高考命題中的驚人之舉

◇　北京　王雪芹(特級教師)　王慧興

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熱點追蹤

高考命題中的驚人之舉

◇北京王雪芹1(特級教師)王慧興2

對高考試題進行跟蹤、研究,我們不僅能把握常規考題、高頻考點與數學思想方法,也能領略試卷壓軸題的命題規律.研究高考題發現:壓軸題設計有全新試題,也有前后幾年試題形式雷同或接近的變式試題或是解題思想和解題方法有雷同之處的考題,本文把高考試題表現出的這些情形稱作“高考命題中的驚人之舉”.研究挖掘過往試題及其潛在價值,有助于我們及時捕捉高考信息,捕捉新的高考動態.

1命題再現

(1) 證明:xn>xn+1>2(n∈N*);

若xn>3,由(1)知{xn}遞減,得x1>x2>…>xn>3;再由(1)中的遞推公式,對?k∈{1,2,3,…,n},都有

綜上所述,命題得證.

(1) 求證:an

(1) 加強證:0a2=f(a1)=a1(1-lna1)>a1,即0

設當n=k(k∈Z*)時,有0

0

即0

(2) 若ak≥b,則由(1)有ak+1>b. 若ak

ak+1=f(ak)=ak(1-lnak)=ak-1(1-lnak-1)·

(1-lnak)=…=a1(1-lna1)(1-lna2)·…·

(1-lnak)>a1(1-lna1-lna2-…-lnak)>

綜上所述,ak+1>b得證.

2策略重演

Sn=a1b1+a2b2+…+anbn,

Tn=a1b1-a2b2+…+(-1)n-1anbn.

(1) 若a1=b1=1,d=2,q=3,求S3的值.

(2) 若b1=1,證明:

(3) 若正整數n滿足2≤n≤q,設k1,k2,…,kn和l1,l2,…,ln是1,2,…,n的2個不同的排列

c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn,

c2=al1b1+al2b2+…+alnbn.

證明c1≠c2.

(3)c1-c2=(ak1-al1)b1+(ak2-al2)b2+…+(akn-aln)bn=(k1-l1)db1+(k2-l2)db1q+…+(kn-ln)db1qn-1.

若kn≠ln,取i=n;否則kn=ln.取最大的i使得ki≠li(kj=lj,i+1≤j≤n).由題設知1

(ki-1-li-1)qi-2+(ki-li)qi-1.

(1) 當q=2,n=3時,用列舉法表示集合A;

(2) 設s、t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai、bi∈M(i=1,2,…,n),證明:若an

(2) 由s、t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai、bi∈M(i=1,2,…,n)及an

s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+

(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤

(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1=

故s

3由統招到自招

我們以例10為例給出證法.

如圖1,上述和式表示曲邊梯形區域A={(x,y)|0≤y≤f(x),x∈[0,1]}的面積.

圖1

而區域A的面積是定積分

所以

近年來和式型不等式在各省市高考試題、重點高校自主招生試題以及全國高中數學聯賽試題中普遍出現,成為熱點內容之一,而且這些和式型不等式都可視為積分和,從而用定積分的幾何意義構建,直擊目標．

4高等視角

(1) 求證:f(x)≤0;

(1) 求l的方程;

(2) 證明:除切點(1,0)之外,曲線C在直線l的下方.

從而很快得到2個最佳常數amax=π/2,bmin=1.

上述極限也可由現行教材中導數定義計算：

(作者單位