從數學本質出發 創設問題情境

【摘 要】高效的課堂教學離不開有效的教學設計，而有效的教學設計的前提是把握教學內容的本質。分式與整式的本質區別在于給定字母值，代數式未必有值。把握好這一點，再引入概念、深化對概念的理解，進而掌握新知、鞏固提高，簡約高效的教學設計也就水到渠成了。

【關鍵詞】分式;數學本質;教學設計

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2016）03-0029-03

【作者簡介】徐丹陽，浙江省溫州市第二中學（浙江溫州，325000）學科組長，浙江省特級教師，正高級教師;浙江省骨干高級訪問學者、名師工作室指導師，浙江省教育廳課程分析教材編寫成員，溫州市首屆名師，浙江師范大學、溫州大學研究生導師。

分式與整式是兩種不同的代數式，“分式”一課的有效教學需要做到三點：一是突顯分式與整式的區別，突出分式的本質，讓學生觀察到分式的特征，得出分式的概念;二是以自然、簡潔、明了的方式，讓學生的思維經歷從分數到分式的一次螺旋式上升，感受從具體到抽象、從特殊到一般的認識過程;三是讓學生通過研究解決問題的過程，探究分式有意義的條件。為此，應當根據學生需要，通過設計目的性明確的簡約有效的問題情境，達成教學目標。

一、概念引入

創設兩個教學游戲，引出分式的概念。

【游戲1】①寫一個代數式滿足：當x=1時，代數式的值為2。②寫一個代數式滿足：當x=1時，代數式的值為2;并且，當x=2時，代數式的值為1。③寫一個代數式滿足：當x=1時，代數式的值為2;并且，當x=2時，代數式的值為1;當x=3時，代數式的值為。

對于①，許多學生會想到是2x或x+1。對于②，學生一般會思考一會兒，思維在整式范圍內轉悠，興奮地得出3-x，也會有少量學生發現，此時就可以進入下一個游戲。如果沒有出現分式，就繼續第三個問題。

【游戲2】當x=-3，-1，2，0…時，搶答求x+1，2x，3-x，的值。

學生將x的值代入以上四個代數式求值，在興奮搶答中，紛紛掉入圈套，大量出現當x=0時=0的錯誤。但很快會有“識貨”的孩子“發現真理”而興奮宣布：不對！分母是零！無意義！由此引入分式的概念：兩個整式相除，并且除式中含有字母，像這樣的代數式就叫分式。這類式子的特征是字母的某些取值使代數式無意義，原因在于分母含字母，取某值時，會出現值是零的情況。

【設計意圖】綜觀當下的諸多教材，對于“分式”一課均采用取材于生活實際，即列舉大量分式實例，通過列表達式的形式引入，體現數學來源于生活又服務于生活的特點，這種做法固然是合乎大多數教師的口味，但對于初一學生，卻沒有什么吸引力。而我上面的設計從培養函數意識的角度，讓學生在初步感受對應關系中，親自組建整式，并在整式不夠用時，讓分式自然地脫穎而出。更可貴的是，教師完全把發現的過程交由學生，讓學生一起來思考，不同層次的學生都有不同層次的發揮，這對培養學生提出問題和解決問題的能力無疑起到了很好的作用。

與平常的列舉大量分式實例引入分式相比，同樣是獲取不同代數式，但效果大不一樣。一方面，這樣簡約的設計，符合學生的游戲挑戰心理，不斷升級的難度激起學生克服困難的極大熱情，而每一次的成果又能促使其對下一輪挑戰抱有更大的熱情。而平常的列舉式引入，是一種零散的平淡無奇的無目的的工作。另一方面，從結果上看，列舉大量分式實例引入，盡管學生眼前是許多分式，但與學生已有經驗并無關聯。而本設計由字母與代數式數對的取值不同，引起代數式表達式的變化，讓學生看到分式奇妙一角，緊接而來的代數式求值，讓學生清晰地走進整式與分式的分水嶺——存在一個x的值使得代數式無意義！打破原有的“給定字母值必有代數式值可求”的經驗，這正是“分式與整式”本質的區別，也是最需要學生領悟的邏輯關系處。

筆者特別注重教學引入環節的教學設計，認為課堂教學的引入需要考慮下列三個方面：1.如何引導學生思考;2.思考什么內容;3.從何入手。本節課的教學將培養學生的函數意識作為教學的起點和核心點，設計求值游戲以學定教。喚起學生由直覺思維走向自覺思考，簡約不簡單。學生思維從無序到有序的發展過程，是享受數學美的過程，通過深入思考，喚起了學生自覺提出問題的積極性，從而進入“為什么代數式無意義”的探討。我們知道研究問題比解決問題更重要，以上精心設計的“引入環節”，所激發的學習興趣和探究欲望，在相當程度上決定了整節課分式的學習效益和效率。

二、概念理解

加深學生對分式概念的理解，要從兩個方面進行。一是設計探究活動讓學生類比分數和分式，進而體會分式的意義;二是讓學生將分式納入已有的多項式、單項式、整式、代數式等知識結構中。

探究活動1：已知老師原地起跳，3秒鐘跳的高度為46厘米，t秒鐘跳的高度為59厘米，5秒鐘跳的高度為h厘米，①求老師跳高的平均速度;②若t=4，h=75，那么老師跳了m秒，會跳多高呢？

根據上述條件，對于問題①，學生會很自然地列出代數式;;，此時不應當滿足于此，而應讓學生辨別哪些是分式，以此鞏固分式的概念。對于問題②，學生會發現每個分數都近似于15，即老師的平均速度約為15厘米每秒，m秒跳的高度是15m厘米。所以，老師的平均速度可以表示為分式：。這里要提醒學生一個重要的結論：分式比分數更具有一般性。

探究活動2：合作討論多項式、單項式、整式、代數式和分式的結構關系。引導學生畫出如下的關系圖。

【設計意圖】由于分式是分數的代數化，所以其性質與運算是完全類似的。因此，我們的設計十分注重觀察、歸納、類比、猜想等思維方法的應用。如：在分式的探索過程中，采用了觀察、類比的方法，通過觀察、猜想讓學生在討論、交流中獲得分式的概念，分式表達式也是通過抽象、概括獲得的。這樣，既滲透了常用的數學思維方法，又培養了學生的數學合理推理能力;更重要的是學生在獲得這些知識時，形成了自主探索、合作交流的學習習慣，這是非常重要的。

經歷本環節后，學生能感受分式與分數的聯系與區別，清楚分式源于分數，又比分數更具有一般性。緊接著的任務是體會分式的模型思想，進一步掌握分式成立的條件。

三、掌握新知

上面的教學過程中已經突出了分式的特點，下面設計5道例題來研究分式成立的條件。

例1：下列的式子中哪些是整式，哪些是分式？

例2：請在括號內添加一個代數式，使得原式成為分式。

例3：成立有條件嗎？

例4：對于分式，（1）當x取什么值時，分式有意義？（2）當x取什么值時，分式的值為零？

例5：鞏固練習（1）當x ?時，分式有意義;

（2）當x ?時，分式有意義;

（3）當b ?時，分式有意義;

（4）當x ?時，分式有意義;

（5）當x、y滿足關系 ?時，分式有意義;

（6）當x= ?時，分式的值等于0。

特別聲明：在本文中，若沒有特別說明，分式的字母取值都不使分母為零。

【設計意圖】例1目的是初步讓學生學會從形式上判斷分式。例2則緊抓分式的分子與分母的共性與異性，回歸概念，揭示分式的本質屬性。例3是對上面兩個例題的解后反思與總結。例4強調當分子等于0且分母不等于0時分式的值為0。例5通過變換問題的背景，培養學生的應變能力。

四、鞏固提高

至此，分式的基本知識就教學完畢了，下面需要設計例題鞏固知識。對于例題的設計可以開放條件和結論讓學生進行仿寫。例如：對于分式，可設計的問題有：①當x取不同值時，對應分式的值是多少？②當x為何值時，分式的值是1？仿照于此，可以讓學生就分式提出問題。

分式最終是表示具體情境中數量的模型，為了體現這一點，還應當設計應用題通過實際問題來鞏固分式意義。

例如，甲乙兩人從一條公路的某處出發，同向而行，已知甲每小時行a千米，乙每小時行b千米（a>b）。如果乙提前1小時出發，那么甲追上乙需要多少時間？若取a=b，此時表示的實際意義是什么？

【設計意圖】以上練習鞏固針對性強，通過仿寫來開放條件和結論，不僅可以加深學生對基礎知識的理解，使學生熟練地掌握解決這一類問題的方法，為運用分式概念提供范例，其解法體現了解決這一類問題的通性通法，蘊含了解決問題的基本數學思想和方法，能做到高效練習。

本課教學通過培養學生的函數意識，凸顯教學的最本質內容，有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從分式與整式的本質區別中突圍。在給出分式的概念時，通過觀察、歸納，抓住分式的實質，總結出整式與分式的異同，通過設計含有矛盾沖突的問題，突出數學問題的本質，得出分式的概念，講清楚學生觀察到的分式特征;在知識歸納與方法提升方面，旨在養成有效的思維習慣，不斷實踐，給所有學生以表達的機會，學會總結提煉，這些都是本課的亮點。

在教學過程中，教師的主要作用是組織學生開展有效的探索，其目的是讓學生自然地、自覺地把分式新知納入到原來的知識體系中，完善認知結構。活動的目的是讓學生通過經歷探究、思考、抽象、預測、推理、反思等過程，逐步達到對分式概念的意會、感悟，并能積累解決和分析問題的基本經驗，將這些經驗遷移運用到后續的數學學習中去。

學生在這樣的學習過程中，不斷發現問題、提出問題，進而不斷解決問題。學生的學習實現了主動高效。在以上問題情境的創設中，類比的思想被廣泛應用，學生不斷地用類比思想去探索新知，在學習分式時，用分數來類比，這個類比的過程并不是簡單地照搬照抄的過程，而是一個讓學生感悟的過程，是從相似點中“悟”到不同點。

總之，唯有深度解讀分式概念，教師擺脫以課堂講授新知為主、學生被動聽講的局面，用較大的精力投入教材解讀，讓課堂中有愉悅高效的學習情境，滿足學生對數學課堂的需求，方能達到簡約高效的課堂教學的目標。