磁場中導電旋轉圓板的磁彈性非線性共振

胡宇達， 王　彤

(燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北 秦皇島　066004)

磁場中導電旋轉圓板的磁彈性非線性共振

胡宇達， 王彤

(燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北 秦皇島066004)

研究旋轉運動圓形薄板在磁場中受到機械載荷作用時的磁彈性非線性共振問題。根據哈密頓原理推導出旋轉運動圓板在磁場中的磁彈性非線性振動方程，基于電磁理論給出了旋轉板所受電磁力的表達式;通過位移函數的設定并應用伽遼金積分法，得到橫向磁場中旋轉導電圓板的磁彈性軸對稱振動微分方程。應用平均法對系統非線性主共振問題進行求解，得到穩態運動下的幅頻響應方程。通過數值計算，得到固支邊界條件下圓板的幅頻特性曲線以及振幅隨磁感應強度、轉速、激勵力等參數的變化規律曲線圖，分析了不同參數對旋轉板共振幅值及非線性特性的影響。

導電圓板；旋轉運動；主共振；磁場；平均法

在現代工程實際中，旋轉運動和電磁結構廣泛存在于航空航天、機械、土木等領域中的高端設備及運動結構中。處于電磁場環境中的磁彈性構件，因受到電磁場和機械場等因素的作用，往往會產生較為明顯的振動，并影響著系統的正常運行。因此，對電磁場中旋轉運動結構的磁彈性振動問題進行研究具有理論和實際意義。近年來，國內外學者針對圓板及磁彈性板的振動做了許多有意義的理論研究工作。文獻[1-3]分別用微分變換法、切比雪夫里茨法和漸進法對圓板的非線性振動進行了研究與計算。文獻[4]分析了導電板的電磁熱機械行為，采取用于渦流分析的T方法得到了導電圓板的解析解。文獻[5-7]研究了導電薄板在磁場中的組合共振和諧波共振等問題，建立了軸向運動導電板的磁熱彈性耦合動力學理論模型。文獻[8]研究了電磁場環境下導電圓板的磁彈性強迫振動問題。文獻[9-11]研究了旋轉運動板的非線性振動，得到了不同條件下固有頻率的計算式。文獻[12]用半解析法分析了功能梯度圓薄板的非線性自由振動與強迫振動。文獻[13]運用有限元方法分析了旋轉夾層板的非軸對稱振動與穩定問題，討論了不同參數對振動的影響。文獻[14]針對含有黏彈性夾芯層旋轉圓板在氣動載荷作用下的行波動力學及穩定性問題進行了研究。文獻[15]建立了高速旋轉柔性矩形薄板的耦合動力學模型，并應用模態截斷法進行了求解。

本文研究旋轉運動圓板在磁場中的非線性共振問題，得到磁彈性非線性振動方程和幅頻特性方程，給出共振幅值隨不同參數變化規律曲線圖，分析磁場、轉速、激勵力等參數的影響。

1旋轉運動圓板磁彈性振動方程

1.1動能與變形能

對于處于磁場中做旋轉運動的圓形薄板，設薄板內任意一點的位移矢量在柱坐標系三個方向的分量為：

ur1(r,θ,z,t)=ur(r,θ,t)+zu1(r,θ,t)

(1)

uθ1(r,θ,z,t)=uθ(r,θ,t)+zv1(r,θ,t)

(2)

uz(r,θ,z,t)=w(r,θ,t)

(3)

在式(1),式(2),式(3)基礎上，通過求導運算，得到旋轉運動薄板的速度分量表達式：

(4)

式中：Ω為旋轉速度。進而得到旋轉運動圓板動能的表達式為：

(5)

旋轉運動薄板由彎曲變形引起的形變勢能Uε1表達式為：

(6)

同時，旋轉運動薄板的中面應變勢能為；

(7)

式中：Mr、Mθ為彎矩，Mrθ為扭矩，κr、κθ為曲率，κrθ為扭率，Nr、Nθ、Nrθ為中面內力，εr、εθ、εrθ為中面應變。

1.2外力所作功

假設旋轉運動薄板的橫向位移w發生了位移邊界條件所容許的微小變化量，即虛位移δw，則外加橫向強迫力Pz在虛位移上所作的虛功可以表示為：

(8)

同樣，電磁力Fr,Fθ,Fz與電磁力矩mr，mθ在虛位移上所作虛功為如下形式：

δUF=

(9)

1.3哈密頓原理建立振動方程

根據哈密頓原理有：

(10)

式中：t0和t1為兩個固定時刻。

將式(5)、式(6)、式(7)、式(8)及式(9)代入式(10)中，并考慮幾何非線性情況及軸對稱振動問題，經過變分運算，推得旋轉運動圓形薄板的磁彈性軸對稱振動方程：

(11)

(12)

2電磁力表達式

在磁場中做旋轉運動的薄板將受到Lorenz力的作用，薄板單位體積內電磁力表達式為：

f(fr,fθ,fz)=J×B0=fri+fθj+fzk

(13)

式中：J=σ0(e+V×B0)，e為電場強度矢量，V為板內各點速度矢量，σ0為電導率。

對式(13)沿板厚方向進行積分，可得到式(11),式(12)中薄板軸對稱振動時所受電磁力和力矩的表達式：

(14)

(15)

(16)

3橫向磁場中旋轉板的軸對稱主共振

針對在恒定橫向磁場(即B0r=0、B0θ=0)環境中做勻速旋轉運動的圓形薄板，考慮其軸對稱振動情況。將相應彎矩內力、中面內力和電磁力表達式代入振動方程中，并忽略縱向位移對薄板橫向振動的影響(即ur=0)。由于在橫向磁場中Fz=0，得出旋轉運動薄板在橫向磁場中關于撓度w的磁彈性振動方程：

(17)

周邊夾支圓板的邊界條件為：

周邊簡支圓板的邊界條件為：

r=R時，w=0，Mr=0

設滿足邊界條件的關于式(17)的動位移解為：

w(r,t)=W(r)T0(t)=

(18)

將式(18)代入式(17)，應用伽遼金積分法推得系統的非線性強迫振動微分方程：

(19)

式中：“撇號”表示對時間t的一階和二階導數(下同)；

(20)

應用平均法對方程式(20)進行解析求解，并將系統的解及其導數分別取為：

q=acos(ωt-θ)

(21)

q′=-aωsin(ωt-θ)

(22)

這里，a和θ為關于時間t的慢變函數。

由式(21)，式(22)可得：

a′cosψ+aθ′sinψ=0

(23)

將式(21)，式(22)代入式(20)中，經過運算得到：

(24)

聯立式(23)，式(24)，考慮a和θ的慢變規律，應用平均法得到系統的平均化方程：

(25)

(26)

由式(25)，式(26)可得穩態運動下主共振的幅頻響應方程：

(27)

4算例分析

對于橫向磁場中法向周期動載作用的鋁制薄板，給定物理參數：密度ρ=2 670 kg/m3，電導率σ0=3.63×107(Ω·m)-1，泊松系數μ=0.34，彈性模量E=71 GPa。

圖1、圖2分別給出了不同旋轉速度和不同板厚條件下旋轉板的幅頻響應特性曲線圖。圖中曲線表明，在共振區域(εσ≈0附近)振幅明顯增大且出現解的多值性；同時由兩圖可看出，不同轉速或不同厚度所對應的曲線之間存在多個相交點，表明隨著轉速或板厚的增大，共振幅值既有隨之增大的區域，也有隨之減小的區域，非線性特征非常明顯。圖3、圖4分別給出了不同磁感應強度和激勵力幅值條件下的幅頻響應特性曲線圖。圖中曲線也呈現了共振區域幅值明顯增大和解的多值性，同時表明，隨磁感應強度的增大和激勵力的減小，共振曲線呈現明顯內縮趨勢。

圖1　速度變化時幅頻特性曲線圖Fig.1 The charactertic curve of amplitude-frequency with different velocity(B0z=3 T,R=0.8 m,h=0.015 m,q0=60 N/m2)

圖2　板厚變化時幅頻特性曲線圖Fig.2 The charactertic curve of amplitude-frequency with different thickness(q0=60 N/m2,B0z=1 T,R=0.3 m,Ω=1 200 r/min)

圖5、圖6分別給出了不同調諧參數和不同激勵力條件下振幅隨磁感應強度的變化曲線圖。圖中曲線均呈現相對磁感應強度B0z=0處的左右對稱形式，且在B0z=0附近共振被激發，幅值較大并有多值性。當磁感應強度增大到一定值時，振幅明顯減小，多值性也會消失。同時，由圖5可知，隨著調諧參數值εσ的不斷增大，共振區域幅值呈現從單值過渡到三個值，并且共振曲線逐漸對稱內縮并最終分離出上部的封閉曲線的

變化規律，其中εσ=0.03和εσ=0.037為對應兩個臨界狀態下的臨界值。圖6中曲線也具有隨激勵力減小，曲線呈現對稱內縮且共振幅值減小的變化規律。

圖3　磁場變化時幅頻特性曲線圖Fig.3 The charactertic curve of amplitude-frequency with different magnetic induction intensity(q0=60 N/m2,Ω=1 200 r/min,R=0.3 m,h=0.004 m)

圖4　激勵力變化時幅頻特性曲線圖Fig.4 The charactertic curve of amplitude-frequency with different exitation force(B0z=1 T,R=0.3 m,Ω=1 200 r/min,h=0.004 m)

圖7、圖8分別給出了不同磁感應強度和不同轉速條件下振幅隨激勵力幅值的變化曲線圖。圖中曲線表明，較小的激勵力幅值即可激發系統的主共振現象，并且首先會出現多值解，之后激勵力增大到一定值后，解退化為較大的單值。同時，由圖7可見，在單值區域內，磁感應強度越大，共振振幅越小。由圖8可知，隨轉速的增大，在力幅小的單值區域內，共振振幅呈增大變化趨勢，而在力幅大的單值區域內，共振振幅呈減小變化趨勢。

圖5　調諧參數變化時振幅-磁感應強度特性曲線圖Fig.5 The charactertic curve of amplitude-magnetic induction intensity with different tuning parameters(q0=60 N/m2,R=0.3 m,Ω=1 200 r/min,h=0.004 m)

圖6 激勵力變化時振幅-磁感應強度特性曲線圖Fig.6Thecharacterticcurveofamplitude-magneticinductionintensitywithdifferentexitationforce(εσ=0.03,R=0.3m,Ω=1200r/min,h=0.004m)圖7 磁感應強度變化時振幅-激勵力特性曲線圖Fig.7Thecharacterticcurveofamplitude-exitationforcewithdifferentmagneticinductionintensity(εσ=0.02,R=0.3m,Ω=1200r/min,h=0.004m)圖8 速度變化時振幅-激勵力特性曲線圖Fig.8Thecharacterticcurveofamplitude-exitationforcewithdifferentvelocity(εσ=0.4,R=0.8m,B0z=3T,h=0.015m)

5結論

本文針對磁場中旋轉運動圓形板，推導出了其磁彈性振動方程，得到了圓板的幅頻響應方程。通過數值算例，對夾支邊界條件圓板的共振問題進行了分析，結果表明：

(1)共振區域振幅明顯增大并有多值性，板的旋轉速度、厚度大小等參數對共振曲線均有顯著影響。

(2)共振振幅隨激勵力力幅的增大呈增大趨勢，而激勵力頻率的改變直接影響著解的形態。

(3)磁感應強度增大到一定數值時共振振幅明顯下降，即可通過調整外加磁感應強度的大小控制系統的振動。

[1] Yalcin H S, Arikoglu A, Ozkol I. Free vibration analysis of circular plates by differential transformation method [J]. Applied Mathematics and Computation, 2009, 212(2): 377-386.

[2] Zhou D, Au F T K, Cheung Y K, et al. Three-dimensional vibration analysis of circular and annular plates via the chebyshev-ritz method [J]. International Journal of Solids and Structures, 2003, 40(12): 3089-3105.

[3] Jeong K H. Free vibration of two identical circular plates coupled with bounded fluid [J]. Journal of Sound and Vibration, 2003, 260(4): 653-670.

[4] Gao Yuan-wen, Xu Bang, Huh H. Electromagneto-thermo-mechanical behaviors of conductive circular plate subject to time-dependent magnetic fields [J]. Acta Mechanics, 2010, 210(1/2): 99-116．

[5] Hu Yu-da, Li Jing. Magneto-elastic combination resonances analysis of current-conducting thin plate [J]. Applied Mathematic and Mechanics, 2008, 29(8): 1053-1066．

[6] Hu Yu-da, Li Jing. The magneto-elastic subharmonic resonances of current-conducting thin plate in magnetic field [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 319(3/4/5): 1107-1120．

[7] 胡宇達, 張金志. 軸向運動載流導電板磁熱彈性耦合動力學方程[J]. 力學學報, 2013, 45(5): 792-796.

HU Yu-da, ZHANG Jin-zhi. Magneto-thermo-elastic coupled dynamic equations of axially moving carry current plate in magnetic field [J]. Acta Mechanica Sinica, 2013, 45(5): 792-796.

[8] 胡宇達, 杜國君. 磁場環境下導電圓形薄板的磁彈性強迫振動[J]. 工程力學, 2007, 24(7): 184-187.

HU Yu-da, DU Guo-jun. Forced vibration of a thin round conductive plate in magnetic field [J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(7): 184-187.

[9] Hashemi S H, Farhadi S, Carra S. Free vibration analysis of rotating thick plates [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 323(1/2): 366-384.

[10] Maretic R. Transverse vibration and stability of an eccentric rotating circular plate [J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 280(3/4/5): 467-478.

[11] Bauer H F, Eidel W. Transverse vibration and stability of spinning circular plates of constant thickness and different boundary conditions [J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 300(3/4/5): 877-895.

[12] Allahverdizadeh A, Naei M H, Nikkhah B M. Nonlinear free and forced vibration analysis of thin circular functionally graded plates [J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 310(4/5): 966-984.

[13] Chen Y R, Chen L W. Vibration and stability of rotating polar orthotropic sandwich annular plates with a viscoelastic core layer [J]. Composite Structures, 2007, 78(1): 45-57.[14] 李龍飛, 王省哲, 周又和. 黏彈性夾芯層合旋轉圓板的氣動彈性動力穩定性分析[J]. 固體力學學報, 2013, 34(4):325-332.

LI Long-fei, WANG Xing-zhe, ZHOU You-he. Analysis on aeroelastic dynamic stability of a rotating sandwich annular plate with viscoelastic core layer [J]. Acta Mechanic Solida Sinica, 2013, 34(4): 325-332.

[15] 趙飛云, 洪嘉振, 劉錦陽, 等. 高速旋轉柔性矩形薄板的動力學建模和近似算法[J]. 振動工程學報, 2006, 19(3): 416-421.

ZHAO Fei-yun, HONG Jia-zhen, LIU Jin-yang, et al. Dynamic modeling and modal truncation approach for a high-speed rotating thin elastic rectangular plate[J]. Journal of Vibration Engineering, 2006, 19(3): 416-421.

[16] 徐芝綸. 彈性力學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

Nonlinear resonance of a conductive rotating circular plate in the magnetic field

HU Yu-da， WANG Tong

(Hebei Provincial Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipments and Large Structures，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China)

The nonlinear resonance of a conductive rotating thin circular plate subjected to mechanical loads in a magnetic field was investigated. The nonlinear vibration equation, related to the spinning round plate, was derived according to the Hamilton principle. Based on electromagnetic theory, the expressions of electromagnetic forces were derived. According to the set of a displacement function, the magnetoelastic forced vibration differential equation of the round plate was obtained through the application of the Galerkin integral method. By means of an averaging method, the amplitude-frequency response equation in a steady state was established. The amplitude frequency characteristic curves and the relationship curves of an amplitude that changes with the magnetic induction intensity, the speed of rotation and the excitation force of the plate with a fixed boundary condition were obtained according to the numerical calculation. The influence of different parameters on the amplitude and nonlinear characteristics of the spinning plate was analyzed finally.

conductive round plate; rotary motion; primary resonance; magnetic field; averaging method

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.028

國家自然科學基金(11472239)；河北省自然科學基金(A2015203023)；河北省高等學校科學技術研究重點項目(ZD20131055)

2014-05-20修改稿收到日期：2015-01-08

胡宇達 男，博士，教授，1968年11月生

O322;O442

A