SH波對半空間界面圓孔的動力效應

趙春香， 齊　輝

(1. 黑龍江科技大學 理學院，哈爾濱　150022； 2. 哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱　150001)

SH波對半空間界面圓孔的動力效應

趙春香1， 齊輝2

(1. 黑龍江科技大學 理學院，哈爾濱150022； 2. 哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱150001)

采用“鏡像法”和“剖分-契合”思想，對SH波作用下半空間雙相介質水平界面上圓形孔洞的動應力問題進行了研究。給出了該問題的解析解和孔邊動應力分布規律。分析結果表明：適當避開較大的波數比、較高的入射波波數與垂直入射的同時出現，可達到降低孔邊動應力的目的。

SH波；半空間；“鏡像法”； 界面圓孔；動應力

天然形成或人為回填的地質條件多種多樣，發展建設的地下結構也日新月異，當在固體介質中傳播的彈性波遇到連續或非連續地質內的孔洞等缺陷時，彈性波將發生反射、折射及散射，這些波將引起孔洞等邊緣的動應力強度的增加。而動應力集中程度又是礦井巷道、地鐵隧道等地下結構開挖時支護、錨固等安全防護結構設計的重要物理量，所以掌握彈性波的傳播規律和地下結構對彈性波的動力響應對保障地下結構設計的安全性具有重要的工程意義。

SH波是一種出平面運動的彈性波，對于許多亟待解決而散射解析解又難以給出的邊值問題，研究理論相對成熟的SH波，其研究結果不僅具有其實際問題的工程意義，而且也為研究其他復雜形式的波動問題提供了值得信賴的參考。

自從1971年Trifunac[1]采用波函數展開法開展關于半圓形沉積地形對SH波散射的研究以來，國內外學者對SH波散射問題進行了大量而深入的研究[2-7]。但目前對于半空間雙相介質界面上圓形孔洞對SH波的散射問題，還有待于研究。所以本文將借助 “鏡像法”和“剖分-契合”思想，構造出由于雙相介質分界面和界面上孔洞以及半空間自由表面阻擋SH波前行而形成多次散射的復雜的散射波場的解析表達式，實現理論研究SH波入射條件下半空間內雙相介質分界面上圓形孔洞動力響應的目標。在理論研究基礎上，運用編程計算手段，對具體算例的圓形孔洞邊緣的動應力進行分析討論，旨在掌握SH波作用下不同的介質參數和不同的入射波參數對動應力集中程度的影響規律，獲得圓形孔洞邊緣的動應力集中的主要影響因素。

1力學模型

鉛垂半空間內雙相介質水平界面上圓形孔洞對SH波散射的力學模型見圖1。在圖1所示坐標系下，沿y=0相接的兩種不同介質組成的鉛垂半空間內，y<0的直角平面區域Ⅰ中介質的密度和剪切模量分別為ρ1和μ1；y>0的直角平面區域Ⅱ中相應的值為ρ2和μ2；水平界面上含有圓心位于水平界面上半徑為a的圓形孔洞，圓形孔洞的圓心到鉛垂界面的距離為d。穩態平面SH波沿入射角α0從第四象限向y=0的水平界面入射。

圖1　力學模型Fig.1 Mechanical model

2理論分析

首先采用圖2所示的“鏡像法”，將鉛垂半空間的水平界面問題轉化為全空間的水平界面問題。然后按照文獻[5]的“剖分法”，沿雙相介質水平界面“剖分”成上下兩個半空間，此時就將全空間的雙相介質問題轉化為能應用各向同性均勻介質Helmholtz控制方程進行求解的單一介質的半空間問題。

圖2　“鏡像”模型Fig.2 Model of “image”

(1)

和

(2)

經鏡像后的等效入射波場W(i,e)為：

(3)

在y=0的界面上產生的等效反射波W(r,e)和等效折射波W(r,e)分別為：

(4)

(5)

在介質Ⅰ中產生的散射波構造為：

(6)

在介質Ⅱ中產生的散射波構造為

(7)

綜上所述，區域Ⅰ和區域Ⅱ中的總波場為：

(8)

區域Ⅰ和區域Ⅱ中總應力場為：

(9)

(10)

區域Ⅰ和區域Ⅱ中確定待定未知數An1和An2的兩組邊界條件分別為：

(11)

由式(2)～式(11)，即可確定An1和An2。此時，SH波入射下的總波場和總應力場已完全確定。

由文獻[8]已求得的Green函數和文獻[5]的 “契合法”，就可獲得求解用于保障界面應力位移連續條件的未知外力系f1(r0,θ0)和f2(r0,θ0)的定解積分方程組：

W(fs)(r,π)-W(s)(r,π)

(12)

W(fs)(r,0)-W(s)(r,0)

(13)

式中：G1和G2分別為已由文獻[8]中的公式G=G(i)+G(s)所定義的區域Ⅰ和區域Ⅱ的Green函數，但因“契合”需要，故此處的G1和G2的作用方向一個向里，另一個則向外。

通常用動應力集中系數作為描述圓形孔洞動應力集中程度的物理量，其形式可寫成：

(14)

在平面區域Ⅰ和區域Ⅱ中，r=a上的兩半圓孔孔邊的環向剪應力分別為：

3計算結果分析

下面以具體算例分析討論SH波作用下半空間內雙相介質分界面上圓形孔洞的動應力。

圖3　圓孔邊的分布Fig.3 Distribution of around circular cavity edge

(a) k1a=0.1時,圓孔邊τ*θz隨k*的變化(b) k1a=1.0時,圓孔邊τ*θz隨k*的變化(c) k1a=2.0時,圓孔邊τ*θz隨k*的變化圖4 圓孔邊τ*θz隨k*的變化Fig.4Variationofτ*θzwithk*aroundcircularcavityedge

圖5　圓孔邊隨d/a的變化Fig.5 Variation of with d/a around circular cavity edge

(a) k1a=0.1時,圓孔邊τ*θz隨α0的變化(b) k1a=1.0時,圓孔邊τ*θz隨α0的變化(c) k1a=2.0時,圓孔邊τ*θz隨α0的變化圖6 圓孔邊τ*θz隨k1a和α0的變化Fig.6Variationofτ*θzwithk1aandα0aroundcircularcavityedge

4結論

本文采用“鏡像法”和“剖分-契合法”，研究了SH波作用下鉛垂半空間雙相介質界面上圓形孔洞的動力響應問題，應用理論分析和編程計算手段給出了該問題的解析解和孔邊動應力分布規律。分析結果表明：

上述分析結果都充分佐證了鉛垂自由邊界、雙相介質界面、介質材料的波數比、SH波的入射角度和入射波數都是影響圓形孔洞邊緣各點動應力系數的重要因素。此外，適當避開較大的波數比、較高的入射波波數與垂直入射及斜入射的同時出現，對降低圓孔邊動應力的效果是明顯的，對減輕結構動力效應是有工程價值的。但當遇到SH波垂直及斜入射條件下的最不利參數組合時，則必須充分考慮SH波對地下結構等工程實際中圓形孔洞的動力影響。

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Dynamic effect of SH wave on interface circular cavity in half space

ZHAO Chun-xiang1, QI Hui2

(1. College of Science, Heilongjiang University of Science and Technology, Harbin 150022, China；2. College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

The analytic solutions and distribution law for dynamic stress of an interface circular cavity in bi-material vertical half-space on an SH wave were obtained using the methods of image and ideas of partitioning-conjunction. The analysis results demonstrate that the purpose of reducing the hole edge dynamic stress can be achieved by properly avoiding the large wave number, while a high incident wave number and the SH-waves incident in the vertical angle appear simultaneously.

SH-wave; half space; ‘image’ method; interface circular cavity; dynamic stress

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.020

黑龍江省自然科學基金資助項目(A201307)

2015-02-03修改稿收到日期：2015-06-26

趙春香 女，博士，副教授，1967生

O343.4

A