和排列，即解決問題的條件之間、條件與問題之間的搭配及序列安排?；镜慕鉀Q問題中的結構特征是“兩條件加一問題”構成三量關系，因此一步計算的解決問題中的結構不外乎兩種：順向結構——客觀表述與主觀思維的方向一致，逆向結構——客觀表述與主觀思維的方向相反。學生解答逆向結構的解決問題往往比解答順向結構的解決問題要難些。如：

〔原題〕小華在書店買了8本筆記本，5元一本，一共用去多少元？

〔變題〕小華在書店買了8本筆記本，用去40元，每本多少元？

原題的表述順序與學生的思維方向相同，1本筆記本的價錢→8本筆記本的價錢。變式題改變了陳述的順序，思考難度就變大了。

復合問題的結構主要有并列結構和偏正結構兩種，而逆向結構和順向結構包含其中。如歸一問題就是典型的并列結構，而平均問題有偏正結構，也有并列結構。如：

〔原題〕小軍看一本故事書，5天分別看10頁、12頁、11頁、14頁、13頁。平均每天看多少頁？

〔變題〕

1.小軍看一本故事書，前2天看了22頁，后3天看了38頁。平均每天看多少頁？

2.小軍看一本故事書，前2天看了22頁，比后3天少看16頁，平均每天看多少頁？

上面三題中，原題屬偏正結構，變題1屬并列結構，這兩題內部都包含了順向結構;變題2屬并列結構，其內部又有順向結構和逆向結構兩種。

結構變式主要有三種形式：

（1）順逆互變。即把順向結構改變成逆向結構，或者是將逆向結構改變成順向結構。

（2）前后互置。即打亂解決問題中已知條件的排列順序或方法。

（3）因果互調。即把求得的問題當作條件，要求的其中一個問題設在“條件部分”。如：

〔原題〕甲車間15人，乙車間19人。每人加工8個零件。兩個車間一共加工多少個零件？

〔變題〕甲車間15人，（ ?）。每人加工8個零件。兩個車間一共加工272個零件？

……

變式教學可以讓教師有目的、有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，可以幫助學生把所學的知識點融會貫通，從而讓學生在無窮的變化中領略數學的魅力，體會數學學習的樂趣?？傊?，教師要不斷更新觀念，因材施教，繼續完善“變式”教學模式，最終達到提高教學質量的目的，為學生學好數學、用好數學打下堅實的基礎。