近幾年北京高考壓軸題分類賞析與求解策略

◇　北京　呂大軍　王芝平(特級教師)

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難點挑戰

近幾年北京高考壓軸題分類賞析與求解策略

◇北京呂大軍王芝平(特級教師)

新課標高考以來,北京數學卷整體設計更加平實大氣,不糾纏于細枝末節,對數學思維考查的比例較大,題型簡潔清新,形成了北京卷試題獨有的風格和魅力.特別是各題型的壓軸題背景新穎、內涵豐富,而其解法具有質樸、思想深刻等特點,注重考查考生抽象概括能力、推理論證能力、數據處理能力及分析問題和解決問題的能力.特別是第20題跳出了以往 “偏、難、怪”和無人問津的怪圈,既有非常好的選拔功能，又為中學數學教學指明了方向.下面分類賞析.

1分類賞析

1.1回歸數學概念,考查知識遷移

圖1

A5;B7;C9;D11

本題考查閱讀理解、抽象建模、提取代數表達式幾何意義及動手操作能力.

圖2

圖3

1.2注重動態變化,考查操作能力

在考題中通過創建動態的情景,增強了問題的操作性、趣味性,體現了“在玩中學、在學中思、在思中得”的理念,因而成為試卷中一道靚麗的風景線.

A{9,10,11}；B{9,10,12}；

C{9,11,12}；D{10,11,12}

圖4

賞析此題以“整點”問題為背景,通過簡單的數學知識考查了數形結合與分類討論思想，以及考生的自主探索能力，實踐操作能力，觀察、歸納、猜想的能力,能很好的甄別考生的數學綜合素養.如圖4,雖然C、D是動點,但它們卻在直線y=4上,且CD=4.易知四邊形ABCD是平行四邊形.其內部的整點都在直線y=k(k=1,2,3)落在四邊形ABCD內部的線段上,因為這樣的線段長度總等于4,所以每條線段上的整點有3或4個.所以9≤N(t)≤12.再根據不同取值進行討論:

當t=0時,N(t)=9;當0

圖5

賞析本題主要考查函數的周期性、圖象與零點等基礎知識,但主要考查考生在整個動態環境中對問題的辨析和精確描述的能力.

答案: 4; π+1.

1.3突出閱讀理解,考查知識應用

近年高考試卷中適當加大了應用問題的考查力度,創設了實際問題的背景,既考查了知識,又兼顧了能力,并合理控制了試題的難度.

A2;B3;C4;D5

賞析涉及一個現實生活中比較生動的邏輯問題. 學生根據對成績高低的理解,可以將“優秀”“合格”“不合格”3個等級數字化,把問題抽象成平面直角坐標系中對點進行排序的問題,通過列舉的方法得到結論B.解題過程強調“想”而不是“算”,突出對考生理解能力與思維水平的考查.

1.4重視數學思想,考查創新能力

北京卷的最后一題(第20題),大都是在集合或數列的背景下附加“新定義、新運算”的創新題目,目的在于考查考生對數學定義的閱讀理解、數學運算的能力、嚴密的邏輯思維和推理論證能力及綜合運用所學知識和方法解決問題的能力.這類問題往往淡化解題技巧、突出對考生數學思維能力的考查,要求考生能從問題中準確提取有效信息,理解新的數學概念本質,進行創造性的分析與推理.

(1) 寫出一個滿足a1=a5=0,且S(A5)>0的E數列A5.

(2) 若a1=12,n=2 000,證明:E數列An是遞增數列的充要條件是an=2 011.

(3) 對任意給定的整數n(n≥2),是否存在首項為0的E數列An,使得S(An)=0?若存在,寫出一個滿足條件的E數列An;若不存在,請說明理由.

賞析本題主要考查數列的增減性、絕對值和充要條件的概念、不等式的性質等.解題的關鍵是理解新概念,將E數列的本質用簡要的方式闡述,并且進行創造性的轉化:讓我們換個角度,以擬人的方式,直觀化、形象化、動態化地表述并解決這個問題.由于|ak+1-ak|=1,所以可設想有一個人從數軸上點A1(對應的實數為a1)出發,沿數軸走動,每次向正方向或負方向走1個單位(簡稱1步).經過k-1步走到點Ak(對應的實數為ak,允許重復過此點)處.顯然如果在這k-1步中向正方向走了xk步,向負方向走了yk步,則ak=a1+xk-yk且xk+yk=k-1.我們就可以利用這個基本的模型,統一思考、循序漸進地解決3個問題.

綜合性較強的試題中也有考查基礎問題的設問,題目敘述簡潔、易于入手、層次分明. 這既有利于考生在試題的解答中獲得成功的體驗,又對考綱中落實基礎、重視全面、兼顧能力培養的要求有良好的導向作用.

(1) 若a1=6,寫出集合M的所有元素;

(2) 若集合M存在一個元素是3的倍數,證明:M的所有元素都是3的倍數;

(3) 求集合M的元素個數的最大值.

賞析本題是一道突出考查考生推理論證能力的好題,用到了數列和集合知識,問題的證明與求解方法多樣.第(2)問考查了推理與證明的基本方法和整除思想.由遞推關系,若某一項是3的倍數,那么它的后面的項全是3的倍數,反之亦然.那么由分析法可知,自然要證明第1項是3 的倍數即可,恰恰是反證法發揮功能的時候.第(3)問用帶余除法和同余理論可以較好解決;此問還可以用窮舉的方法,同樣顯得既樸素又大氣.

(1) 對于數對序列P:(2, 5),(4, 1),求T1(P),T2(P)的值;

(2) 記m為a,b,c,d中最小的數,對于由2個數對(a,b),(c,d)組成的數對序列P:(a,b),(c,d)和P′:(c,d),(a,b),試分別對m=a和m=d時比較T2(P)和T2(P′)的大小;

(3) 在由5個數對(11, 8),(5, 2),(16, 11),(11, 11),(4, 6)組成的所有數對序列中,寫出一個數對序列P使T5(P)最小,并寫出T5(P)的值(只需寫出結論).

賞析本題主要考查考生是否善于運用特殊化、一般化、類比、歸納等合情推理方法研究問題中的綜合創新精神和實踐能力.第(1)問的目的是讓考生結合簡單的對象,理解題目中有關符號語言所表達的含義,并通過簡單計算對問題有初步了解. 在此基礎上,第(2)問對n=2這種包含一般意義的簡單情況進行理論分析,希望考生圍繞如何使T2(P)取值達到最小進行一些理性思考和證明.通過第(2)問的研究得出如下感悟:要使T2(P)達到最小,要讓最小的數成為a1或b2.這一感悟為解決一般情形的問題提供思想上的線索. 第(3)是一個開放性問題,學生要對n=5時的一個具體實例進行分析,發現規律解決問題.利用第(2)問得出的感悟,可以通過“猜測—嘗試”等推理方式進行探索,在優化問題上給考生提供了多樣化的選擇. 有興趣的同學還可以構造一個“搭積木”的數學模型進行研究.

2啟示與建議

2.1回歸基礎,重視概念

誠然，高考壓軸題的千變萬化，但萬變不離其宗,這個“宗”就是高中數學核心知識以及由內容反映的數學思想方法.教師必須在自己“理解數學”的基礎上,努力幫助學生領悟數學基本概念及其蘊含的思想方法,引導學生養成運用概念去思考和解決問題的習慣,那么學生就會與數學“聲氣相通”,有能力識破考題的“七十二般變化”的“真身”,實現鳳凰涅槃、浴火重生.

2.2創新是方向

高考的目的之一是為高校選拔優秀新生,特別是具有創新意識的學生.近年來北京卷壓軸題在對創新意識的考查方面表現的尤為突出,涌現出了一些構思新穎、意境深遠的命題,從不同的角度考查考生的思維水平.真正的目的是考查同學們的創新意識和學習潛能,考查同學們對所提供的信息,從邏輯關系上進行整理和分析的能力以及對數據的整體把握能力.希望考生能用已學過的知識和方法,通過分析與綜合,找出已知和未知的聯系,組織和整理已有的規則,形成新的高級規則,嘗試解決新的問題.我們認為,今后高考命題的方向仍然是在保持穩定的基礎上堅持對創新意識的考查.

2.3從簡單情形開始

“千里之行,始于足下”.學習數學不可能不遇到“難題”.當遇到“難題”和新穎試題而一籌莫展、無從下手時,不妨先把問題簡化一下,以突出其關鍵信息.特別地，把一個比較復雜的問題“退”成最簡單最原始的問題,把這個最簡單、最原始的問題想通了、想透了,然后再歸納、綜合而實現飛躍,這是學好數學的一個訣竅.啟發我們:解答任何一個有困難的數學問題都應該從簡單情形開始.

2.4要證明,也要猜想

困難問題的解決往往都不是一帆風順的,經常是“猜想—驗證—調整”的探究過程.緊緊抓住已經考查過的簡單情形,仔細觀察、反復推敲,從中發掘出盡可能多的信息與啟示.通過對特殊情形的直觀感知、觀察發現、歸納概括等合情推理,可以積累經驗,甚至捕獲可能的解題思路,再用演繹推理論證其真偽.“大膽假設,小心證明”是我們學習數學的重要途徑. 遺憾的是,在傳統教學中我們偏重演繹推理而淡化了合情推理,這對思維能力的培養非常不利.類比與歸納雖然是似真的,但它們在發現新的命題或發現解決問題的途徑、方法等方面的作用是不容忽視的.在大多數場合,我們尋找一個問題的答案而未能成功的原因,是在于這樣的事實,即有一些比手頭的問題更簡單、更容易的問題沒有完全解決或是完全沒有解決.這時,一切都有賴于找出這些比較容易的問題并使用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來解決它們.

2.5在關注過程,領悟思想

一道題的解法以學生的認知基礎為起點,雖然處處有創新,但處處自然、和諧,處處反映出具有普適意義的、遷移能力強的數學思想方法對解題的引領作用.作為教師要在領悟數學知識蘊含的思想方法上狠下功夫,并針對學生的認知基礎,設計合乎情理、水到渠成的教學過程.要讓學生經歷問題的發現和提出過程,概念的概括過程,結論的歸納過程,用概念解決問題的演繹過程,努力把數學教得“精簡實用,平實近人,引人入勝”.要重視引導學生不斷回到概念中去,使他們養成從基本概念出發思考問題、解決問題的習慣,引導學生注重概念的聯系性,培養他們從概念的聯系中尋找解決問題新思路的能力.若果真如此,學生就有希望在面對陌生問題而現有方法不合適時,能用高屋建瓴的數學思想方法將未知的情境納入或轉換成可解決的問題.

(作者單位：北京宏志中學)