以題代點談動態立體幾何的解答

◇　浙江　謝晨時

?

通法研究

以題代點談動態立體幾何的解答

◇浙江謝晨時

近年高考命題對立體幾何知識的考查逐漸擺脫傳統、死板的考查形式與方法,每年的試卷上都會出現有特色的立體幾何試題,推出了一系列既能考查考生空間想象能力,又能考查創新意識的題目,讓人耳目一新.如“動態”立體幾何問題的考查使立體幾何命題綻放出新的活力.

圖1

A存在點E,使A1C1∥平面BED1F;

B存在點E,使B1D⊥平面BED1F;

C對于任意的點E, 平面A1C1D⊥平面BED1F;

D對于任意的點E,四棱錐B1-BED1F的體積均不變

分析本題雖為一道選擇題,但集線面平行、線面垂直、面面垂直、空間幾何體體積問題于一身,能有效考查同學們靈活運用所學知識解決問題的能力．題目中還滲透了一些“動態”的點、線、面元素,給靜態的立體幾何題賦予了活力,使題意更加新穎、解法更加靈活、思維更加廣闊.也正因為某些點、線、面位置的不確定,成為考生進行常規思考、轉化的障礙.但又因為其是可變的、開放的,更有助于同學們空間想象能力及綜合能力的培養.只有多方著力、尋求轉化,才能探索出解決動態立體幾何的基本策略.

1把握平行原理，探索線面平行

對于選項A．空間平行關系包括線線平行、線面平行及面面平行．欲使A1C1∥平面BED1F,只需在面BED1F內找到一條直線與A1C1平行即可,易得知若點E為CC1的中點,則A1C1∥EF.故選項A正確．

2先設后驗，探索線面垂直

對于選項B.如圖2所示,連接B1D、A1D．設B1D⊥平面BED1F,則B1D⊥D1F．

圖2

易知A1D為B1D在面ADD1A1內的射影,由射影定理知A1D⊥D1F，顯然不成立.故選項B錯誤．

3動中尋定，探索面面垂直

圖3

對于選項C.欲證面面垂直,只需在其中一個面內找到一條線與另外一個面垂直即可．如圖3所示，注意到面BED1F雖然為動面,但其中包含確定的因素,即BD1為面內固定的線,而AD1為BD1在面ADD1A1內的射影,且AD1⊥A1D,由三垂線定理可知BD1⊥A1D．同理BD1⊥A1C1,所以BD1⊥面A1DC1,所以面BED1F⊥面A1DC1．故選項C正確．

4轉化視角，探究幾何體的體積

圖4

對于選項D.如圖4所示,連接BD1,則四棱錐B1-BED1F的體積VB1-BED1F=VE-BB1D1+VF-BB1D1.面BD1B1為定面,點E到面BB1D1的距離為三棱錐E-BB1D1的高,而點E在線CC1上,CC1∥面BB1D1,故CC1到面BB1D1的距離為定值,所以三棱錐E-BB1D1的體積為定值．同理三棱錐F-BB1D1的體積為定值．所以四棱錐B1-BED1F的體積為定值．故選項D正確．

5拓展延伸，實現問題推陳出新

本題可以拓展出新的問題:

拓展1四邊形BED1F將正方體分割為體積相等的2部分．

拓展2求四邊形BED1F面積的最小值．

圖5

羅增儒教授曾說:“以能力立意命題,利于題型設計,易形成綜合自然、新穎脫俗的試題.” 本題構思精巧、立意深遠,能較好地考查考生的空間想象能力,有利于甄別考生的思維層次,突出了理性思維的能力考查.通過對題目的拓展,增加了問題的考查功能．

(作者單位：浙江省寧海縣正學中學)