運用“弦長公式”優化解題策略

◇　河北　李文惠

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通法研究

運用“弦長公式”優化解題策略

◇河北李文惠

圓錐曲線是高考數學必考內容之一,它一直扮演著讓學生“談虎色變”的角色,尤其是解答題的第2問或第3問,許多同學對此倍感困難乃至無從下筆．由于橢圓、雙曲線、拋物線3者之間有許多共同的性質,而這些共性也常常成為考題命制的背景和源泉，因此,在平時的解題訓練中,同學們一定要有意識地培養自己解題反思的習慣、發展變式拓展的思維,逐漸提高解決問題的能力和良好的數學素養．

在解圓錐曲線綜合問題時,同學們常遇到這種情況:感覺方法是對的,但最后為什么算不下去?究其原因:解題思維沒有做到合理的優化.

(1) 求橢圓方程;

(2) 斜率為k的直線l過點F,且與橢圓交于A、B2點,P為直線x=3上的一點,若△ABP為等邊三角形,求直線l的方程.

幾何問題代數化是處理解析幾何問題的常用策略,解題中既可以將幾何問題直接代數化,也可先把幾何問題利用幾何方法進行適度簡化,再代數化.通常前者思維量小，但計算量大;后者計算量小，但思維量大．

圖1

代數化的主要途徑是:設出直線與橢圓的2個交點坐標,將直線方程與橢圓方程聯立,代入消元得含x或y的一元二次方程,由直線與橢圓有2個交點,則一元二次方程有2個實根,即判別式大于0,再結合根與系數的關系得2交點的橫坐標(縱坐標)之和、積與直線斜率之間的關系．再根據題意結合平面幾何圖形的相關性質,列出關系式求解即可.

對于第(2)問部分同學的解題思路是:

設AB的中點為M(x0,y0)，可得

也有同學想到利用等邊三角形的性質

當然從解題思維來看第2種思路明顯要優于第1種思路,但為何仍無法求解呢?在第2種思維的基礎上能否將其進一步優化?

思維受阻的原因是受到弦長公式中“弦長”二字的局限．提到弦長公式,我們主觀上一直認為是直線被曲線所截的兩點A、B間的距離,其實則不然,對于一條直線上任意不重合的2個點之間的距離,都可以利用此公式求．

圓錐曲線的運算問題不僅涉及圓錐曲線的定義、方程、幾何性質,還可以與函數、方程、不等式、三角、平面向量等知識交會,綜合性強,能力要求高,成為歷年高考格外關注的熱點．這就要求我們在處理問題時既要“大處著眼”,即在整體上把握問題的綜合信息和處理問題的數學思想,又要“小處著手”,即在細節上能熟練運用各種數學方法與技巧．因此掌握一些簡化圓錐曲線運算的策略,對優化解題過程、提高運算效率大有裨益．

通過上述分析,筆者建議同學們在解答圓錐曲線問題時可從以下幾方面來著手: 1)熟悉常見模型; 2)熟練掌握圓錐曲線問題中常見的基本方法和基本技巧; 3)認真審題,理清題中的基本關系和內在結構; 4)善于發現利用; 5)加強代數運算、變形能力; 6)盡量使用原始數據; 7)增強自信心.

在解題時若能適當地運用上述策略，對優化解題過程、簡化圓錐曲線運算起著很大的作用，從而使解題過程更加優美、簡潔.

(作者單位：河北省灤平縣第一中學)