數形結合思想滲透路徑

肖文記

數形結合是初中數學重要的數學思想，更是學生解決問題的常用方法。只有以形助數，以數助形，數形滲透，相互作用，才能將復雜的問題簡單化，抽象的問題直觀化，才能迅速、合理地解決問題，更好地研究數學。筆者在教學中做了如下嘗試：

一、透析內容

現行教材中沒有明確揭示數學思想，數學思想隱于知識內部，需要反復的研究才能領悟到。如八年級下冊《反比例函數的圖像和性質》，這節課的內容蘊含了豐富的數形結合思想。首先是畫圖像，形由數定，自變量x的取值范圍為x≠0，它讓圖像由“一支”變“二支”，形態由“連續”變“間斷”；x與y均不為0，它讓圖像由“相交”變“漸進”，x與y的積為定值，它讓圖像由“直”變“曲”。由數到形還可以解決畫圖中的諸多問題。圖像的性質應是一個由形到數的過程，如反比例函數的圖像分布在一、三象限或二、四象限，不能只讓學生畫幾個圖像就歸納總結，應該回歸解析式，當k>0時，x與y的符號相同，以（x，y）為坐標的點位于第一或第三象限，且y隨x的增大而減小；當k<0時，x與y的符號相反，以（x，y）為坐標的點位于第二或第四象限，且y隨x的增大而減小。同時從解析式本身來看，顯然圖像一定不經過原點，也永遠不會與x軸、y軸相交，這種從由形到數的認識，讓學生對性質的理解更加科學精準。

二、精細過程

數學思想具有過程性和活動性兩個特點，沒有過程就沒有思想，學生的數學思想是在學習活動中逐步形成的，重在體驗與領悟。如武漢市2013年4月調考第24題第3問，如圖1所示，在面積為24cm2的△ABC中，矩形DEFG的邊DE在AB上運動，點F、G分別在邊BC，AC上，請直接寫出矩形DEFG的面積的最大值。

筆者以數形結合思想為指導，列出以下任務清單：①給出適當的數據，假設AB=8，GF=2GD，借助圖2，你能算出這個矩形的面積嗎？②當矩形為正方形時，面積是否會大一些，請你求出正方形的面積。③再換一組數據試一試，令AB=6，內截的正方形面積又會是多少？④對于直接寫出答案，你有確定的值嗎？⑤如果是解答題，設AB=a，你會建立函數模型求最值嗎？以問題引領，讓學生自主探究，數形結合的思想悄然滲透于學生思維中。

三、應用拓展

數形結合高層次的表現是“數形互化”。如七年級試題“計算[（12）]1+[（12）]2+[（12）]3+[（12）]4+[（12）]5+[（12）]6”。部分學生選用機械計算，費點工夫也可算對，如果就此作罷，那將毫無思維訓練。如果再讓學生加一個七次方……結果又是多少，如何描述呢？這時筆者拿出圖形，如圖3所示，讓學生再次感悟數與幾何的等量表征，運算不能僅僅停留在數字上，而應結合圖形，讓枯燥無味的數字變得生動美妙。讓學生看圖思考，如果將最大的一塊面積看作1，那么上述算式的值又是多少呢？學生在數形結合的解題過程中感受到基量的沖撞、數與形的珠聯璧合、思維的正反互逆。

四、歸納提煉

數學思想方法具有隱喻性、過程性特點，小結時要結合具體內容去感受和領悟，不要單純地“貼標簽”。

筆者在執教北師大版《數學》八年級上冊第五章《確定位置》一課時，如圖4所示，利用框圖將點的位置與有序數對緊密結合，數學思想不再靜水深流，而是重點介紹，一個框圖將數學知識、數學技能、數學思想方法融為一體，使思想方法有了載體，知識技能有了靈魂。

在教學中，教師可以通過透析內容、精細過程、應用拓展和歸納提煉來滲透數形結合思想，先要找到數形互助的感覺，并按照數形結合的方法來組織教學，才能讓學生真正體驗到數學的本質，悟出數形結合思想的真諦。

（作者單位：武漢經濟技術開發區第三中學）

責任編輯 孫愛蓉