數學課堂，“智慧生長”的好地方
——以蘇教版六下《面積的變化》的教學為例

楊宏權

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數學課堂，“智慧生長”的好地方
——以蘇教版六下《面積的變化》的教學為例

楊宏權

【關鍵詞】數學課堂；智慧生長；智慧數學

科帶頭人。

數學的美蘊藏著至簡至和的智慧，數學的理性蘊藏著至真至通的智慧，數學的自由蘊藏著創造探索的智慧。數學課堂則以系統的數學知識為載體去豐富學生的智慧，使學生變得更聰明，更睿智，可以這樣說，數學課堂是學生“智慧生長”的好地方。江蘇省著名特級教師陳士文提出的“智慧數學”，其內涵可概括為“六性”，即：整體性、多向性、探索性、簡潔性、抽象性、和諧性。“智慧數學”的課堂凸顯數學教學的核心，充分挖掘每個智慧點，從而實現學生智慧成長。下面，筆者以蘇教版六下《面積的變化》一課的教學為例，談談自己的實踐與思考。

一、從“一次爭論”說起

出示：3cm的線段和比例尺1∶1000。

學生回憶什么是比例尺，并算出3厘米線段的實際距離（板書：長度比）。

出示：活動室平面圖（如圖1）。

（圖1）

在解決“求活動室實際面積到底有多大”時，引出兩位同學的爭論。

生1：2×3=6（平方厘米），6×1000=6000（平方厘米），6000平方厘米=0.6平方米。

生2：2×3=6（平方厘米），6×1000×1000=6000000（平方厘米），6000000平方厘米=600平方米。

引出猜想：面積比與長度比，會有什么樣的關系呢？（板書：面積比）

通過 “你打算采用什么樣的方法來研究這個問題”，激發學生思考，通過生生互動交流，初步形成可以通過畫圖形、放大、算一算等方法進行舉例判斷的探究途徑。

借助“爭論”暴露認知沖突，激發好奇心，引發學生大膽猜想。有了猜想就會想方設法尋找解決問題的途徑，這樣不僅激發了學生探究的欲望，同時也使學生明確了探究的目標。

二、由長度比到面積比

以長方形為例（如圖2），讓學生選一選，哪個長方形是原長方形放大后的圖形？按什么比放大的？（板書：3∶1）

（圖2）

接著讓學生算一算大長方形與小長方形的面積比。從而得出：大長方形與小長方形的面積比是9∶1。（板書：9∶1）

以上例證，已讓學生明白 “長度比不等于面積比”，那“面積比可能與長度比存在怎樣的關系”呢？從而引發學生二次猜想 （面積比可能等于長度比的平方）。教師引導學生討論：根據一個例子我們能說面積比就一定等于長度比的平方嗎？（不能）從而得出：要想知道這一猜想是否具有普遍性，可以再舉些例子進行驗證。

出示：如果將小長方形按（）∶（）的比放大，放大后與放大前圖形的面積比是（）∶（）。

學生自由選擇，獨立完成。得出：把一個長方形按n∶1的比放大，放大后與放大前長方形的面積比是n2∶1。

教師再次激疑：通過舉例驗證，我們發現這樣的規律適合長方形，那它是否也適用于其他平面圖形呢？從而將學生的探索思維引向其他平面圖形。學生根據前面的探究經驗，選擇不同的平面圖形再次進行驗證，最后得出規律：把一個平面圖形按n∶1的比放大，放大后與放大前圖形的面積比是n2∶1。

以單一長方形作為規律研究對象，雖然改變了教材中所呈現的內容，但它能聚焦問題，使學生較為容易地發現兩個長方形的長度比與面積比的關系，以此積累豐富的探究經驗，為接下來多角度探究規律提供范式。在研究不同平面圖形長度比與面積比之間關系時，教者讓學生自主選擇材料，合作研究，共商探究結果，照顧了學生差異，培養了學生自主探究的能力和合作的意識，讓每個學生都能獲得最大限度的發展。

三、追根溯源，揭示規律本質

教師引導：剛才我們得出的規律雖然已經通過實踐的檢驗，但是一個結論的得出還需通過科學的認證。以長方形為例，出示平面圖（如圖3）。

（圖3）

引導學生對比上下這兩道算式，并用以前所學的知識來解釋面積的變化規律，得出：一個因數擴大n倍，另一個因數也擴大n倍，積就擴大n2倍。從而通過積的變化規律，揭示面積變化規律中的奧秘。

教學中，我們不僅要讓學生知道“是什么”，更要帶領學生一起追溯現象的本質，即規律的數學本質是什么？也就是我們通常所說的“為什么”。讓學生經歷例證得出猜想，論證揭示本質的全過程，使學生形成 “只有能根據確實可靠的已有知識進行嚴格論證的猜想才是確實可靠的”科學認知，逐步樹立科學研究的意識。

四、由n2∶1想到的……

教師再次激疑：根據長度比，如果給你大膽猜想的機會，你還會有哪些猜想呢？引導學生從面積，想到周長，再從平面圖形想到立體圖形，并得出如下知識網絡。

學生有了猜想后，可試著讓學生驗證一下。

全班匯報、交流。

從面積的變化（二維空間），回顧到周長變化（一維空間），再拓展到體積變化（三維空間），豐富了學生觀察物體的角度，豐滿了學生的認知結構，同時也拓寬了學生的思維空間。

【教后反思】

1從“一維”走向“三維”。

世界是一個有聯系的整體，我們的教材設計要從整體出發，在知識的來龍去脈中培養學生整體的眼光、整體的思維，感悟智慧的生長。《面積的變化》這節課教材介紹了從長度比向面積比的規律探索。長度屬于一維空間的范疇，而面積則屬于二維空間，它是由長度和寬度（在幾何學中為x軸和y軸）兩個要素所組成的平面空間。從長度比向面積比，其實是一維空間向二維空間的探索過程，由于此時的學生已建立了立體圖形的概念（即三維空間），從整體性的角度思考，我們能不能從長度比再引導學生向三維空間（立體圖形）的體積比進行探索呢？教學實踐告訴我們完全可行。為此，課始我們通過比例尺的復習（一維空間），過渡到面積比的探索（二維空間），再到最后的知識總結與提升階段，激發學生對體積比產生新的猜想，將學生的思維引向三維空間，數學智慧就在此得以生長。

2.從“是什么”走向“為什么”。

數學不是停留在“生活劇”中，數學追求深度思考的價值，不是停留在簡單的表面現象或是實際應用上。《面積的變化》這部分內容在比例尺的知識基礎上，通過對比例尺1∶n的圖上面積與實際面積的比的研究，推理歸納出他們的面積比是1∶n2。在現實教學中，教師也往往通過計算平面圖形的圖上面積和實際面積的比，來找到變化的規律，對規律背后的本質問題，為什么會這樣變化卻只字不提。這種研究僅僅局限在找現象規律，而數學是對現象的本質分析和探索，用數學方法研究這種現象，揭示現象背后的數學本質是我們每個數學教師都應該追尋的。面積屬于二維空間，它的大小決定于長度和寬度兩個變化量，這種變化的本質其實源起學生已學的積的變化規律。為此在學生通過歸納得出面積比的規律后，通過教師引導，追溯到規律的數學本質是積的變化規律。這種讓學生探究現象背后數學本質的過程，能促進學生舉一反三，提高學習效率，更能讓每個學生獲得更大的思維發展。

3.從“知識傳授”走向“素養形成”。

數學教學活動是一種探索活動，通過觀察、實驗、想象、直覺、猜測、檢驗等活動，經歷智慧的生長過程。而智慧的生長僅僅靠知識的傳授是遠遠不夠，為此，我們就在思考，在教學《面積的變化》內容的同時，我們應如何促進學生的智慧生長？教學時，我們通過“爭論”引發學生的思考沖突，并通過長方形放大前后的比較引導學生直覺猜想，并通過計算比較，佐證猜想的正確。此時，又告訴學生一個特例的正確，還不能完全證明猜想正確性。從而引發學生用不同平面圖形的面積變化進行檢驗，進一步驗證猜想的合理性。然后又通過激發學生通過舊知，即積的變化規律進一步論證猜想的科學性，最后通過總結得出縝密的規律。這樣讓學生經歷 “猜想—檢驗—論證—總結”的四個環節，循序漸進，步步深入，直覺思維與邏輯思維相互映照，這是學生形成科學研究素養的過程。在這一挑戰自我的過程中，學生的問題意識得以形成，科學方法論得以體驗，創新意識得以迸發，智慧得以生長。

【中圖分類號】G623.5

【文獻標志碼】A

【文章編號】1005-6009（2016）26-0061-03

【作者簡介】楊宏權，江蘇省揚州市育才實驗學校（江蘇揚州，225000），高級教師，揚州市數學學