光波的多普勒效應*

張子珍

(山西大同大學物理與電子科學學院　山西 大同　037009)

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光波的多普勒效應*

張子珍①

(山西大同大學物理與電子科學學院山西 大同037009)

光波的多普勒效應屬狹義相對論的范疇，本文用幾何語言和非幾何語言的狹義相對論知識推導了光波的多普勒效應公式，并且將兩種方法作了比較分析.

狹義相對論幾何語言多普勒效應

1　非幾何語言中狹義相對論的多普勒效應

1.14波矢的引入

按照洛倫茲變換下的變換性質，物理量分為3類：洛倫茲標量、矢量、張量[1].電磁波的相位因子φ是洛倫茲標量，即由∑系變到∑′系時

φ=φ′

(1)

電磁波傳播因子為eiφ,其中φ在∑系的表達式為

φ=k·x-ωt

在∑′系的表達式為

φ′=k′·x′-ω′t′

因相位是洛倫茲標量，故

k·x-ωt=k′·x′-ω′t′

(2)

(3)

且

1.2kμ在洛倫茲變換下的變換關系

(4)

其中aμν為洛倫茲變換矩陣.

(5)

(6)

其中ω′為光源的靜止參考系∑′測得的光源的頻率，即固有頻率ω0，k1為∑系的波矢量k的1分量，設k與x軸夾角為θ，則k1=kcosθ，在∑系測得光源的頻率ω為

(7)

式(7)即為多普勒效應.

當θ=0時，得

當θ=π時，得

2　幾何語言中狹義相對論的多普勒效應

2.14勢Aa的引入

在四維幾何語言中，電磁場張量Fab是2形式場，由麥克斯韋方程組?[aFbc]=0，可知Fab是閉的，又因為背景流形為IR4,IR4是單連通流形，單連通流形上閉的微分形式必是恰當的，故F是恰當的.即IR4存在1形式場Aa,使F=dA, 或Fab=?aAb-?bAa,Aa就是電磁場的4勢[2].

2.2 4勢的微分方程及洛倫茲規范條件

四維幾何語言中的麥克斯韋方程組

?aFab=-4πJb

(8)

用4勢表達為

?a?aAb-?a?bAa=

?a?aAb-?b?aAa=-4πJb

(9)

洛倫茲規范條件

?aAa=0

(10)

將式(10)代入式(9)，得

?a?aAb=-4πJb

(11)

式(11) 就是4勢滿足的微分方程，即達朗貝爾方程.

無源電磁場的波動方程

?a?aAb=0

(12)

2.3波動方程的解及光子的4波矢Ka

對波動方程式(12)取形式為

Ab=Cbcosθ

(13)

的解，將式(13)代入到式(12)中，得

?a?aAb=?a?a(Cbcosθ)=Cb?a(sinθ?aθ)=

-Cb(cosθ)?aθ?aθ-Cbsinθ?a?aθ=0

故滿足

?aθ?aθ=0

(14)

?a?aθ=0

(15)

的式(13)則為式(12)的解.令Ka=?aθ,由式(14)，有

KaKa=0

(16)

又根據式(16)

?b(KaKa)=2Ka?bKa=2Ka?b?aθ=

2Ka?a?bθ=2Ka?aKb=0

Ka是躺在類光超曲面上的類光測地線，由Ka=?aθ，得

(dθ)a=Ka=Kμ(dxμ)a

(17)

由式(15)得?aKa=0,Ka是常矢量，積分式(17)，得

θ=Kμxμ+θ0

(18)

將式(18)代入式(13)，得

Ab=Cbcos(Kμxμ+θ0)

(19)

Ka在慣性系{t,xi} 中的3+1分解：取K0=ω，得

(20)

取θ0=0，得

Ab=Cbcos(-ωt+kixi)

Ka就是光子的4波矢.

2.4多普勒效應

如圖1，設光源和觀者有任意的運動狀態，其世界線為任意的類時線，4速分別為Va，Ua.設光子的4波矢為Ka

θ=-ωt+kixiKa=ωZa+ka

圖1　光波的多普勒效應

光源在p點發出的光線被觀者在q點接收.發光時Va測得的角頻率為

接收光時Ua測得的角頻率為

Ka=ωVa+ka

γ=-VaUa

Ua=γVa+γua

則

-(ωVa+ka)(γVa+γua)=

γ(ω-kaua)

設空間矢量ka和ua的夾角為θ，則

ω′=γω(1-ucosθ)

若θ=0,則

紅移.

若θ=π，則

藍移.

ω′=γω

即橫向多普勒效應.

3　兩種方法的比較

通過非幾何語言與幾何語言狹義相對論對多普勒效應的推導，可以看出：非幾何語言簡單、明了，僅通過四維矢量的洛倫茲變換關系就可推出多普勒效應[3,4].但不足之處是人為地引入了相位不變性，即設定相位是洛倫茲標量.在幾何語言的狹義相對論中，從微分幾何的二形式場出發，引入4 勢Aa，代入麥克斯韋方程組，得出4 勢Aa的波動方程，解無源電磁波的波動方程，自然地引入4波矢Ka，并且Ka的物理意義非常明確，它是類光矢量，而且是由θ=c給出類光超曲面的法矢量，Ka是躺在類光超曲面上的類光測地線.通過Ka在慣性系{t,xi}的3+1分解，很自然得出多普勒效應.但幾何語言所用的數學知識深奧，理論性強，比較難懂，對狹義相對論的理解可以上一個很高的臺階，而且為后續廣義相對論的學習打下了扎實的基礎.但對沒有接觸微分幾何的學者來說，普通電動力學教材狹義相對論的講法不失為一種通俗、易懂的方法.

1郭碩鴻.電動力學(第3版)．北京：高等教育出版社,2008.06

2梁燦彬.微分幾何入門與廣義相對論(上冊). 北京：北京師范大學出版社,2002.06

3章敏. 大學物理中多普勒效應的教學體會.數理與化學研究,2013(06)

4姚曉玲,宋世軍.多普勒效應及其應用探討. 漯河職業技術學院學報,2014,13(5):87～88

The Doppler Effect of Light Wave

Zhang Zizhen

(College of Physics and Electric Science, Datong University, Datong, Shanxi037009)

The doppler effect of light belong to the category of special relativity. We derived the formula for light wave doppler effect using geometry and non-geometry languages of special relativity , and made a comparative analysis of two kinds of methods.

special relativity; geometry language ; doppler effect

張子珍(1965-)，女，教授，研究方向為物理教學與理論物理.

2016-02-03)

①*高等學校數學物理方法課程教學研究項目,項目編號：JZW-14-SL-14