例談計數器在三年級口算乘、除法中的運用

李曉華 夏瑞雪

【摘 要】計數器的使用范圍大多是在教學認識數的時候，借助計數器來體會十進制計數單位，包括數的組成、讀數和寫數。其實在三年級口算乘、除法時也可以使用計數器，幫助學生理解算理、掌握算法，從而完成從生活世界到數學世界的數學化過程。

【關鍵詞】計數器 抽象概括 口算乘除法

計數器是小學數學教學中常見的教學工具，從認識十以內的數開始，一直到大數的認識，都離不開計數器，教材中將生活中的具體數量引入，然后半抽象到計數器上，最后再抽象成數字，計數器在這個過程中起到了中轉的作用。因為計數器有別于生活中的具體數量，既略為抽象，又具有一定的操作性。小學生思維能力的發展是沿著操作水平到表象水平再到分析水平逐步提高的，對應的智力發展階段是從動作認知到圖形認知再到符號認知。因此，計數器是學生從生活世界走向數學世界的橋梁。然而在課堂教學中，計數器的使用還有待于挖掘和提高，目前，計數器的使用范圍大多是在教學認識數這一內容時使用，借助計數器來體會十進制計數單位，包括數的組成、讀數和寫數。有的教師在教學進位加法和退位減法時也會用到計數器。但是很少有教師在三年級上冊的口算一個數是整十、整百、整千數……的乘法時使用計數器，更少有教師在三年級下冊的口算被除數是整十、整百、整千數……的除法時使用計數器。筆者通過自身的教學實踐，來談如何在三年級口算乘除法時使用計數器，幫助學生理解算理、掌握算法，完成從生活世界到數學世界的數學化過程。

一、計數器在三年級上冊口算乘法中的運用

（一）生活引入

人教版三年級上冊第56頁主題圖：坐碰碰車每人20元，3人需要多少錢？

學生根據題意列出算式：20×3。很多學生都知道答案等于60，這時教師提問：你是怎么想的？引出學生的各種想法。

從生活中引入學習內容，喚起學生的已有經驗，尤其是大部分學生都知道20×3的積是60，部分學生能表達出自己的思考過程：因為2×3=6，所以20×3=60，在算法上確實如此計算，但是隱藏在這個背后的算理是什么？我們可以借助計數器來幫助學生理解算理。

（二）半抽象：計數器

大部分學生都是因為2×3=6，所以20×3=60。提出疑問：2×3=6與20×3=60之間有什么聯系呢？借助計數器演示：20在計數器上是表示2個十，2個十乘3是6個十，就是60。

在算式上看到的是20×3，而在計數器上看到的是2×3，因為計數器上有數位，學生很清楚地理解了20表示2個十，2個十乘3是6個十，就是60。計數器將2×3=6和20×3=60串聯起來，溝通了算法和算理，不僅知其然，更是知其所以然。

（三）遷移：從整十數遷移到整百、整千、整萬數……

計數器上的這些珠子可以用哪道乘法算式來表示呢？出示下圖，列式并說算理：200在計數器是表示2個百，2個百乘3是6個百，等等。從20遷移到200、2000、20000，數字變了，算理也隨著計數器上珠子的位置變化而變化，從幾個十到幾個百，再到幾個千乘3。

（四）抽象

觀察這四個計數器及乘法算式，你發現了什么？引導學生發現算式不同，但是在計數器上珠子的數量是一樣，都是2顆珠子，都是可以用2×3=6來思考。如下圖。

（五）概括

如果把2×3=6換成2×4=8，那么可以寫成哪些一個數是整十、整百、整千數的乘法？

如果換成是3×3=9呢？

觀察這三組算式，一個因數是整十、整百、整千數，一個因數是一位數，在計算方法上有什么相同的地方？全都可以轉化成表內乘法。為什么可以這么算？因為可以把整十、整百、整千數看成是幾個十、幾個百或者幾個千乘一位數。

至此，從生活中的數學計算，到計數器上的計算，再到純符號的運算，學生不僅掌握了計算方法，更明白了算理，從操作水平開始，通過計數器這一載體，發展到符號水平，完成了數學化的過程。

二、計數器在三年級下冊口算除法中的運用

（一）生活引入

人教版三年級下冊第11頁例1：把60張彩色手工紙平均分給3人，每人得到多少張？

學生根據題意列出算式是60÷3，問學生是怎么計算的，很多學生都說是因為6÷3=2，所以60÷3=20，再追問為什么可以這么計算呢？就回答不了了。其實這是引導學生發現算法背后的算理。沒有算理的支撐，算法是單薄的，必須讓學生明白6÷3=2和60÷3=20之間的關系。

（二）半抽象：計數器

將60÷3=20在計數器上表示出來是怎樣的呢？請看下圖，計數器將60轉化成了6個十，學生發現60÷3=20就是6個十除以3等于2個十，就是20。在計算的過程中深刻領會了算理，再去計算其他題目時，就會調用頭腦中計數器這個表象，快速地實現從生活數學到符號數學的轉化。

（三）遷移：移動珠子在計數器上的位置

如果將計數器上的珠子從十位移動到百位，你得到的是哪道除法算式？如果移動到千位呢？萬位呢？學生根據計數器上珠子在不同的位置列出不同的除法算式。

（四）抽象

根據計數器上的珠子，分別寫出下列算式，再進行抽象：這些算式在計算方法上有什么相同點？都是可以轉換成6÷3=2來計算。

（五）概括

變換數字，又可以寫成哪些算式？然后觀察這些算式，進行思考：這些算式有什么相同的地方和不同的地方？被除數是整十、整百、整千的，除以一位數，為什么可以化成表內除法來計算？挖掘計算方法背后的算理，那就是把整十、整百、整千數看成幾個十、幾個百、幾個千來計算。算式從特殊到一般，再從一般到特殊，深刻理解了算理，掌握了算法。

三、利用計數器溝通口算乘除法之間的聯系

乘法和除法之間存在天然的親密關系，而口算乘法和口算除法無論在外在表現形式上還是內在算理上，也有著千絲萬縷的聯系。在教學三年級下冊的口算除法時，可以引導學生回憶三年級上冊的口算乘法，再結合口算除法的算理，兩者的相同點都是把整十、整百、整千數看成幾個十、幾個百、幾個千來計算。

比如根據上圖寫一道乘法算式和一道除法算式，學生看到的都是6顆珠子，而表現出來的算式卻是20×3=60和60÷3=20，如果追問它們之間的關系，那就是都轉化成幾個十來計算。一個是表內乘法，一個是表內除法，然后再深挖，那就是全部都出自同一句乘法口訣：二三得六！最終，讓三年級的口算乘法和口算除法回歸到二年級的表內乘法口訣，實現了由薄到厚，再由厚到薄的知識發展過程，豎成線、橫成片。

數學學習的過程是一個螺旋上升的過程，學生在二年級熟練掌握的乘法口訣，在三年級的口算乘法和口算除法中得到了應用，通過計數器這一載體，溝通了三者之間的聯系，隨著年級的升高，學生的智力發展水平也從動手操作水平發展到了圖形表象水平，進而進入符號運算水平，在二年級時需要擺弄小棒的，到了三年級時就用看計數器的圖片就能明白算理了，到四年級幾乎就可以脫離圖形，獨立地進行符號運算了。這是一個智力水平發展的過程，也是知識能力不斷提升的過程，在這個過程中，我們不應該忽視中間環節——圖形表象的作用，計數器在三年級口算乘除法中得到的充分應用，正符合了學生的思維發展水平。

（浙江省瑞安市馬鞍山實驗小學 325200）