由數(shù)轉(zhuǎn)形，巧解函數(shù)難題

柯張軍

一、利用函數(shù)圖像，巧解抽象函數(shù)不等式

抽象函數(shù)不等式是指沒(méi)有具體函數(shù)解析式的不等式，這類不等式一般利用函數(shù)性質(zhì)求解，畫(huà)出符合函數(shù)性質(zhì)的草圖，觀察圖形可以直觀易解。

如在求解這道題：設(shè)[f（x）、g（x）]分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)[x<0]時(shí)，[f（x）g（x）+][f（x）g（x）>0][且g（-3）=0]，求不等式[f（x）g（x）<0]的解集時(shí)，可以先設(shè)[F（x）]=[f（x）g（x）]，因?yàn)楫?dāng)[x<0]時(shí)，[f（x）g（x）]+[f（x）g（x）]=[[f（x）g（x）]]=[F（x）>0]，所以[F（x）][在（-∞，0）]上是增函數(shù)，因?yàn)閇f（x）、g（x）]分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以[F（x）]為奇函數(shù)， 又[g（-3）=0]，所以[F（-3）=f（-3）g（-3）=0]，[f（x）]是奇函數(shù)，所以[f（0）=0]，故[F（0）=0]。根據(jù)以上特點(diǎn)，不妨構(gòu)造如圖1所示的符合題意的函數(shù)[F（x）]的圖象，由圖直接觀察出所求解集是[（-∞，-3）？（0，3）]。

解題過(guò)程中依題意確定函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)[F（x）]，依據(jù)性質(zhì)畫(huà)出[F（x）]草圖，觀察圖像求解，實(shí)現(xiàn)抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

二、利用函數(shù)圖像，比較數(shù)的大小

比較大小是高考試題中一個(gè)重要題型，利用函數(shù)圖形交點(diǎn)位置來(lái)確定大小關(guān)系，可以避免求值過(guò)程中的復(fù)雜計(jì)算，如果根據(jù)題意構(gòu)造幾個(gè)函數(shù)，畫(huà)出圖像確定交點(diǎn)位置，就可以很快得解。

如在判斷[0.32，log20.3，20.3]三個(gè)數(shù)的大小順序時(shí)，可將其看成是三個(gè)函數(shù)[y1=x2，y2=log2x，y3=2x]在[x=0.3]時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小比較。在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個(gè)函數(shù)的圖像（如圖2），從圖像可以直觀地看出當(dāng)[x=0.3]時(shí)，所對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)[P1]，[P2]，[P3]的位置，從而可得出結(jié)論：[20.3>0.32>log20.3]。

解題過(guò)程中三個(gè)數(shù)的值不易計(jì)算，觀察數(shù)式構(gòu)造函數(shù)，使三個(gè)數(shù)分別為自變量取同一個(gè)值的三個(gè)不同的函數(shù)值，自然想到三個(gè)基本初等函數(shù)[y1=x2，y2=log2x，y3=2x]，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出三個(gè)函數(shù)圖像作圖即可得解。

三、構(gòu)建解析幾何模型，解決函數(shù)最值問(wèn)題

將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解析幾何中的斜率、截距、距離等問(wèn)題，利用其幾何意義求解。與解析幾何有關(guān)的常見(jiàn)函數(shù)模型有：①距離型函數(shù)[（x-a）2+（y-b）2]；②斜率型函數(shù)[y-ax-b]；③截距型函數(shù)Ax+By；④單位圓型函數(shù)[y=1-（x-a）2+b]；⑤雙曲線型函數(shù)y=[ax+bcx+d]。

如在求函數(shù)[y=x2-2x+5+][x2+6x+25]的最小值時(shí)，可以先將函數(shù)[y=x2-2x+5+x2+6x+25]變形得：[y=（x-1）2+（0-2）2+（x+3）2+（0-4）2]，由此很容易聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式，從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求[x]軸上動(dòng)點(diǎn)[P（x，0）]到兩定點(diǎn)[A（1，2），B（-3，4）]的距離之和，結(jié)合圖3可知：[P，A'，B三點(diǎn)共線即]P點(diǎn)的坐標(biāo)為[（-13，0）]時(shí)，[y]最小，[此時(shí)y=213]。

四、利用函數(shù)圖像，求參數(shù)的取值范圍

方程根的問(wèn)題，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，圖像交點(diǎn)問(wèn)題，這些問(wèn)題借助函數(shù)圖像，往往可以避免繁瑣計(jì)算，獲得簡(jiǎn)捷的解答。

如在求解這道題：已知方程[1+4-x2] [=kx-2+4]有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)[k]的取值范圍時(shí)，可以構(gòu)造函數(shù)[y=1+4-x2]與[y=kx-2+4]，方程[1+4-x2] [=kx-2+4]有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)[y=1+4-x2]與[y=kx-2+4]圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)[y=1+4-x2]即[x2+y-12=4y≥1] ，它表示以（0，1）為圓心，2為半徑的上半圓；函數(shù)[y=kx-2+4]表示過(guò)（2，4）且斜率為[k]的直線。原題的含義是：當(dāng)直線與半圓有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí)，該直線的斜率應(yīng)在什么范圍？如圖4，直線MB、MC與半圓切于B、C，半圓的兩端依次為A（-2，1），B（2，1）。顯然，線段AB內(nèi)任意一點(diǎn)與M的連線與半圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以[kmax=kMA=4-12+2=34]，設(shè)直線MC交直線[y=1]于N，令[∠DMC=∠DMB=α]，[∠DNM=β]，顯然將方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用幾何方法求解直觀簡(jiǎn)單。

（作者單位：黃梅縣第一中學(xué)）