淺析衛星變軌運動

姚黃濤　馮 杰

(上海師范大學　上海　200234)

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淺析衛星變軌運動

姚黃濤馮 杰

(上海師范大學上海200234)

從高中物理天體運動的一類題目出發，從角動量角度分析了衛星繞地球變軌運動的詳細過程，從能量的角度計算了衛星運動軌道半徑和衛星能量的關系.

天體運動能量角動量

1　引言

在高中物理天體運動這一章中，學生們經常會遇到這樣一類的題目[1]：

【例題】某人造地球衛星因受高空稀薄空氣的阻力作用，繞地球運轉的軌道會慢慢改變，多次測量中的衛星的運動可近似看作圓周運動.某次測量衛星的軌道半徑為r1，后來變為r2，r2

A.Ek2

B.Ek2T1

C.Ek2>Ek1，T2

D.Ek2>Ek1，T2>T1

此題的答案應選擇C.因為沿圓軌道運動的人造衛星，若受到某種阻力作用使其運動速率減小的同時，將由于萬有引力大于所需的向心力而導致衛星運動的軌道半徑減小，而軌道半徑在減小的衛星又會由于萬有引力對其做正功反使其運動速率增大.事實上，隨著阻力的作用，軌道半徑將變小，而運動速率將變大.但是有些學生會問，“既然重力和阻力都在做功，怎么就一定是重力做的功大于克服阻力做的功而使衛星的動能增加呢?”為了將此類問題分析清楚，我們考慮以下兩個問題：

(1)衛星是如何從一個大軌道改變到一個較小軌道的，即變軌的詳細過程是怎樣的.

(2)衛星所受阻力做的功要滿足什么條件才能保證衛星還能穩定飛行于軌道上.

2　衛星降落過程的速度與軌道半徑(v-r)關系

根據理論力學中的結論，當衛星受到一個阻力作用后，其線速度方向不再與軌道的矢徑垂直，衛星會以橢圓軌道繞地球飛行.但在這里，我們只考慮衛星所受擾動很小，且軌道是慢慢改變的，衛星的運動仍可近似看作圓周運動.

對于做穩定環繞運動的衛星，萬有引力提供向心力使衛星做圓周運動

可得

(1)

這里的v(r)為衛星做穩定圓周運動(不變軌)的速度.若衛星在半徑為r0的軌道上穩定地繞地球飛行，在此過程中極短時間內受到一個擾動，導致飛行速度變為v′(r0)，此v′(r0)小于衛星在這一軌道上的穩定繞行速度v(r0).在這一擾動之后，衛星就會往較小的軌道運動.假設變軌的過程無阻力，擾動是由衛星自身動力系統提供的.衛星只受到地球對它的萬有引力作用，萬有引力是一個有心力，所以衛星所受的力對地球球心的力矩等于零，衛星對地球球心的角動量守恒，所以

r0v′(r0)=rv′(r)

(2)

式中r0為衛星初始的穩態運動軌道半徑，v′(r0)為受到擾動后的速度，v′(r)為不同軌道半徑下衛星的速度.

式(1)和式(2)都是衛星速度與軌道半徑的關系式.它們之間的區別是：式(1)中的速度是衡量衛星的飛行狀態的，這個速度是狀態量，只要達到了這個狀態，衛星的軌道就是被約束的而不會發生變化.式(2)中的速度與半徑的關系是衛星變軌的過程中它們所滿足的關系，因而是過程性的.將式(1)和式(2)同時作于v-r圖上，如圖1所示.

圖1

一開始衛星以v(r0)的速度穩定地在r0軌道上繞行，對應圖中B點，受到擾動后，衛星速度變為v′(r0)，對應圖中C點，然后衛星將變軌至較小的軌道，變軌的過程對應到圖上為沿著v′(r)線從C→A，A為v(r)和v′(r)線的交點，這時衛星在軌道r上穩定飛行.因此，當衛星受到擾動變軌后無需提供動力，它會自動調整至穩態曲線上A點對應的軌道.不同的v′(r0)對應不同的A點，相當于在圖像上上下平移v′(r)線后得出不同的交點.對于A點，v′(r)=v(r)，則

(3)

設r為受到擾動后最終達到的穩態軌道半徑，擾動的總沖量為I，r0為初始時刻穩態軌道，根據動量定理

I=Δp=m[v(r0)-v′(r0)]

代入式(1)、(3)

得

(4)

上式即為在軌道r0飛行的衛星受到沖量I的擾動后，最終會到達的軌道r的大小.

3　衛星繞行的能量與軌道半徑(E-r)關系

上面是從速度與軌道半徑的角度對衛星變軌過程的一個討論，未涉及能量，下面從能量的角度討論衛星穩定于軌道上的條件.

(5)

衛星在某位置所具有的引力勢能在數值上等于將衛星從此位置移動到距離地球無窮遠處引力對衛星所做的功，則

式中加負號是因為引力做負功

(6)

所以衛星穩定飛行于軌道r上時具有的能量為

E(r)=Ep+Ek=

(7)

圖2　能量與軌道半徑示意圖

圖2為衛星在軌道上繞行時具有的能量和軌道半徑的示意圖，一個軌道對應一個能量；確定的能量對應一個確定的軌道.所以衛星的能量只有滿足式(7)，衛星才能繞行于穩定的軌道上.對于在圖上的A點和B點：其一，當衛星從r2軌道運行至r1軌道的過程中克服阻力做的功若大于E(r2)-E(r1)，則衛星最后無法穩定于r1上，其軌道半徑會繼續減小；其二，衛星在變軌時，能量是不守恒的，不僅僅是勢能轉化為動能，還必須損失一部分的能量才可以使衛星從大軌道繞行變換到小軌道繞行.

1吳敏，承開.高中物理重難點16講.上海：上海交通大學出版社，2006.71～74

2016-01-20)