應用中學物理知識分析高速滑翔飛行器的關鍵氣動參數

張維桐

(中國人民大學附屬中學　北京　100080)

趙俊波

(中國航天空氣動力技術研究院　北京　100074)

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應用中學物理知識分析高速滑翔飛行器的關鍵氣動參數

張維桐①

(中國人民大學附屬中學北京100080)

趙俊波

(中國航天空氣動力技術研究院北京100074)

利用初等物理學與數學的知識，針對一種無動力、長距離、長航時的高速飛行器，重點分析了滑翔飛行器的初始速度、初始高度、升阻比、重阻比等參數對滑翔飛行航程和飛行末速度的影響，指出最關鍵的參數是初始速度和升阻比，這兩個參數數值大，滑翔飛行的距離就遠，飛行末速度就大.這與較復雜的3D彈道方程的數值計算結論一致.本文采用的物理數學分析方法，建立了簡便的解析式，對設計高超聲速滑翔飛行器有一定的工程應用價值.

滑翔飛行器高升阻比飛行器氣動設計

互聯網，特別是移動互聯網在全球的廣泛使用，使人們可以在任何時間、任何地點在全球的范圍內進行各種商業和貿易的活動，其中服務傳遞和到達是非常重要的一個環節.本文利用初等物理、數學知識，設想在不久的將來可以在全球范圍內建立一種低能耗長時間高航速的飛行送達設備，可以有效地將一點對一點，一點對多點快速有效地聯系在一起.實現現代社會人們對物體的快速傳遞的需要.目前美國亞馬遜公司正在研發的無人機送快遞物流系統“Amazon Prime Air”，由無人飛行器來取代人力負責送快遞，就是一種大范圍、快速送達服務的新模式.

圖1　高超滑翔飛行器飛行軌跡示意圖

現在的航空專家們提出了高超聲速滑翔飛行器的概念[1]，如圖1所示，高超聲速發射滑翔(HBG：Hypersonic Boost Glide)飛行器，由推力設備(例如火箭、高速的飛機等載體)將滑翔飛行器運送到某高度h0，然后，推力設備和滑翔飛行器分離，使其具有初始速度v0和再入角γ0的滑翔器在升力、阻力和重力的作用下進行滑翔.

這樣的飛行器的速度可以達到聲速的10倍以上，即從美國東部的紐約繞地球一圈到日本的東京，只需要不到2小時，可節約能耗8%至45%[2].

研究高速滑翔飛行器需要高等數學知識，建立復雜的數學模型.本文從中學物理、數學知識入手，對該飛行器的技術參數進行數學分析，主要研究那些關鍵技術參數對滑翔飛行器滑翔距離的重要影響.得到的分析結果與較復雜的數學模型的數值計算結論一致.這對于研制和設計滑翔飛行器有重要指導作用.

1　研究思路分析

兒童時期曾玩耍過投放紙飛機的游戲，經驗表明：投放紙飛機時，用力大、站得高、翼的面積大、頭尖、有一定正迎角投放滑翔得遠.

設計高超聲速滑翔飛行器的關鍵技術參數是什么？下面利用初等物理和數學知識分析這個高科技問題.

本文研究的基本思路是：首先，抽象出幾個特征參數，建立物理模型，推導解析式，通過計算分析與3D彈道方程得到的結論進行比較.

物理模型：通過物理學命題1和2(見下文)，將物理學中的力、運動學、動力學、功和能量等力學知識，有效地融合于具體的物理模型中，逐步引入各種特征參數.

解析公式：通過推導演變，使之解析式表達為

s=f1(v0,h0,k,β)ve=f2(v0,h0,k,β)

結果比較：分析各參變量對滑翔距離s,落地速度ve的影響.

2　基本問題研究

本節研究的目的是：通過物理學命題1和2，將物理學中的力、運動學、動力學、功和能量等力學知識，有效地融合于具體的物理模型中，逐步引入各種特征參數，通過物理分析確認合理的關系式，通過計算與驗證，最終確認滿足滑翔飛行距離遠及飛行末速度大的關鍵技術參數.

圖2　小球沿地面直線運動

根據勻變速直線運動的基本關系式

ve=v0-at

上述方程消去參變量t得

(1)

(1)建立了小球的運動距離、末速度與初始速度、加速度和時間的關系.

(2) 消去參變量t，就可以看出,小球初末動能的差，變成小球克服摩擦力所做的功.

物理學命題2：在高度為h0的平臺上，水平投放一個球，初速度為v0(圖3)，求解考慮空氣阻力(由于水平方向速度遠大于垂直方向速度，故僅考慮水平方向的阻力)，小球水平方向的飛行距離s和落點速度ve.

設a為水平方向空氣阻力產生的加速度大小,水平方向的運動方程

垂直方向略去阻力影響的運動方程

如果小球已落地，仍有水平速度(如圖3).

圖3　落地時小球水平方向的速度不為零

求小球運動的水平距離，取t=t⊥,則

(2)

末速度是水平速度與垂直速度合成的結果

(3)

式(2)和式(3)中又引入了一個重要參數β，表示小球水平方向的運動距離s和末速度ve都與初始速度、初始高度、重阻比有關.很明顯，小球的初始能量大，阻力小(重阻比大)，初始高度大，則運動距離s就遠，飛行末速度ve就大.

本命題研究表明：建立了小球的運動距離、末速度與初始速度、初始高度、重力加速度和重阻比的關系.

3　高超滑翔飛行器關鍵氣動技術參數研究

基本假設：不考慮地球扁平率,不考慮地球自轉,正如圖4所示，飛行器可簡化為一個質點，受到與速度方向垂直的升力L,與速度方向相反的阻力D,及地心引力mg.該質點具有初始再入速度v0,離地球表面高度h0.(通過運載工具使飛行器獲得相應的高度和速度后，飛行器脫離運載工具時的初始速度定義為初始再入速度，同時，該飛行器的姿態角，即初始再入速度方向與水平方向的夾角，定義為再入角)

圖4　飛行器受力簡化模型

主要研究、確定飛行距離s和末速度ve與哪些關鍵參數有關.

3.1初始速度v0和升阻比k

下面討論再入角γ0=0，飛行距離s和末速度ve與初始速度、升阻比的關系，如圖5.

圖5　飛行器再入角γ0=0時的受力簡化模型

滑翔飛行器在升力、阻力、重力和初始速度的作用下，假若升力和重力相等，則飛行器保持一定高度飛行.

L=mg

(4)

D=ma

(5)

式(4)除以式(5)得

(6)

由于升力等于重力，是等高平飛，則垂直方向速度為零.故飛行末速度

(7)

式(6)、(7)可以作為評估升阻比k和初始再入速度對飛行器等高滑翔飛行距離和末速度的影響.

式(6)、(7)將參變量t消掉，可導出物理學命題1的能量形式.

由式(7)得時間

代入式(6)得

(8)

當v0,v1給定，即可確定s與升阻比k的關系.

下面證明式(8)與物理學命題1得到的式(1)完全一致.

將式(8)改寫為

這就等價于小球沿地面直線運動，實際上，物理學命題1中，已隱含了小球受到的重力(mg)和地面支撐力(L)相等，因此，兩者的物理模型完全一樣(圖6).

式(8)中沒有高度參數h0，可以認為h0=0.

式(8)說明：引入升阻比k與飛行距離的關系是很有意義的.也就是說在升力與重力相等的條件下，降低阻力，提高升阻比可以增遠射程.

圖6　小球沿地面直線運動和升力等于重力時飛行器的受力簡化模型

根據式(8)計算得：飛行距離s隨v0(v01>v02)和升阻比增加，而增大，見圖7.

圖7　飛行距離s與升阻比k的關系

3.2再入高度h0和重阻比β

根據物理學命題2的研究，滑翔飛行器在有升力作用下(L=ma2)，構建合理的物理數學模型，即類似于在高度為h0的平臺上，投放一個球，在升力作用下，初速度為v0，小球落地時，仍有水平速度,如圖8所示，這種情況飛行時間為t⊥.

圖8　落地時小球水平方向的速度v1不為零

水平方向飛行距離

根據垂直方向動能和勢能關系式確定飛行時間t⊥

v⊥=(g-a2)t⊥

從上式可知,當升力等于重力ma2=mg時，則t⊥無限大，永遠不能落地.

當升力小于重力，即L

飛行末速度

(9)

(10)

4　分析結論

根據文獻[1,2]兩部高科技專著中數值分析方法可得出如下結論：

(1)高速滑翔飛行器，飛行距離s和末速度ve，隨初始速度v0和升阻比k增加而增大.

(2)高速滑翔飛行器，飛行距離s和末速度ve，隨初始高度h0和重阻比β增加而增大.

上述結論需要氣動設計專業技術人員，通過復雜的數值計算得到.而本文利用初等物理學和數學知識同樣可得到上述重要結論，并給出了解析表達式.

本文中的物理學命題1建立的式(7)、(8)可得結論(1).

本文中的物理學命題2建立的式(9)、(10)可得結論(2).

致謝:感謝中國人民大學附屬中學吳多常物理老師的積極鼓勵以及具有建設性的建議.

1張魯民，潘梅林，唐偉.載人飛船返回艙空氣動力學.北京：國防工業出版社,2002

2張魯民，葉友達，紀楚群，等.航天飛機空氣動力學分析.北京：國防工業出版社,2009

①張維桐(1998-),在讀高中生.指導教師：趙俊波(1979-)，博士，高級工程師，主要從事空氣動力學與飛行力學領域研究工作.

2016-03-10)