函數奇偶性在高考中的應用

湯小燕+++歐化敏

摘 要： 本文通過對最近兩年全國各省的高考數學試題進行分析，得出了函數奇偶性是歷年高考的必考內容之一，并給出了這類題型的解法和思路，揭示了函數奇偶性的重要性及其基礎性.

關鍵詞： 高考 函數 奇偶性 教學應用

1.引言

函數是高中數學的重要內容之一，由于具有一定的抽象性，比如：當函數的定義域在一維直線上時，是熟悉的初等函數；當函數的定義域在復數域上時，則是大學數學里的復變函數.由此可見，高中教材里教學的函數概念會有一定的概括性，然而，通過空間直角坐標系的引入，發現高中學習的函數在坐標系上實際表示一條曲線.進而討論函數性質可以轉化為討論函數圖像的特點.奇偶性實際上是圖像關于原點或者是y軸的對稱性，所以在圖形上體現得尤為明顯，在研究函數中就有十分重要的地位.

奇函數和偶函數定義：設f（x）的定義域為D，？坌x∈D，都有f（-x）=f（x），稱f（x）為偶函數；設f（x）設的定義域為D，？坌x∈D，都有f（-x）=-f（x），稱f（x）為奇函數[1].

函數奇偶性的題型及分值情況從上表可以看出，函數奇偶性是近兩年來高考數學考查的?？键c，這類題目的考點主要考查奇函數和偶函數的定義及其等價形式，還有函數奇偶性與函數其他性質的綜合應用，因此學生應熟練掌握奇函數和偶函數的定義及其等價形式，以及函數的其他性質.這樣，在解題過程中，就會舉一反三，給解題帶來簡便，在高考中才會有充足的時間解答其他題目.函數奇偶性的問題總體來講還是較簡單的，但是簡單的題目更容易丟分，因此考試時切不可粗心大意，下面將以近兩年的部分高考題目作為實例，談談函數奇偶性在高考中常出現的幾種題型.

2.函數奇偶性的應用

2.1直接用定義判斷函數的奇偶性

求解這類題目，可以先求出函數的定義域，接下來判斷所得出的定義域是否關于原點對稱，如果滿足，再根據f（x）與f（-x）的關系來確定f（x）的奇偶性；反之，則無奇偶性可言[2].

解：選項A的定義域為[0，+∞）；不滿足奇函數的條件，從而不是奇函數；同理，B、C選項均不滿足，故答案選D.

小結：當函數為分段函數時，要判斷其奇偶性，先分段來看f（x）與f（-x）的關系，當且僅當，所有的區間都滿足同樣的關系，才可以真正判斷其函數的奇偶性，一般對于簡單的分段函數來說，盡可能地作出函數的圖像，根據圖像分析問題，直觀明了.比如：2014年湖北—文科卷第9題.

2.2奇偶性在指數函數與對數函數中的應用

高考對指數函數和對數函數知識點的單獨考查并不是很多，但最近幾年有加強之勢.

性質：（1）指數函數y=a=（a>0且a≠1）圖像一定過點（0，1）；當a>1時，f（x）在R上單調增；當a∈（0，1）時，f（x）在R上單調減.（2）對數函數y=logx（a>0且a≠1）圖像一定過點（1，0），當a>1時，f（x）單調增；反之0

小結：以上兩道題主要考查函數奇偶性在指數型函數與對數型函數中的應用，由f（x）與f（-x）的關系進而求出參數，從而得出具體函數解析式，接下來的問題就迎刃而解了.

2.3奇偶性在冪函數中的應用

冪函數是基本初等函數之一，常以簡單題型出現在高考試題中，在求解時主要是利用圖像、性質及定義判斷一個函數是否為冪函數.

冪函數的奇偶性：設指數α=±（是最簡分數），有以下幾種情形：

（1）當m和n都是奇數，x∈（-∞，+∞）或者x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時，y=x是奇函數；

（2）當m是奇數，n是偶數，xx∈（-∞，+∞）或者x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時，y=x是偶函數；

（3）當m是偶數，n是奇數，x∈（-∞，+∞）或者x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時，y=x無奇偶性.

即答案選B.

小結：充分理解函數的奇偶性及其等價的形式是解決以上問題的關鍵.

2.4奇偶性在抽象函數中的應用

抽象函數，即沒有給出具體的表達式的函數，此類題型通常都會給定某一個函數的定義域，進而求與其相關聯的抽象函數的自變量的范圍[6].解答這類題的方法：觀察題目、把數學語言盡可能地轉化為函數圖像，以形助數，數形結合，進而巧妙、快速地得出答案.

例6.（2014年新課標Ⅱ）[7]已知偶函數f（x）在[0，+∞）單調遞減，f（2）=0，若f（x-1）>0，則x的是？搖 ？搖？搖.

解：因為偶函數f（x）在[0，+∞）單調遞減且f（2）=0，即f（-2）=0，不等式f（x-1）>0？圳f（x-1）>f（2）？圳f（|x-1|）>f（2）所以|x-1|<2，：-1

小結：解題的關鍵是去掉函數符號“f”前的符號與去掉函數符號“f”[8].

3.結語

高考對函數奇偶性的考查，除了對定義的考查之外，往往會結合函數的其他性質綜合考查學生.關于解決函數奇偶性在高考中的應用的這類題目，雖然本身題目并不是很難，但是對思維的縝密性要求比較高：首先要緊扣定義，從定義域是否關于原點對稱和f（x）與f（-x）的關系兩方面來考慮；其次要充分利用函數奇偶性和函數圖像進行分析轉化，比如說對于抽象函數來說，一定要盡量把文字轉化為圖像，這樣就會比較直觀且容易解答.

參考文獻：

[1]涂光明.中文期刊數據庫[J].奇、偶函數概念的拓廣.株洲師范高等?？茖W校學報，2001，6（5）：9-10.

[2]王建立.中文期刊數據庫[J].函數定義域在解題中的重要作用，2009，（5）：86-88.

[3]曲一線.5年高考3年模擬B版[M].北京：首都師范大學出版社，2015.

[4]王玲.中學生數理化（高一版）[M].冪函數題型展示，2010（7）：32-33.

[5]崔北祥.2011-2015最新五年高考真題匯編.理科數學.合肥：安徽教育出版社，2014.

[6]劉光東.中學數學雜志（高中版）[J].抽象函數試題研究，2014.

[7]趙淑艷.運城學院學報[N].解決抽象函數問題常用的思想方法，2007，25（2）：104-105.

[8]武增明.數理化學習（高三）[M].求解抽象不等式問題的策略，2010.