方格巧數 見微知著

孫惠惠

【摘 要】不同教材能幫助我們了解各地不同的教學特色，形成更具有包容性和吸引力的數學內容。通過對中國大陸、中國臺灣、美國紐約州三地教材中方格點數策略的比較研究，從方法滲透、估算強化、表征建構等方面探討了通過關注知識的結構性特點，形成有包容力的認知結構；通過關注經驗的漸進性積累，形成有發展性的能力素養等問題與解決之法。

【關鍵詞】方格點數 教學策略 比較研究

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對平行四邊形的面積探索給出了非常具體的過程要求：“利用方格紙或割補等方法，探索并掌握平行四邊形的面積公式。”方格紙從無到有，直至正式列入課程標準，這不得不讓我們深思方格點數背后的現實價值所在。近期，有幸閱讀了美國和中國臺灣的數學教材，對學生在平行四邊形面積探索中所需要的方格點數能力有了進一步的認識，對如何形成包容性、開放性的課堂教學也有了更進一步的思考。

一、方格點數教學策略實施的共性比較

方格點數是學生在圖形面積學習過程中一種不可或缺的探索方法，也是一種難度較低，容易為學生所掌握的探索技能。雖然點數的方法比較麻煩，但最本源的方法往往是最有教育價值的方法。縱觀三地教材，三地在方格點數策略實施中有很多共同點。

第一，在教材編排上，三地都在平行四邊形面積公式推導前安排了方格點數的教學內容作為鋪墊，但實施教學的課時、程度、側重各有不同。

第二，在素材選擇上，三地都不約而同地選擇了面積是1平方厘米的方格圖，識圖便捷，累加簡單。

第三，在方法選擇上，三地都是充分運用單位面積累加，滲透面積的本質內涵。

第四，在教學實施過程中，教師鼓勵學生通過數方格直觀得出平行四邊形的面積，為面積公式的探究孕伏經驗基礎；指導學生直接在方格紙上進行圖形割補，直觀呈現割補結果，降低探究難度；引導學生通過對方格紙中平行四邊形和長方形的對比，發現平行四邊形的底和高與長方形的長和寬之間的對應關系。

二、方格點數教學策略實施的差異比較

（一）中國大陸：注重點數方法的滲透和半格累加的教學

中國大陸現行的六套教材中，各套教材都在平行四邊形面積教學之前對方格點數法進行了鋪墊，不同程度地讓學生接觸過方格紙和點數方法，其中北師版和蘇教版分別安排2課時和1課時的時間專門教學方格點數知識；西師版和青島版利用對稱、平移、旋轉的教學讓學生接觸了方格紙。人教版則在平行四邊形面積教學之后，單獨安排了利用方格點數法求不規則圖形面積的內容。教學中，主要滲透“單位面積個數累加就等于面積之和”的點數基本方法，如4個1平方厘米的小正方形所拼成的圖形，它的面積是4平方厘米（見圖1）。

素材選擇上，中國大陸的教材中大多將素材的選擇限制在正好半格，引導學生掌握兩個半格可以拼成一個整格的累加方法。對于不滿半格的圖形，教材中通常告知學生“不滿一格”可以近似的看成一格，不滿半格可以近似看成半格，初步滲透估算的思想（見圖2）。

（二）中國臺灣：注重半格的基本表征和多元化應用

在中國臺灣版的教材中，側重半格的基本表征和半格表征的多元化應用。在教材中，你能夠充分感受到對學生思維關注的細膩程度。教材不僅給出半格的概念，更給出了半格表征的兩種方式（見圖3）。

第一種表征方式是沿對角線分割成兩個相等的三角形，每個三角形的大小正好是半格；第二種表征方式是沿著對邊的中點分割成兩個相等的長方形，每個長方形的大小也正好是半格。

為了增強學生對于半格表征的運用，教材繼續跟進利用半格表征方法表示更大面積的圖形練習（見圖4）。利用半格的不同表征，學生可以創造出各種個性化的表示方法，如1.5平方公分的表示方法就有很多種，有些學生甚至在半格的基礎上繼續拓展，創造出兩個四分之一格可以表示半格的作品。在這個過程中，學生熟練運用方格點數技法的能力得以提升，解決非整數面積問題的能力也得到了迅速發展。

統覽中國兩地的教材，我們可以發現，從“隨意數”到“有方法地數”到最后“結構化地數”，這種最簡單的也是最笨的方格點數法，正在不知不覺中提升著學生解決面積問題的實際能力。教材編寫者在這些細微處的良苦用心，其實正來自于他們對面積本體知識的深度解讀。

（三）美國紐約州：注重點數估算的強化和方法的系統化

美國在方格點數方法的教學中，側重讓學生理解怎樣的幾個“不滿一格”可以近似的看成一格。如教材中給出了拉米雷斯先生利用網格來解決玻璃面積大小的問題，并給出了不滿一格的部分如何計算面積的具體方法（圖5）。如④、⑤屬能于一格多一點點，可看成近似一格；①、②、③、⑦屬于怎樣的兩格可以看成近似的一格；⑥、⑧、⑨屬于怎樣的三格可以看成近似的一格。這樣給出具體實例的分析，既能讓學生在實際單數中有方法指引和具體指導，又能夠讓學生在面對不同圖形的點數過程提高估算的精準度。

同時，教材中還配以跟進型的練習，讓學生在練習中，學會根據實際情境分析情況，恰當使用點數估算策略，熟練點數技能（見圖6）。

三、教學啟示與思考

方格點數不僅是面積度量中的一種重要方法，更是一種問題解決的方式。它有助于面積概念從具體到抽象的建構，有助于對度量過程的優化與抽象，更有助于學生對問題本質概念的理解與把握。

（一）理性認識累加，明確單位量累加的目的與意義

方塊累加是學生的一種操作活動，具有很強的結構性。如12個面積1平方厘米的小正方形可以擺出如下圖形（見圖7），它們的面積都是12平方厘米，但這其中，只有②③④號是長方形。借助拼組活動，可以滲透“標準計量單位個數累加的和就是總面積”的面積守恒原理；同時在這個過程中引入一些數學詞句，如“一行中有四個這樣的標準單位”“每行的個數同樣多”等等，用言語表征來強化圖形表征的特點，進而加固經驗，則會收到事半功倍的效果。而這些原始經驗、操作經驗的積累和數學規范語言的對接，會在以后的教學中產生重要的作用。

（二）結合想象優化度量，掌握面積的逐步抽象過程

在空間度量的背景下進行方格點數，就能發現，方格點數的過程，其實就是“度量思想”逐步滲透，面積表象逐步抽象的過程（見圖8）。

第一步：密鋪感知。見圖8-①，將12個小正方形完全密鋪完，所以長方形的面積就是12個小正方形的面積之和。

第二步：直觀感知。見圖8-②，在這個長方形中，第一行可以放4個小方格，可以放三行，那么這個長方形的面積就是4×3=12個。

第三步：估量感知。見圖8-③，在這個長方形中，以這個小方塊為標準單位進行測量，第一行可以放4個小方格，可以放三行，因此這個長方形的面積就是4×3=12個。在這一步中，學生已經有了“被測對象含有幾個度量單位”的初步意識。

第四步：度量感知。見圖8-④，沒有標準單位可參考，只能根據度量來確定長和寬，從而確定沿著長或寬各可以擺放幾個標準單位。

通過一次次的擺放和數，學生的數從“按個點數”到“按行點數”，從“按量（估計量）點數”到“按量計算”，充分感受到度量的逐步優化過程，感受到數學的抽象過程，以及抽象所帶來的問題解決的便捷。

（三）豐富核心表征，凸顯底和高的垂直關系

表征的豐富會帶來表象的牢固建立與知識的深入理解，而核心表征的建立，在理解概念和算理中顯得尤為重要。在長方形面積公式推導的教學中，盡管教師已經給出了盡量多元的表征，幫助不同層次的學生理解公式的形成過程，理解算式中各個數的含義。但在遷移到平行四邊形面積計算公式的推導時，依然有學生會毫不猶豫地猜測是底和鄰邊相乘，還有部分學生在選擇面積計算所需要的數字時，也會隨意選擇底和高，而不是選擇互相垂直的一組底和高。這些行為不由得令我們思考，是不是我們所提供的面積表征出現了問題，才致使知識的遷移產生了誤導。看來表征不僅需要多元，更需要突出底和高互相垂直的本質。

翻閱近10年的教學設計，我們可以明顯地發現，長方形面積公式的抽象過程中，我們提供給學生的關于長和寬各包含多少個長度單位的例子，通常都是沿鄰邊擺放的（見圖9-①），很少有沿非鄰邊擺放的例子（見圖9-②③）。因此，在大量實例的強烈刺激下，學生無意中就對底（長邊上計量單位的個數）、高（寬邊上計量單位的個數）形成了錯誤的關聯關系，引發后續公式推導的錯誤沖突。正是我們一直強調公式中是底×高，但在表征對應的一組底和高（互相垂直）時缺乏多元的表征，才使得學生疑惑，平行四邊形面積中為什么必須選擇和底邊對應的高相乘？

至此我們已經可以掩卷深思：學生思維中的這些疑慮、這些誤解、這些磕磕碰碰，都無一不在提醒著我們，該如何回到面積的本源展開教學，該如何借助操作活動、多元表征、理性解讀來幫助學生形成更有包容力的認知結構。看來，表征不僅需要多元，更需要變式。基礎知識的掌握程度直接決定著學生未來持續學習的能力！

參考文獻：

[1] 德里克·海洛克.數學教學ABC基本概念與核心理念[M].北京：教育科學出版社，2015.

[2] 劉加霞.小學數學幾何公式教學的教育價值分析——以“長方體的體積”為例[J].小學數學教學數學版，2012.

（浙江省寧波藝術實驗學校 315040）