基于“變易表”的整合學習
——以等差、等比數列學習為例

◇　廣東　陳雪玲

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非常道

基于“變易表”的整合學習
——以等差、等比數列學習為例

◇廣東陳雪玲

概念的學習是高中數學學習的核心內容,在學習概念的過程中,我們可以通過變易表來進行辨析學習,變易表能帶出4個主要學習功能:對照、區分、類合和融合,每種功能關注學習內容不同的方面,正是這4個功能,讓我們可以對概念進行整合學習．這樣學習,既可以關注到概念的主要特征,又可以和相鄰概念進行區分．下面我以等差數列和等比數列的整合學習為例,介紹基于變易表的整合學習,以幫助大家掌握學習內容．

1利用對照,辨析概念

通過相互“對照”可以區分出不同的、相異的事物．數學概念必定有與之相關的鄰近概念, 因此學習中要以已掌握的知識為基礎, 從鄰近概念出發, 探求新舊概念之間的區別和聯系，這樣有助于掌握概念的本質, 提高對數學理論整體性與嚴密性地把握．

利用變易表的對照功能,把等差、等比數列的概念聯系起來．

等差數列的定義:如果一個數列從第2項起(條件A),每一項與它的前一項的差(條件B)都等于同一個常數(條件C),這個數列叫做等差數列．這個常數叫做數列的公差,用d表示．

在等差數列的定義中,有3個重要特征,我們把它們分別記為條件A、B、C,為了更好地辨析概念,設計了下列變易表(表1～3).

表1

表2

表3

進一步分析表3的例子,從第2項起,每一項與前一項的比都等于同一個常數3,從而引入等比數列概念,得到等比數列的概念，如表4．

表4

通過變易表,同時進行2個概念的學習,能很好的對照2個概念的條件A、C是相同的,等差數列中的條件B由差改為比,就成了等比數列．等差數列關鍵特征是“差”,等比數列關鍵特征是“比”．

同樣,2個概念學習后,對等差中項和等比中項2個概念也是通過變易表進行對比學習，如表5．

表5

通過對概念的條件或特征進行變易,從而得到新的知識,通過對照可以較快地接受新知識．有對照才有鑒別.用對比方法找出容易混淆概念的異同點,有助于區分概念,獲取準確、明晰的認識．

2利用區分,突顯關鍵特征的作用

利用變易表體現出的對照效果,能把注意力聚焦于關鍵特征上,也有助于“區分”相關概念．如上面,利用對照得到等差、等比數列的概念后, 還要根據等差數列關鍵特征“差”,等比數列關鍵特征“比”推導2個數列的通項公式．而變易表中的區分主要就是把關鍵特征顯現出來,探究關鍵特征的作用．

2個數列通項公式的推導,在變易表的體現是由主要特征引起的思想方法的變易.

一般地,等差數列{an}中,首項是a1,公差是d,將an用a1、n、d表示,有a2-a1=d，a3-a2=d,…,an-an-1=d,…(條件A)

將上面n-1個式子相加(條件B)有:an=a1+(n-1)d,以上采用的方法為累加法．

條件A、B都是由等差數列的關鍵特征“差”決定,從而引導學生認識等比數列的關鍵特征為“比”,則條件A、B如何變化?

表6

新接觸一個概念、定理或性質,往往對其中的條件不是很熟悉,通過對條件進行變易,清楚其關鍵特征,并通過區分設計變易表探究關鍵特征的作用,從而加深對整個概念的理解．

在學習過程中,我們發現同學們易從等差數列通項公式推導方法“區分”出等比數列通項公式推導方法,而且對累加法和累乘法也有了對照的認識．利用對照、區分,把2個數列的概念、通項公式整合在一起,突出2個數列的特征．

3利用類合,總結規律

“類合”是在區分后的高層次的對照,用于查對分辨出來的數學規律是否有普遍性．學生對各個數學概念、定理等有了認識,但是缺乏的是知識間的對照和類合,所以應該通過變易表,發揮類合功能,對知識規律進行總結和應用．通過變易表,從變化中審辨出不變的規律．

(1)a1+a9=a3+a7. (2)a2+a8=a4+a6.

(3) 2a5=a1+a9.(4)a1+a2+a7=a4+a6.

從而得到性質:若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+),則am+an=ap+aq,若m+n=2p,則am+an=2ap．證明結論后,進一步把等差、等比進行類合,發現性質,總結規律,因此給出表7.

表7

(2)等比數列{an}中,a3+a8+a13=13,a3a8a13=27,求{an}的通項公式．

“類合”可以形成一種更高層次的思維方法．題目的變易不是幾個獨立數學問題的簡單組合,而是注重題目之間的內在聯系,這些問題的解決能啟示一種數學規律、能引導與啟發大家掌握這種規律．通過變易表的類合,讓大家更清晰這2個數列的性質及運用．

4利用融合,提升思維

“融合”是把不同的關鍵特征對照起來,找出不變的整體意義．融合要注意事物、概念或現象同時變化的幾個方面,以及這些方面與作為整體的學習內容之間的關系．證明數列為等差數列或等比數列,這類題目極為常見,也非常重要,但大家往往掌握不好,原因主要是沒有緊扣定義．在此利用變易表“融合”的功能,將課本證明等差、等比數列的題目進行整合,讓大家掌握證明的方法．

這是一道證明等差數列的題目,只要找到an-an-1為常數(n>1)即可．因為an-an-1=pn+q-[p(n-1)+q]=p(n>1)顯然為等差數列．為了讓學生更好地掌握證明,設計出表8.

表8

此題只要找出(pan+qbn)-(pan-1+qbn-1)=p(an-an-1)+q(bn-bn-1)=pd1+qd2為常數(n>1)即可．

同樣,在等比數列證明中,給出下例.

表9

利用上述各例,讓大家抓住等差數列和等比數列的定義來進行證明,思維方法是相通的．通過融合的學習功能及變易表,找到概念間不變的東西,并融合到解題中,理解這些“變中不變”的關系之后,大家再解決相關的題目時，方能游刃有余、從容不迫,達到以不變應萬變的能力要求．

以變易進行學習,有助于審辨學習內容的關鍵特征,構建及表達出恒成立的數學規律、整合教學,從而提高學習質量．

(作者單位：廣東省廣州市第八十中學)