電荷擺球平衡問題

褚會鋒

(菱湖中學　浙江 湖州　313018)

邱為鋼

(湖州師范學院理學院　浙江 湖州　313000)

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電荷擺球平衡問題

褚會鋒

(菱湖中學浙江 湖州313018)

邱為鋼

(湖州師范學院理學院浙江 湖州313000)

分析了電荷擺球平衡問題“陷阱”，問題來自兩個帶電小球相對位置的特殊性,即位于同一豎直線上.對于特殊情況，詳細分析了平衡穩定位形和穩定性與各參數的關系.

電荷擺球平衡穩定性

中學物理力電模塊一個常見的模型是電荷擺球，一個帶電小球B固定，另一個帶電(同種電荷)小球A懸掛，求體系平衡時的位形.固定小球B，懸掛點O，懸掛小球A這三者位置沒有限制，可以任意擺放.如果出題者偏要把固定小球放在懸掛點的下方，這時就會出現文獻[1]所指出的“陷阱”問題，當兩個小球電量完全消失后，用力相似三角形和極限法計算得到的繩子拉力不一樣.我們先分析一般情況，說明“陷阱”問題的根源，然后就特殊情況詳細分析體系平衡時滿足的條件以及平衡的穩定性判據.

設一般情況下懸掛點為O，擺球為A，固定球為B，BA連線與O點正下方直線交于點C，如圖1所示.

設繩子中張力為T，擺球A重力G=mg，兩球庫侖力為F，繩長OA=l，OC=h，AC=d,那么由力相似三角形，得到

(1)

與文獻[1]特殊情況不同，這里的h是變化的，當兩球電荷逐漸變小到零時，F→0 ，d→0 ，h→l，T→G，沒有矛盾，也沒有“陷阱”.出現“陷阱”問題的根源在于題目設計得太巧了，固定小球正好在懸掛點的正下方.

圖1　電荷擺球示意簡圖

我們利用能量(勢能)方法[2]來求體系的平衡位形以及判斷平衡位形的穩定性. 為簡單考慮，只討論固定小球B在懸掛點的正下方這種情況.此時h不變，擺球A與垂直線的夾角是θ，體系的勢能為重力勢能和相互作用電勢能之和

(2)

定義一個長度量為

(3)

(4)

由式(4)，求得總勢能對偏移角θ的偏微分

(5)

系統的平衡位形對應于E′(θ)的極值點，一般有兩個，一個是θ=0，另一個是以下方程的解

(6)

利用數學軟件，很容易在(η,λ)平面上畫出f(η,λ)=1的曲線，如圖2所示.

圖2　參數(η,λ)上的平衡位形類別分界線

這個曲線是一個分界線，在這個曲線左邊，f(η,λ)>1，式(6)無解，系統只有θ=0的平衡位形；在這個曲線右邊，f(η,λ)<1，系統有θ=0和θ=arccos[f(η,λ)]兩種平衡位形.解析計算表明，在θ=arccos[f(η,λ)]的平衡位形處，量綱歸一化后的總勢能E′ 近似為開口向上的拋物線，意味著這種平衡是穩定平衡.在θ=0的平衡位形處，令Δθ=φ，把量綱歸一化后的總勢能式(4)展開到φ的兩次方，得到

(7)

由平衡穩定性判據條件可知，當

時，θ=0的平衡位形是穩定平衡；當

時，θ=0的平衡位形是不穩定平衡.當λ=1時，即懸線長度等于懸掛點到固定小球的距離，如果兩個電荷不變，偏移角θ趨向于零，兩個帶電小球的庫侖力趨向無窮大，系統不可能到達θ=0的位形.這時，量綱歸一化的總勢能為

(8)

總勢能對偏移角θ的偏微分

(9)

高中物理各級各類考題大部分來自理論模型，理論模型中的物理參數、數學參數(幾何形狀、空間維數、相對位置等)千變萬化，不能只局限于最簡單的情形，這樣才能開闊思路，提升物理思維的周到緊密性.

1何海明.電荷擺球平衡問題的陷阱. 中學物理教學參考，2013，42(11):52～53

2黃尚鵬. 用能量的觀點求解平衡問題例析. 物理教學, 2014(6)

2016-01-09)