找尋兒童數(shù)學，打造動感課堂（七）

策略十三 數(shù)形結合，化難為易

數(shù)形結合是數(shù)學中一種重要的思想方法，它將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使代數(shù)問題幾何化或幾何問題代數(shù)化，為問題的解決提供簡捷明快的途徑。綜觀小學教材的各個學段和各個領域，適合滲透數(shù)形結合思想方法的教學內容可謂比比皆是。

1.在數(shù)的認識教學中利用數(shù)形結合

數(shù)感主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。

《標準》把培養(yǎng)學生的數(shù)感作為義務教育階段數(shù)學教育的一項重要目標。只有為學生提供充分的可感知的現(xiàn)實背景，才能使學生真正理解數(shù)的概念。

2.在概念學習時利用數(shù)形結合

在“中國教育學會小學數(shù)學教學專業(yè)委員會第十三屆年會”上，北京大學附屬小學的李寧老師執(zhí)教的《質數(shù)與合數(shù)》一課，就很好地體現(xiàn)了“數(shù)形結合”思想在概念教學中的優(yōu)勢。本節(jié)課教學過程清晰流暢、層次清楚、富有新意。下面是其中的教學片斷：

第一步：課前談話

引導學生欣賞參加軍訓的相片，引發(fā)方陣的問題。

第二步：提出問題

師：剛才我們提到了軍訓中的排方陣，今天李老師為每組準備了一些小方塊，你們能用上所有的小方塊擺出長方形或正方形嗎？

（學生分成七組，每組的小方塊數(shù)量分別是4、5、7、9、11、12、24）

生：能。

師：咱比一比哪一組的設計方案最多，并將設計好的方案記錄在表格里。

[總塊數(shù)＼&每行的塊數(shù)＼&行數(shù)＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]

（學生分成七組研究并記錄研究方案。教師巡視，解答學生研究過程中的問題，并注意收集學生對方案多少產(chǎn)生的疑惑，為引導學生進一步研究做好準備。這一環(huán)節(jié)設計的目的主要是引導學生初步建立數(shù)與形之間的感性認識，為進一步學習打基礎。）

第三步：交流并引發(fā)沖突

（1）引導學生分組匯報研究成果（教師幫助學生記錄研究成果）。

第一組：4=4×1=2×2

第二組：5=5×l

第三組：7=7×l

第四組：9=9×1=3×3

第五組：11=11×1

第六組：12=12×l=6×2=4×3

第七組：24=24×1=12×2=8×3=6×4

師：第七組太棒了！你們真了不起，設計的方案最多。你們是今天當之無愧的冠軍！

生：不公平。

（2）教師收集學生的意見并記錄下來。

教師板書學生的質疑：數(shù)的大小、奇數(shù)偶數(shù)、因數(shù)個數(shù)。

（3）教師適時評價，引發(fā)學生進一步研究。

師：相信你們說的都有各自的道理，剛才我看到了每個組的同學都在想辦法，想使方案盡可能多，但有些數(shù)擺完后，方案只有一種，有的就不止一種，我們一起來看一看。

（教師引導學生將方案中只有一種和方案不止一種的數(shù)形圖選出來，分別呈現(xiàn)在黑板上。）

師：那么方案的多少到底與什么有關呢？剛才老師提供的學具不公平，如果讓同學自己選你們愿意嗎？

（教師通過課堂評價有意制造矛盾沖突，由此引發(fā)學生進一步探索和研究的欲望。）

第四步：再次嘗試

首先，教師呈現(xiàn)再次可供選擇的塊數(shù)：46、25、59、32、36、51；

其次，各組學生分別派代表自主選擇并進行研究；

最后，引導學生交流研究體驗，發(fā)現(xiàn)因數(shù)的個數(shù)是影響方案多少的決定性因素。通過再次體驗，引導學生關注數(shù)與因數(shù)之間的關系。

第五步：比較歸納

首先，觀察歸納。

師：既然因數(shù)的個數(shù)是決定性因素，就讓我們共同觀察我們曾經(jīng)研究過的數(shù)的因數(shù)。方案只有一種的這些數(shù)有什么特點？

（引導學生從因數(shù)的特點、因數(shù)的個數(shù)和數(shù)形圖不同的維度進行觀察。）

其次，引導學生歸納質數(shù)的概念。

最后，在學生準確歸納質數(shù)的基礎上歸納合數(shù)的概念。

以上教學片斷，教師用軍訓方陣的具體情景引出用方塊擺“方陣”的操作活動。操作生成的豐富方案引發(fā)學生思考：擺出長方形（或正方形）的多少，可能與方塊的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)、大小或因數(shù)的個數(shù)有關。在此基礎上，教師組織學生再次操作探索“什么是影響方案多少的決定因素”，直指質數(shù)、合數(shù)概念的內涵。數(shù)與形相結合，操作與思考融為一體，幫助學生清晰地構建了質數(shù)、合數(shù)的概念。

3.在理解算理、歸納法則時利用數(shù)形結合

算理是四則運算的理論依據(jù)，它由數(shù)學概念、運算定律、運算性質等構成；運算法則是四則運算的基本程序和方法。運算是基于法則進行的，而法則又要滿足運算定律等。所以，算理為法則提供了理論依據(jù)，法則又使算理可操作。

數(shù)軸不但將抽象的數(shù)直觀形象化，而且也有助于理解運算，將運算直觀形象化。加法就是在數(shù)軸上繼續(xù)向右數(shù)，或者看做是向右平移若干個單位；減法就是在數(shù)軸上先找到“被減數(shù)”，然后再向左數(shù)，或者看做是向左平移若干個單位；乘法就是在數(shù)軸上幾個幾個地向右數(shù)，或者把一“線段”拉長幾倍；除法就是在數(shù)軸上先找到“被除數(shù)”，然后向左幾個幾個地數(shù)，如果恰好數(shù)到0，則就是“除盡”，數(shù)了幾次，商就是幾，當不能恰好數(shù)到0，就產(chǎn)生了余數(shù)。

4.在解決問題時利用數(shù)形結合

小學生在解決問題的過程中，實質上是完成了兩個認識上的轉化。第一個轉化是指從紛亂的實際問題中，收集、觀察、比較、篩選出有用的信息，從而抽象成數(shù)學問題；第二個轉化是根據(jù)已抽象出來的數(shù)學問題，全面分析其中的數(shù)量關系，探索出解決問題的方法并求解。

實際問題變化多端，把它們抽象成數(shù)學問題，有的結構也較特殊，因此，對學生來講，并非所有的題目一開始就能發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關系。如果能為學生提供一些有效的解決問題的策略，將有助于提高他們解決問題的能力和數(shù)學思維能力。

美國數(shù)學家斯蒂思曾說過，如果—個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思考問題的解法。教師要讓學生嘗試把“應用問題”畫出來，提高學生的畫圖能力。

5.在探索規(guī)律時利用數(shù)形結合

為了進一步理解倒數(shù)概念的內涵，教師可以安排快速求倒數(shù)的練習，并利用線段圖，突出一個數(shù)與它的倒數(shù)的相互依存關系及真分數(shù)、假分數(shù)的倒數(shù)和單位“1”的關系，使學生體會到單位“1”的重要地位。之后，又通過讓學生把剛才的一組組倒數(shù)作為長方形的長與寬想象長方形的環(huán)節(jié)，再次借助幾何直觀，在線段（一維）直觀的基礎上，進入面積（二維）直觀，將“圖”與“數(shù)”聯(lián)系，直觀與思辨并重，使學生獲得了比較深刻的情感體驗和學習經(jīng)驗。

6.在突破難點時利用數(shù)形結合

經(jīng)常使用直觀模型。在日常教學中，教師應有意識地引導學生認識多種直觀模型。例如：實物、點子圖、面積模型和數(shù)線等。這些模型在課堂上不斷呈現(xiàn)，可以使學生認識到在數(shù)學學習中直觀模型的重要作用。

鼓勵使用多元表征。鼓勵學生早期使用多元表征，不僅有助于培養(yǎng)學生用自己的方式解決問題的興趣，而且這是未來學習的基礎。

培養(yǎng)數(shù)形轉化意識。在日常教學中，應結合具體內容，有意識地引導學生見數(shù)想形、因形思數(shù)，使數(shù)與形結合，培養(yǎng)學生數(shù)形相互轉化的意識。

總之，“數(shù)”輔助“形”，可以將“數(shù)”形象化；“形”輔助“數(shù)”，可以使“數(shù)”直觀化。數(shù)形結合是一種重要的教學手段。

策略十四 善于舉例，幫助理解

南京大學鄭毓信教授曾撰文談數(shù)學教師的三項基本功，包括：善于舉例、善于提問、善于比較與優(yōu)化。他首先談到的就是“善于舉例”。

1.教師舉例要符合學生的接受水平

要從學生的知識水平、理解能力、生活經(jīng)歷等出發(fā)，選用學生容易觀察、便于想象的例子，或者親身經(jīng)歷的事情。這樣的例子可感性強，易于理解和接受。所舉事例要淺顯、貼切、自然，富有生活氣息，語言要生動、幽默，這樣才易于促進學生對知識的理解，才易于集中學生的注意力。

2.教師舉例要恰當、確切，具有典型性和說服力

若所舉事例在同類事物中具有代表性，則對學生理解觀點具有普遍指導意義。即所舉事例既要使學生較全面、清晰地感知事物的形象和基本屬性，便于學生準確與加深理解觀點的實質，又要能啟發(fā)學生思維，提高學生分析解決問題的能力，達到舉一反三、遷移知識的效果與目的，防止就事論事。

3.教師舉例要具體而又形象

所舉的例子形式要新穎，內容要形象、具體、生動，可感性要強，表述要言簡意賅、通俗易懂、具有較強的感染力。

為了幫助學生理解乘法分配律，教師可以舉下面的例子：

a代表爸爸、b代表媽媽、×代表愛、c代表我。

（a+b）×c=a×c+b×c爸爸和媽媽愛我，也就是爸爸愛我，媽媽也愛我。或c×（a+b）=c×a+c×b，我愛爸爸和媽媽，也就是我愛爸爸，我也愛媽媽。

4.教師舉例要內容豐富、形式多樣

兩步計算的應用題，第一步需要求出的是一個“隱蔽條件”（或者說“中間問題”）。對于這樣一個既是條件，又是問題的數(shù)量，學生理解起來是很困難的。著名特級教師劉德武曾給學生舉過這樣一個例子：

“如果我們從虎坊橋出發(fā)，乘公共汽車到頤和園，有沒有直達汽車？”

“沒有。”

“那怎么辦？”

“坐15路，到動物園再倒車。”

“對！”

劉老師邊說邊在黑板上畫了一幅示意圖。

然后劉老師問學生：“虎坊橋是我們出發(fā)的起點，頤和園是到達的終點，那么動物園是起點，還是終點？”

“動物園既是起點，又是終點。它是15路的終點，又是332路的起點。”

這樣，再結合具體應用題進行分析，學生對兩步應用題的結構和思路就十分清楚了。他們在互相講題時甚至都愛說：“你先得把這道題的‘動物園求出來。”“動物園”簡直成了隱蔽條件的代名詞。

5.舉例要能夠突出學科特點

在教學同分母分數(shù)的加法時，教師將分母比成媽媽，分子比成小孩，跟小朋友說媽媽只能有一個，所以是不會變的，不能相加，小孩的數(shù)量可以改變，所以要相加，所以：[25+25=45]，而不是[25+25=410]。

當然，比方終究只是比方，它的意義只在于幫助理解，不能代替嚴密的數(shù)學論證，但是，它的重要性確實不可小覷。

責任編輯 劉玉琴