凸函數的判定、性質與應用研究

李思凝

(沈陽師范大學數學與系統科學學院，遼寧 沈陽 110000)

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凸函數的判定、性質與應用研究

李思凝

(沈陽師范大學數學與系統科學學院，遼寧 沈陽 110000)

摘要：凸函數是一類重要的函數，它的概念最早見于Jensen[1905]著述中。它在純粹數學和應用數學的眾多領域中具有廣泛的應用，現已成為數學規劃、對策論、數理經濟學、變分學和最優控制等學科的理論基礎和有力工具。本文著重研究了凸函數，擬凸函數，嚴格預不變擬凸函數的定義，性質，以及凸函數在經濟學中的應用。

關鍵詞：凸函數；擬凸函數；嚴格預不變擬凸函數；應用

1引言

凸函數是一類重要的函數，在數學的許多領域中都有著廣泛的應用，但是它的局限性也很明顯。如何推廣函數的凸性概念，使得在更廣泛的函數范圍內，凸函數的許多重要性質仍然得以保留，所以研究廣義凸函數的一些定義和性質就顯得十分必要了。函數的凸與凹反映在幾何上是對應曲線(曲面)的彎曲方向,如圖，本文稱函數f(x)在[a,b]上凹函數，在[b,c]上是凸函數。

2凸函數的多種定義

定義1設函數f(x)在(a,b)上有定義,若曲線y=f(x)上任意兩點間的弧線總位于連接這兩點的弦之上,則稱f(x)是區間(a,b)上的凸函數。

定義2設函數f(x)在[a,b]上連續,若對于

(1)

則稱f(x)是[a,b]上的凸函數。

定義3在區間(a,b)內定義的函數f(x),如果對任意n個點x1,x2,…,xn∈(a,b),有

(2)

則稱函數f(x)是(a,b)內的凸函數。

定義4設函數f(x)在[a,b]上連續,若對于?x1,x2∈[a,b]及

0≤t≤1,f[(1-t)x1+tx2]≥(1-t)f(x1)+tf(x2)

(3)

則稱f(x)是[a,b]上的凸函數。

3凸函數在經濟學中的應用

無差異曲線用來表示消費者偏好相同的兩種商品的所有組合，如下圖所示，橫軸和縱軸分別表示商品1的數量x和商品2的數量y，曲線L1、L2分別表示兩條不同商品組合的無差異曲線。

L1曲線是連續的，并在x軸上的具有二階導數，二階導數又是大于零的，所以無差異曲線是凸函數。

從上圖可以明顯地看出，無差異曲線的斜率為負值，而且無差異曲線斜率的絕對值是遞減的。商品的邊際替代率遞減規律決定了無差異曲線具有這樣的特征。下面介紹一下邊際替代率遞減規律。

商品1對商品2的邊際替代率的定義公式為:

其中△X1,△X2分別表示商品1和商品2的變化量。

當商品數量的變化趨于無窮小時，則商品的邊際替代率公式為

與以上的分析相對應，消費者的風險態度也可以根據消費者的效用函數的特征來判斷。一個人是風險厭惡的充要條件是他的效用函數為凹函數。因此，判斷一個人是不是風險厭惡者，只需要驗證其效用函數是不是凹函數。在判斷一個人是不是風險愛好者，只需要驗證其效用函數是不是凸函數。消費者對待風險的態度，影響著消費者在不確定情況下的行為決策。如下圖所示

該函數是凹函數，且斜率大于零。根據消費者的效用曲線u(x)，消費者在無風險條件下持有一筆確定的貨幣財富量的效用u(px+(1-p)y)相當于A的高度，而擁有一張具有風險的期望效用pu(x)+(1-p)u(y)相當于圖中B的高度。顯然A點高于B點。所以，圖中的效用函數u(x)滿足風險回避者的判斷條件。如果從函數的圖像來看，自然是曲線向上彎得越厲害，對風險就越厭惡，曲線的彎曲程度可以用函數的二階導數來刻畫。

風險愛好者和風險中立者的效用函數的分析是類似的。在實際經濟生活中，大多數的消費者都是風險回避者。

當消費者面臨一種風險時，如果對于該消費者而言，風險的期望值的效用大于、小于、等于風險的效用期望時，那么相應地，該消費者的風險態度為風險回避、風險愛好、風險中立。

4總結

經濟效益分析：經濟活動中，我們可以根據市場調查利用無差異曲線和預算線等的關系來得到商品的需求曲線，廠商會根據曲線獲得最大的利潤的生產組合，而消費者也可以得到最滿意的商品組合。所以利用凸函數的性質描繪無差異曲線在買賣雙方的交易活動中起到很大的作用。凸函數分析作為一種強有力的分析工具，在經濟工作中應用是很廣泛的，掌握了它對指導我們當今的經濟工具具有十分重要的意義。

指導教師:關洪巖

參考文獻：

[1]劉三陽.凸函數的新發展[J].西安電子科技大學學報,1990,17(1)：45-48.

[2]邱根勝.擬凸函數的幾個性質[J].南昌航空工業學院學報,1998,1998(2)：36-39.

中圖分類號：G634.6

文獻標志碼：A

文章編號：1671-1602(2016)14-0296-01