關于一道函數題的初步探討

◇　山東　藝璇　北京　童嘉森(特級教師)

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童嘉森數學之窗

關于一道函數題的初步探討

◇山東藝璇1北京童嘉森2(特級教師)

當采集一個信號后，通過控制系統直接數字頻率合成，輸出與該頻率相關的信號，然而輸入和輸出信號間的相位差是可控的.從聲場的線性疊加原理可知，頻率相同、同向傳播的兩列聲波會在空間中產生相加或者相消的干涉現象，干涉后的波峰波谷，完全取決于兩列聲波的相位和幅值的關系[11-12].

解答完該題后,不妨研究一下這個函數.由于f(x)是非減函數,并且具有題設的3條性質,在此我們嘗試對函數f(x)的性質作進一步探討.

1函數f(x)的對稱性

2函數f(x)部分特殊點的通項公式

……

同時還有:

……

同時,能夠得出

按照這個思路繼續推算下去,我們發現:

……

3函數f(x)的不連續性及大致圖象

根據函數f(x)部分特殊點的通項公式以及計算過程可以看出,任意一個位于區間[0,1]上的有理數都可由性質②、③和非減函數的特性求出對應的函數值. 而對于無理數來說,雖然部分無理數能通過比較相鄰2個有理數的大小,來求出對應的函數值,但存在部分無理數,無法根據題設性質求得函數值．因此,函數f(x)是不連續的. 對于這一結論,我們可以通過反證法證明.

假設對于任意無理數x0∈[0,1],都能由題設條件求得唯一確定的函數值f(x0)與之對應．因為無理數無法借助性質②、③求值,那么必然存在與x0接近的2個有理數x1、x2(x1< x0

但是我們為了能夠初步了解函數f(x)的上述性質,不妨作出其大致的圖象(圖1)．

圖1

(作者單位