非線性時變結構隨機地震響應最優多項式控制

彭勇波， 李　杰

(同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室,上海　200092)

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非線性時變結構隨機地震響應最優多項式控制

彭勇波， 李杰

(同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室,上海200092)

摘要：以隨機地震動作用下具有Bouc-Wen滯回特性的非線性結構系統為受控對象，開展了最優多項式控制算法研究：包括系統矩陣中Maclaurin展開取初始零值衍生的具有時不變增益矩陣的控制律，和系統矩陣中Maclaurin一階展開衍生的具有時變增益矩陣的控制律。研究表明，受控結構層間位移響應的變異性明顯降低，結構的安全性顯著提高。同時，基于時不變增益矩陣的控制律的控制效果在一定程度上受制于控制力施加的大小與系統穩定性之間的平衡關系，而考慮了每一個時間步位移和速度對增益矩陣影響、基于時變增益矩陣的控制律則能以較小的控制出力獲得較好的控制效果。

關鍵詞：多項式控制；增益矩陣；超越概率；非線性結構；時變

由于地震發生的時間、空間和強度具有明顯的隨機性，工程結構或系統在地震作用下的動力學行為將呈現顯著的非線性特征，因此合理量化結構地震性態的隨機性，在此基礎上開展非線性結構隨機最優控制研究具有重要的工程實踐意義。Yang等[1]采用隨機振動的等價線性化方法，研究了地震作用下隔震建筑的混合隨機最優控制，其中地震動模型為過濾短時白噪聲；Zhu等[2]基于隨機平均方法和隨機動態規劃原理，提出了基于一維可控散射過程的隨機激勵滯回系統非線性隨機最優控制策略。

基于物理隨機系統理論框架的結構隨機最優控制方法為結構性態的精細化控制提供了明確的思路，即結構隨機最優控制策略的關鍵是控制律及控制器參數的確定，而相關概率準則恰恰依賴于結構反應性態[4]。在此基礎上，本文以隨機地震動作用下具有Bouc-Wen滯回特性的非線性結構系統為受控對象，開展了最優多項式控制算法研究：包括系統矩陣中Maclaurin展開取初始零值衍生的具有時不變增益矩陣的控制律，和系統矩陣中Maclaurin一階展開衍生的具有時變增益矩陣的控制律。研究表明，基于時不變增益矩陣的控制律的控制效果在一定程度上受制于控制力施加的大小與系統穩定性之間的平衡關系，而考慮了每一個時間步位移和速度對增益矩陣影響、基于時變增益矩陣的控制律則能以較小的控制出力獲得較好的控制效果。

1非線性系統隨機最優多項式控制

對于均方有界隨機激勵下的多自由度非線性系統，其向量運動方程為

(1)

為將式(1)寫為系統矩陣與狀態向量分離的狀態方程形式，需對非線性內力向量f[·]進行展開。通常展開為如下Maclaurin級數

(2)

對于一般非線性結構系統，位移狀態量與速度狀態量交叉乘積項的貢獻遠小于其他項，可以忽略；此外，當狀態量為零時，非線性內力項一般為零。因此有

(3)

在狀態空間，式(1)可寫為

(4)

結構系統的初始條件為Z(t0)=z0，其中Z(t)為2n維狀態向量；Λ(Z)為2n×2n維系統矩陣；B為2n×r維控制裝置位置矩陣；D為2n×p維激勵位置矩陣。

Λ(Z)=

(5)

式中:m表示Maclaurin級數的最高階數(與非線性內力的最高階數相同)，不難看出狀態矩陣元素的展開項中(m+1)階及更高階均為零。

考慮激勵隨機性的影響，多項式性能泛函是一個關于初始和終端條件的隨機變量[5]：

UT(t)RUU(t)+h(Z,t)]dt

(6)

式中:S(Z(tf),tf)表示終端性能；t0,tf為初始和終端時間；QZ為2n×2n維半正定狀態權矩陣；RU為r×r維正定控制力權矩陣；h(Z,t)為性能函數的高階項(三階及以上)。

從式(6)可見，性能泛函的前兩階項即為經典的LQR控制。根據最優性原理推導Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程[6]，最優多項式控制力導出為方程

(7)

式中:P(t),Mi(t)分別為Riccati矩陣和Lyapunov矩陣方程，分別滿足如下Riccati矩陣方程和Lyapunov矩陣

(8)

i=2,3,…,k

(9)

對于無限時間最優控制系統，若系統矩陣不依賴于時間時，Riccati矩陣和Lyapunov矩陣分別為方程(8)、(9)的穩態形式的解。而對于本文研究的問題：有限時間最優控制系統、系統矩陣依賴于時間，可以將數值積分步長小尺度時間上的系統矩陣視為不依賴于時間，因此，Riccati矩陣和Lyapunov矩陣近似為以下方程的解：

P(t)Λ(Z)+ΛT(Z)P(t)-

(10)

(11)

研究表明，采用一類基于超越概率的性態泛函準則，最優多項式控制器具有與LQR控制器相同的控制效果[5]。因此，本文采用如下LQR控制器形式

(12)

式中:G(t)為增益矩陣。

可以看到，Riccati矩陣與系統矩陣Λ(Z)相關、為時變矩陣。這表明，在給定優化設計的控制器參數(狀態權矩陣QZ與控制力權矩陣RU)條件下，控制力U(t)的增益矩陣G(t)本質上是時變的。

為使增益矩陣可以離線計算，可以通過系統矩陣Λ(Z)取初始狀態值z0得到[5]，即替換式(5)中Λ(Z)為Λ0：

Λ0=

(13)

此時，系統矩陣不依賴于時間，Riccati矩陣也與時間無關，式(12)中的增益矩陣G(t)為時不變矩陣。

本文旨在考察具有時變增益矩陣的控制律，因此需考慮系統矩陣與系統狀態相關。為降低計算工作量，系統矩陣展開為Maclaurin級數的零階和一階項(二階及以上截斷)，即

Λt=

(14)

因此，采用系統矩陣式(14)，能夠獲得具有時變增益矩陣的控制律。

2參數優化的性態泛函準則

結構系統隨機最優控制的關鍵是控制器參數的確定。采用基于超越概率的性態泛函準則[7]，進行控制器參數的優化與設計：

(15)

這里，狀態向量(或其集合量)及控制力向量均受控于廣義密度演化方程[4]

(16)

(17)

其中:Z(·)和U(·)分別為Z(·)和U(·)的分量形式。

給定初始條件

pZΘ(z,θ,t)|t=0=δ(z-z0)pΘ(θ)

(18)

pUΘ(u,θ,t)|t=0=δ(u-u0)pΘ(θ)

(19)

(式中:z0,u0分別為Z(t),U(t)的確定性初始值)，通過數值方法求解可得控制系統在任一時刻Z(·)和U(·)的概率密度函數

pZ(z,t)=∫ΩΘpZΘ(z,θ,t)dθ

(20)

pU(u,t)=∫ΩΘpUΘ(u,θ,t)dθ

(21)

式中:ΩΘ是Θ的分布域，θ是Θ的樣本實現值，聯合概率密度函數pZΘ(z,θ,t)、pUΘ(u,θ,t)分別為方程(16)、方程(17)的解。

一般情況下，概率密度函數 的分析解很難得到，因此通過數值方法求解是現實的選擇。具體數值求解步驟可參見文獻[8]。

3數值算例分析

考察具有構件滯回特性的八層剪切型框架結構，其受控系統的運動方程為

(22)

初始位移和初始速度設為0。式中:C為阻尼矩陣；Rt(X,z)為n維恢復力向量，包括彈性力和由滯變位移z=z(X)引起的滯回力，模型為雙線型恢復力

Rt(X,z)=αK0X+(1-α)K0z

(23)

式中:α為構件屈服后K1剛度與屈服前剛度K0之比。

滯變位移z的函數表達決定了不同形式的滯回力模型，本文采用Bouc-Wen模型，滯變位移z分量為[9]

(24)

式中:h(z),v,η分別表示描述捏攏效應、強度退化和剛度退化的指標，均依賴于構件的非線性發展過程,一般與構件的能量耗散相關。能量耗散指標定義為

(25)

定義

η=1+δηε

(26)

v=1+δvε

(27)

(28)

式中:δv,δη分別為強度退化和剛度退化參數；zu為滯變位移分量極值

(29)

ζ1,ζ2均為捏攏效應參數

ζ1=ζs(1-e-pε)

(30)

ζ2=(ψ+δψε)(λ+ζ1)

(31)

根據式(13)，在狀態空間導出時不變增益矩陣的系統矩陣為如下展開形式：

(32)

而根據式(14)，導出時變增益矩陣的系統矩陣為如下一階展開形式

Λt=

(33)

采用主動錨索控制，控制裝置沿層間滿布。無控結構層質量和層間剛度分別為m1=m2= 1.0×105kg，m3=m4= 0.9×105kg，m5=m6= 0.9×105kg，m7=m8= 0.8×105kg；k1=k2= 3.6×101kN/mm，k3=k4= 3.2×101kN/mm,k5=k6= 3.2×101kN/mm，k7=k8= 2.8×101kN/mm。采用Rayleigh阻尼Ct=aM+bKt，a=0.01,b=0.005；由此，結構第一階振動模態的阻尼比為1.05%；屈服前結構自振頻率分別為3.64、10.40、16.46、22.45、27.91、31.89、34.68、36.81 rad/s。Bouc-Wen模型的參數為：α=0.01,A=1.0,β=140.0,γ=20.0,n=1.0,δv=0.002,δη=0.001,ψ=0.2,δψ=0.005,λ=0.1,ζs=0.95,q=0.25。層間位移、層間速度、層加速度和控制力的閾值分別假定為50 mm、500 mm/s、5 000 mm/s2和 200 kN。如前所述，控制器參數的確定即為權矩陣優化設計，假定如下形式[10]

(34)

采用基于物理的隨機地震動模型[11]，隨機地震動輸入峰值加速度0.3 g，代表性地震波如圖1所示。

首先采用系統矩陣式(32)進行時不變增益矩陣設計，基于超越概率的性態泛函準則優化獲得控制器參數為：Qd=225.5，Qv=193.1，Ru=10-9。然后采用相同的控制器參數，由系統矩陣式(33)導出時變增益矩陣。

圖1　0.3 g代表性地震波Fig.1 Typical seismic wave with PGA 0.3 g

圖2　時變與時不變增益矩陣中Riccati矩陣的元素值Fig.2 Riccati element of time variant and time-invariant gain matrices

圖2所示為時變與時不變增益矩陣中Riccati矩陣P(t)的第一個元素的值。可以看到，時不變增益矩陣的Riccati矩陣元素(Time-Invariant)不隨時間變化，且相對于時變增益矩陣的Riccati矩陣元素(Time-Variant)總處于較高的值水平，這意味著前者可能實施更大的控制力。如圖3所示，時變與時不變增益矩陣實施的層間控制力的極值均值沿層高的變化。可見，時變增益矩陣實施的控制力較小、且沿層高分布更均勻。

圖3　時變與時不變增益矩陣實施的層間控制力的極值均值沿層高變化Fig.3 Mean of extreme inter-storey control force along height of structure with time-variant and time-invariant gain matrices

圖4　最優控制前后時變與時不變增益矩陣對應的層間位移的失效概率沿層高變化Fig.4 Exceedance probability of extreme inter-storeydrift along height of structure with time-variant and Time-Invariant gain matrices

圖4所示為最優控制前后時變與時不變增益矩陣對應的層間位移的失效概率(基于極值分布理論和廣義密度演化方程求解[12])沿層高變化，可以看到，實施最優控制后結構的可靠度顯著增大；與控制前相比，采用時不變增益矩陣(Time-Invariant)，除頂層外其余層間位移的失效概率得到了明顯降低；而采用時變增益矩陣(Time-Variant)，較控制前各層層間位移的失效概率均得到了降低，且與時不變增益矩陣(Time-Invariant)比較，盡管各層的失效概率略大(頂層除外)，但失效概率沿層高分布更均勻。這表明，基于時變增益矩陣的控制律獲得了更好的結構性態。

這是因為，基于時不變增益矩陣的控制律需平衡控制力施加的大小與系統的穩定性，而基于時變增益矩陣的控制律考慮了每一個時間步位移和速度對增益矩陣影響。因此，盡管后者在每一個時間步需耗時計算增益矩陣，但能獲得更好的控制效果。(在當前的一般計算條件下，從傳感器采集數據到增益矩陣計算、控制力信號輸出僅需幾十ms。)

圖5所示為基于時變增益矩陣最優控制前后，結構底層層間位移在典型時刻的概率密度。從圖中可以看到，實施控制后，結構層間位移響應的變異性明顯降低，這表明結構的安全性顯著提高，與最優控制前后底層層間位移失效概率的減小一致(如圖4所示)。同時，響應概率密度的偏態和峰態較最優控制前也具有顯著改善。

圖5　最優控制前后結構底層層間位移在典型時刻的概率密度Fig.5 PDFs of inter-0-1-storey drift at typical instants of time with and without optimal control

圖6　最優控制前后代表性地震波作用下結構底層層間滯回曲線Fig.6 Hysteretic curves of inter-storey 0-1 subjected to typical seismic wave with and without optimal control

圖6所示為基于時變增益矩陣最優控制前后，某一代表性地震波作用下結構底層層間滯回曲線。可以看到，實施控制后，結構層間的耗能得到明顯改善：構件運動往復區間范圍變小、趨于平衡點附近，構件剛度退化不明顯。

4結論

本文探討了基于時變增益矩陣的非線性結構系統隨機最優控制，開展了最優多項式控制算法研究：包括系統矩陣中Maclaurin展開取初始零值衍生的具有時不變增益矩陣的控制律，和系統矩陣中Maclaurin一階展開衍生的具有時變增益矩陣的控制律。以隨機地震動作用下具有Bouc-Wen滯回特性的非線性結構系統為受控對象，進行了錨索沿層高滿布工況下的控制器增益設計與控制器參數優化。研究表明：基于時不變增益矩陣的控制律的控制效果在一定程度上受制于控制力施加的大小與系統穩定性之間的平衡關系，考慮了每一個時間步位移和速度對增益矩陣影響、基于時變增益矩陣的控制律則能以較小的控制出力獲得較好的控制效果。實施控制后，結構層間的耗能得到明顯改善，構件運動往復區間范圍變小、趨于平衡點附近，構件剛度退化不明顯。

參 考 文 獻

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基金項目：國家自然科學基金資助項目(51108344)；土木工程防災國家重點實驗室探索性研究課題資助項目(SLDRCE14-B-20)

收稿日期：2014-12-01修改稿收到日期：2015-04-17

中圖分類號:O232；TB114.2

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.033

Optimal polynomial control for random seismic response of non-linear time-varying structures

PENG Yong-bo, LI Jie

(State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract:The physically-motivated stochastic optimal control is proved to be efficient in performance improvement and risk mitigation of engineering structures. Here, the polynomial control method considering time-variant gain parameters for physical scheme ruling nonlinear stochastic systems was presented. The exceedance probability of structural states and control force served as the critical argument of probabilistic criterion, whereby the parameter optimization of control policy could be readily achieved. A randomly base-excited shear frame structure with Bouc-Wen behaviors was used as the object for control test. Numerical results indicated that using the proposed stochastic optimal control schemes, the variation of inter-storey drift of the structure decreases significantly, and the structural safety is enhanced obviously; the benefit of optimal polynomial control with time-invariant gain parameters is enslaved to the balance relation between system stability and control force, while the optimal polynomial control with time-variant gain parameters involves the contributions of structural velocity and displacement to the gain matrix at each time step, it results in a better structural performance with a smaller control force.

Key words:polynomial control; gain matrix; exceedance probability; nonlinear structures; time-variant

第一作者 彭勇波 男，博士，副研究員，1978年生