基于動(dòng)質(zhì)量塊和聲激勵(lì)共同作用下的各向同性矩形薄板動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

周志勇， 秦衛(wèi)陽(yáng)

(西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安　710072)

?

基于動(dòng)質(zhì)量塊和聲激勵(lì)共同作用下的各向同性矩形薄板動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

周志勇， 秦衛(wèi)陽(yáng)

(西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安710072)

摘要：針對(duì)以往研究過程中忽略質(zhì)量塊慣性和聲源激勵(lì)對(duì)板動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，在考慮質(zhì)量塊慣性對(duì)板的影響基礎(chǔ)上，采用哈密頓原理和Kronecke δ函數(shù)建立板在動(dòng)質(zhì)量塊和聲源激勵(lì)共同作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程，再采用模態(tài)變換將運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行解耦，然后采用微分求積法(DQM)求解系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。數(shù)值算例結(jié)果表明：相比Runge-Kutta算法，取樣網(wǎng)點(diǎn)較少時(shí)，DQM得到的動(dòng)態(tài)響應(yīng)值精度更高。動(dòng)質(zhì)量塊的質(zhì)量、移動(dòng)速度和阻尼系數(shù)及聲激勵(lì)的聲頻和聲強(qiáng)對(duì)矩形薄板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線具有明顯的影響。

關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)響應(yīng)；邊界條件；動(dòng)質(zhì)量塊；DQM

矩形板在動(dòng)質(zhì)量塊和外部激勵(lì)作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)行為分析已在實(shí)際工程領(lǐng)域中被高度重視：在高速公路、鐵路和橋梁等的設(shè)計(jì)中，眾多研究人員將多數(shù)類型的橋梁近似簡(jiǎn)化為各向同性板，即將公路橋梁在外荷載作用下的振動(dòng)簡(jiǎn)化為各向同性板在動(dòng)質(zhì)量和外部荷載激勵(lì)共同作用下的振動(dòng)。肖新標(biāo)等[1]將列車簡(jiǎn)化成移動(dòng)簡(jiǎn)諧力模型，對(duì)列車過橋時(shí)橋梁的振動(dòng)形態(tài)幅頻特性作了詳細(xì)的探討，給出了橋梁在不同速度下的幅頻特性曲線以及TMD控制的質(zhì)量比影響曲線，為進(jìn)一步的橋梁振動(dòng)控制提供詳盡的參考數(shù)據(jù)。劉維寧等[2]以 Duhamel積分為基礎(chǔ)，應(yīng)用動(dòng)力互等定理，得到了移動(dòng)荷載作用下半無(wú)限彈性空間體上任意點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)的一般表達(dá)式從而得到了軌道結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載作用下動(dòng)力響應(yīng)的解析解形式。王少欽等[3]基于振型疊加原理， 采用廣義坐標(biāo)變換的方式建立了移動(dòng)荷載勻變速通過簡(jiǎn)支梁橋時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力平衡微分方程并以一鐵路多跨簡(jiǎn)支箱梁橋?yàn)槔?jì)算得到車輛勻速運(yùn)行時(shí)橋梁最大撓度隨車速的變化曲線，從車橋共振的角度詳細(xì)分析了橋梁最大撓度的變化趨勢(shì)以及車輛變速運(yùn)行對(duì)橋梁最大撓度的影響。Wu等[4]利用有限元法(FEM)和Newmark直接積分法對(duì)承受各種動(dòng)載荷的板進(jìn)行受迫振動(dòng)分析。Raske等[5-6]對(duì)移動(dòng)荷載作用下各向同性板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了很好的研究，并且得到了經(jīng)典的解決方案。Shadnam等[7]采用模態(tài)疊加法，簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)方程，基于Runge-Kutta算法實(shí)現(xiàn)了承受動(dòng)質(zhì)量塊的簡(jiǎn)支矩形薄板近似解。Nikkhoo等[8]研究了四邊簡(jiǎn)支矩形薄板在承載動(dòng)荷載時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)特性。Uzal等[9]得到了圓形薄板在動(dòng)荷載作用下動(dòng)態(tài)響應(yīng)的解析解，但未考慮動(dòng)載慣量影響。Vaseghi[10]給出了不同邊界和荷載分布條件下剪切變形板振動(dòng)的半解析模擬，將矩形橋面模型簡(jiǎn)化為板單元，將車輛模型近似看作動(dòng)質(zhì)量塊。Humar等[11]基于大撓度理論和Galerkin方法，解決了車橋相互作用的問題，并確定了動(dòng)態(tài)響應(yīng)的相關(guān)參數(shù)。Wang等[12]研究了板自重引起的靜態(tài)響應(yīng)以及由動(dòng)荷載耦合的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。Miha等[13]研究了四邊簡(jiǎn)支板在動(dòng)質(zhì)量塊作用下的振動(dòng)響應(yīng),并把質(zhì)量塊的荷載分布形式分別簡(jiǎn)化為集中載荷、均布載荷和線性分布載荷,研究發(fā)現(xiàn)質(zhì)量塊移動(dòng)速度、荷載分布形式和質(zhì)量塊的質(zhì)量大小對(duì)板的振動(dòng)響應(yīng)影響較大。Gbadeyan等[14]研究了在點(diǎn)聲源激勵(lì)下四邊簡(jiǎn)支板和四邊固支板的振動(dòng)響應(yīng)，并給出時(shí)域聲壓分布近似解,并對(duì)其進(jìn)行了試驗(yàn)研究，其試驗(yàn)值與理論解有著較高的一致性。

基于以上分析，針對(duì)以往研究過程中忽略質(zhì)量塊慣性和聲源激勵(lì)對(duì)板動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，本文在考慮了質(zhì)量塊慣性對(duì)板的影響基礎(chǔ)上，采用哈密頓原理和Kroneckeδ函數(shù)建立了板在動(dòng)質(zhì)量塊和聲源激勵(lì)共同作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程；再采用模態(tài)變換將運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行解耦，然后采用微分求積法(DQM)，求解系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。并通過不同邊界條件下的算例驗(yàn)證了本文所提方法的可行性，著重分析了質(zhì)量塊質(zhì)量，移動(dòng)速度，邊界條件，阻尼系數(shù)，聲頻和聲強(qiáng)對(duì)板振動(dòng)響應(yīng)的影響效果。

1動(dòng)質(zhì)量塊和聲激勵(lì)共同作用的各向同性矩形薄板動(dòng)力學(xué)方程

均質(zhì)材料的各向同性矩形薄板，x向長(zhǎng)度為a，y向長(zhǎng)度為b，動(dòng)質(zhì)量塊與x軸距離為e，動(dòng)質(zhì)量塊M在聲激勵(lì)作用下以速度v沿x向運(yùn)動(dòng)，如圖1所示。

圖1　動(dòng)質(zhì)量塊和聲激勵(lì)共同作用下的各向同性矩形薄板Fig.1 A thin rectangular isotropic plate under moving mass and sound excitation

系統(tǒng)的動(dòng)能：

vt)δ(y-e))dxdy

(1)

式中：M為質(zhì)量塊的質(zhì)量；ρ，h，c分別為板的密度，厚度和阻尼系數(shù)；w(x,y,t)為板在坐標(biāo)(x,y)處t時(shí)刻的撓度；用δ函數(shù)描述質(zhì)量塊的位置，δ函數(shù)定義如下：

(2)

板勢(shì)能：

(3)

式中：μ是泊松比；D為板的彎曲剛度；

(4)

應(yīng)用一般完整系哈密頓原理：

(5)

得到基于動(dòng)質(zhì)量塊和聲激勵(lì)共同作用的各向同性矩形薄板運(yùn)動(dòng)方程：

p(x,y,t)+Mgδ(x-vt)δ(y-e)+Y

(6)

其中：

(7)

(8)

(9)

(vt,e)表示為質(zhì)量塊的坐標(biāo)；Y表示動(dòng)質(zhì)量塊的慣性作用。

由于本文采用單極子聲源作為聲激勵(lì)，故p(x,y,t)可表示為坐標(biāo)(x,y)處t時(shí)刻板上的聲壓，即考慮聲源激勵(lì)對(duì)矩形薄板的作用，如下式所示[15-16]：

(10)

其中：

(11)

根據(jù)以上分析，采用模態(tài)疊加法，板的撓度w(x,y,t)可表示為如下級(jí)數(shù)形式：

(12)

式中：Wmn(x,y)為對(duì)質(zhì)量歸一化的第(m,n)階振型函數(shù)，Tmn(t)為相應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)函數(shù)。

將式(12)代入式(6)，并在方程兩端同時(shí)乘Wηε(x,y)，再對(duì)x從零到a積分，對(duì)y從零到b積分，假設(shè)阻尼在模態(tài)變換中可對(duì)角化并令2ωηεζηε=c，可得：

(13)

若η為1…nq，ε為1…mq，則方程(13)可寫成矩陣形式：

(14)

(15)

(16)

(17)

C(t)=Cd+Cu

(18)

其中：

Cd=2Diag[ζ11ω11…ζ1nqωmnζ21ω21…

ζ2nω2nqζmq1ωmq1…ζmqnqωmqnq]

(19)

Cu=

(20)

K(t)=Kd+Ku

(21)

Kd=

(22)

Ku=

(23)

Q(t)=[W11…W1nqW21…

W2nqWmq1…Wmqnq]T×

(24)

(25)

2不同邊界條件下板振型求解方法

根據(jù)上述動(dòng)力學(xué)方程的分析可知，求解矩形薄板的動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，需要求解板的各階振型函數(shù)，即求解式(12)。本文以四邊簡(jiǎn)支矩形薄板和對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊自由的矩形薄板作為例，給出了相應(yīng)的各階振型函數(shù)求解方法：

(1) 四邊簡(jiǎn)支板(SSSS)

四邊簡(jiǎn)支板的振型邊界條件[17]：

(27)

(28)

滿足式(27)和(28)的振型解可直接用雙三角函數(shù)來(lái)表示：

(29)

相應(yīng)的第(m,n)階固有頻率ωmn可表示為：

(30)

其中：

(31)

(2) 對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊自由板(SSFF)

平行于x軸兩邊為自由邊界情況下，振型邊界條件為[17]：

(32)

(33)

相應(yīng)的第(m,n)階固有頻率ωmn可由下式得到：

(34)

相應(yīng)的振型函數(shù)為：

(35)

其中：

αmn=

β1m,β2m為滿足振動(dòng)微分方程的特征方程的特征根：

(37)

(38)

平行于x軸兩邊為自由邊界情況下，振型邊界條件為[17]：

(39)

(40)

相應(yīng)的第(m,n)階固有頻率ωmn可由下式得到：

2β1mβ2m(cosβ1mbchβ2mb-1)=0

(41)

相應(yīng)的振型函數(shù)為：

Wmn(x,y)=[(β2mnsinβ1mny-β1mnshβ2mny)+

(42)

其中：

(43)

(4) 四邊固支板(CCCC)

對(duì)于四邊固支板可采用梁函數(shù)法，振型解可表示為[18]：

Wmn(x,y)=Xm(x)Yn(y)

(44)

式中：

Xm(x)=A1msinαmx+A2mcosαmx+

A3mshαmx+A4mchαmx

(45)

Yn(y)=B1nsinβny+B2ncosβny+

B3nshβny+B4nchβny

(46)

相應(yīng)的第(m,n)階固有頻率ωmn可由下式得到:

(47)

其中：

A1m=-A3m=1,

(48)

(49)

其中參數(shù)αm,βn可由固支梁彎曲振動(dòng)特征方程得到：

cosλchλ-1=0

(50)

其中：

λ=aαm或bβn

(51)

3微分求積算法(DQM)

設(shè)f(ti)為一任意微分方程的解，選取非均勻網(wǎng)點(diǎn)m個(gè)，網(wǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為：

(52)

其中tT所求的時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度。

(53)

(54)

其中:Aij和Bij分別為一階導(dǎo)數(shù)加權(quán)系數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)加權(quán)系數(shù)。

可利用Lagrange插值函數(shù)得到一階導(dǎo)數(shù)加權(quán)系數(shù)：

其中：

(56)

二階導(dǎo)數(shù)加權(quán)系數(shù)為：

4微分求積(DQM)近似解

采用DQM法解方程(14)，本文選取非均勻網(wǎng)點(diǎn)N個(gè)，網(wǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為：

i=1,2,…,N

(58)

其中:b/v是時(shí)間跨度，模態(tài)坐標(biāo)函數(shù)Tmn(t)的一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)為：

l=1,2,…,nq

(59)

在任意網(wǎng)點(diǎn)處的模態(tài)坐標(biāo)函數(shù)為：

[K(ti)]{T(ti)}={Q(ti)},

i=1,2,…,N

(60)

其中：

(61)

(62)

方程(61)和(62)的級(jí)數(shù)形式可分別寫為：

(63)

(64)

將式(63)和(64)代入式(60)可得：

[K(ti)]{T(ti)}={Q(ti)},

i=1,2,…,N

(65)

根據(jù)以上分析，式(65)可寫為如下形式：

(66)

其中：

式(66)可簡(jiǎn)化如下：

(68)

5微分求積(DQM)初始條件及方程組求解

給出式(68)的初始條件為：

{T(ti)}={T(0)}={T0}

(69)

(70)

根據(jù)式(69), 式(70)可寫為：

(71)

將方程(69)和(71)代入方程(68)可得：

(72)

(73)

(74)

(75)

根據(jù)以上公式，即可求得式(73)中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)值。

6數(shù)值算例與分析

算例1采用本文所提方法計(jì)算四邊簡(jiǎn)支各向同性板在8.894 N的移動(dòng)荷載下的DMF(Dynamic Magnification Factor)指數(shù)，DMF表示矩形薄板的最大中心動(dòng)力撓度與最大中心靜力撓度之比，然后與已有參考文獻(xiàn)[15-16,18]的結(jié)果做了對(duì)比。臨界速度為SP=vcr=1表示移動(dòng)荷載以板為一階頻率自振周期的時(shí)間通過板的速度。板的參數(shù)如下：板長(zhǎng)寬a=b=0.101 6 m，板厚h=0.002 54 m，e=b/2，彈性模量E=2.068 4e11 Pa，密度ρ=10 695.790 2 kg/m3，泊松比μ=0.3，選取非均勻網(wǎng)點(diǎn)個(gè)數(shù)N=40。

表1　在移動(dòng)荷載作用下板的DMF

算例2設(shè)板的參數(shù)如下：板的長(zhǎng)度a=24 m，寬度b=8 m，板厚h=1 m，彈性模量E=50 GPa，密度ρ=2 400 kg/m3，泊松比μ=0.3，動(dòng)質(zhì)量塊系數(shù)λ=M/ρa(bǔ)bh，聲頻率用sf表示，臨界速度vcr=af，其中f為

板的一階頻率。

圖2～圖11均為對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊自由(SSFF)板。圖2給出基于DQM算法與Runge-Kutta算法得到的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線對(duì)比圖。Wdc為移動(dòng)質(zhì)量塊引起的板中心撓度，Wsc為相對(duì)應(yīng)靜力荷載作用在板中心時(shí)引起的板中心撓度。為了能夠清楚地反映質(zhì)量塊經(jīng)過板時(shí)，給予板的振動(dòng)能量。當(dāng)vt/a(質(zhì)量塊位置/板跨度)小于1時(shí)表示質(zhì)量塊未離開板，當(dāng)vt/a大于1時(shí)表示質(zhì)量塊滑出了板的邊界，此時(shí)對(duì)應(yīng)于板的自由振動(dòng)，主要是為了分析一個(gè)板的振動(dòng)全過程。從圖中可以看出，當(dāng)取樣點(diǎn)數(shù)較多，如N=40時(shí)，DQM算法與Runge-Kutta算法均可取得較好的精度；當(dāng)取樣點(diǎn)數(shù)降低時(shí)，相比Runge-Kutta算法，基于DQM算法求解得到的動(dòng)態(tài)響應(yīng)值精度較高，亦采用DQM算法可大大減少計(jì)算量，原因在于Runge-Kutta算法采用均勻取樣點(diǎn)，DQM算法則采用非均勻取樣點(diǎn)。鑒于此，為減少計(jì)算代價(jià)，應(yīng)優(yōu)先考慮DQM算法。

圖2 不同求解方法下板的中心撓度隨質(zhì)量塊位置變化圖(λ=0.01,ξ=0,Q=0,e=4,v=vcr)Fig.2Thedeflectionoftheplatefordifferentsolvingmethodsundermovingmass圖3 在不同聲壓作用下板的中心撓度隨質(zhì)量塊位置變化圖(λ=0.01,ξ=0,e=4,v=vcr)Fig.3Thecentredeflectionofplatewithdifferentsoundpressureversusmassposition圖4 不同移動(dòng)速度下板的中心撓度隨質(zhì)量塊位置變化圖(λ=0.01,ξ=0,Q=0,e=4)Fig.4Thecentredeflectionofplatefordifferentmovingspeedsversusmassposition

圖5 板在質(zhì)量塊和移動(dòng)荷載作用下板的中心撓度隨質(zhì)量塊位置變化曲線(ξ=0,Q=0,e=4,v=vcr)Fig.5Thecentredeflectionofplatefordifferentmassparametersversusmasspositionundermovingmassormovingload圖6 板在質(zhì)量塊和移動(dòng)荷載速度不同時(shí)板中心撓度隨質(zhì)量塊位置變化曲線(λ=0.01,ξ=0,Q=0,e=4)Fig.6Thecentredeflectionofplatefordifferentmovingspeedsversusmasspositionundermovingmassormovingload圖7 板的DMF在不同質(zhì)量塊作用下隨速度變化曲線(ξ=0,Q=0,e=4)Fig.7TheDMFofplatefordifferentmassparametersversusmovingspeed

圖3給出不同聲壓時(shí)，矩形薄板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)值隨質(zhì)量塊的位置變化曲線。從圖中可以看出，質(zhì)量塊位置一定時(shí)，隨著聲壓的增大，板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線不斷上移，即板的撓度不斷增大。

圖4表示質(zhì)量塊在不同移動(dòng)速度時(shí)，矩形薄板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)值隨質(zhì)量塊位置變化曲線。從圖中可以看出, 質(zhì)量塊位置一定時(shí)，隨著速度的不斷增加，動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線幅值變化明顯，且最大響應(yīng)值不斷增大，曲線亦越平滑。

圖5給出矩形薄板在質(zhì)量塊和移動(dòng)荷載作用下，動(dòng)態(tài)響應(yīng)值隨質(zhì)量塊位置變化曲線。從圖中可以看出，相比移動(dòng)荷載而言，由于板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)受動(dòng)質(zhì)量塊慣性的影響，板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)峰值增加，可見動(dòng)質(zhì)量塊的慣性是影響曲線變化的因素之一，隨著動(dòng)質(zhì)量塊系數(shù)的不斷增大，曲線的峰值的絕對(duì)值不斷上移，即峰值不斷增加。

圖6給出矩形薄板在質(zhì)量塊和移動(dòng)荷載速度不同時(shí)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)值隨質(zhì)量塊位置變化曲線。從圖中可以看出，隨著質(zhì)量塊移動(dòng)速度的增加，板的中心撓度曲線變的越來(lái)越平滑，隨著速度的增加，板動(dòng)態(tài)響應(yīng)幅值越來(lái)越大。質(zhì)量越大，質(zhì)量塊的慣性作用對(duì)板的影響越大。當(dāng)動(dòng)質(zhì)量塊移動(dòng)速度較大時(shí)，曲線的峰值亦較大。

圖7給出矩形薄板在不同質(zhì)量塊作用時(shí)，DMF值隨速度變化曲線。從圖中可以看出，隨著質(zhì)量塊移動(dòng)速度的增加，板的DMF值越來(lái)越大，當(dāng)速度達(dá)到一定值時(shí)，DMF值達(dá)到最大，即DMF出現(xiàn)峰值，繼而隨著速度再次增大時(shí)，DMF從峰值開始下降。 隨著動(dòng)質(zhì)量塊系數(shù)λ的增大，DMF曲線不斷上移，表明隨質(zhì)量塊質(zhì)量的增加質(zhì)量塊慣性對(duì)板的DMF影響越大。

圖8給出矩形薄板在不同阻尼作用時(shí)，DMF值隨速度變化曲線。從圖中可以看出，隨著速度的增加，板的DMF值越來(lái)越大，當(dāng)速度達(dá)到一定值時(shí)，DMF值達(dá)到最大，即DMF出現(xiàn)峰值，繼而隨著速度再次增大時(shí)，DMF從峰值開始下降。因?yàn)樽枘崃Φ姆较蚩偸桥c板運(yùn)動(dòng)的方向相反，所以隨著阻尼比系數(shù)ξ的增大，DMF曲線不斷下移，表明質(zhì)量塊的阻尼比系數(shù)對(duì)板的DMF影響越大。

圖9給出矩形薄板在不同聲壓幅值作用時(shí)，DMF值隨質(zhì)量塊位置變化曲線。從圖中可以看出，當(dāng)質(zhì)量塊位置的不斷增加，但小于0.5時(shí)，DMF值曲線會(huì)出現(xiàn)不規(guī)則趨勢(shì)，這是由于質(zhì)量塊低速運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過板的時(shí)間較長(zhǎng)，受聲源影響時(shí)間較長(zhǎng)，受聲壓影響較大，導(dǎo)致和動(dòng)質(zhì)量塊共同作用在板上時(shí)使板的動(dòng)態(tài)響應(yīng)DMF曲線發(fā)生不規(guī)則變化，當(dāng)動(dòng)質(zhì)量塊移動(dòng)速度不斷增大時(shí)，聲激勵(lì)作為外部激勵(lì)與質(zhì)量塊共同作用的時(shí)間較短，作用在板上得到的動(dòng)態(tài)響應(yīng)DMF曲線則會(huì)出現(xiàn)規(guī)則變化。另外聲源激勵(lì)對(duì)質(zhì)量塊移動(dòng)產(chǎn)生了一定的影響，這在后續(xù)工作是研究的熱點(diǎn)，后續(xù)工作可考慮外部激勵(lì)與動(dòng)質(zhì)量塊的協(xié)同耦合相關(guān)作用。隨著聲壓幅值Q的增大，DMF曲線不斷上移，表明聲壓幅值Q對(duì)板的DMF影響越大，出現(xiàn)這種情況的原因在于聲壓大，在板上的壓力就越大，進(jìn)而增加了板的撓度。

圖10給出矩形薄板在不同聲壓頻率作用時(shí)，DMF值隨質(zhì)量塊移動(dòng)速度變化曲線。從圖中可以看出，在速度小于0.5倍的臨界速度時(shí)，當(dāng)聲壓的頻率等于板的一階自振頻率時(shí)，聲壓與板產(chǎn)生共振作用，聲壓對(duì)板的DMF影響顯著，當(dāng)質(zhì)量塊速度大于0.6倍的臨界速度時(shí)，由于速度增大質(zhì)量塊在板上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間減少，共振對(duì)板的影響時(shí)間變短，所以對(duì)板的DMF影響相對(duì)減小。當(dāng)速度增加，聲壓頻率越小板DMF影響越大。以上分析表明考慮動(dòng)質(zhì)量塊和聲激勵(lì)共同作用具有重要的研究意義。

圖8 不同阻尼作用下板的DMF隨速度變化曲線(λ=0.01,Q=0,e=4)Fig.8TheDMFofplatefordifferentdampingparametersversusmovingspeed圖9 不同聲壓幅值作用下板的DMF隨質(zhì)量塊速度變化曲線(λ=0.01,Q=0,e=4,sf=0.5f)Fig.9TheDMFofplatefordifferentsoundpressureversusmovingspeed圖10 不同聲壓頻率作用下板的DMF隨速度變化曲線(λ=0.01,ξ=0,Q=1000,e=4)Fig.10TheDMFofplatefordifferentsoundexcitingfrequencyversusmovingspeed

圖11 不同阻尼作用下板的最大中心加速度隨速度變化曲線(λ=0.01,Q=0,e=4)Fig.11Themaximumcenteraccelerationofplatefordifferentdampingparametersversusmovingspeed圖12 不同邊界條件板的DMF隨移動(dòng)速度(vcr為相應(yīng)邊界條件極限速度)變化曲線(λ=0.01,Q=0,e=4)Fig.12TheDMFofplatewithdifferentboundaryplatesvarieswithspeed(vcrisrelativecriticalspeed)圖13 不同邊界條件板的DMF隨移動(dòng)速度(vcr(CCCC)為四邊固支板極限速度)變化曲線(λ=0.01,Q=0,e=4)Fig.13TheDMFofplatewithdifferentboundaryplatesvarieswithspeed(vcr(CCCC)isthecriticalspeedofallclampedplate)

圖11給出不同阻尼作用下，矩形薄板的最大中心加速度隨速度變化曲線。從圖中可以看出動(dòng)質(zhì)量塊速度在0.7和0.9的臨界速度時(shí)，阻尼對(duì)板的DMF影響顯著, 板的振動(dòng)幅值受到外界激勵(lì)力的頻率影響和阻尼率的影響較大，出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因在于阻尼力的方向與板運(yùn)動(dòng)方向相反，故阻尼越大，在到達(dá)某一速度時(shí)，矩形薄板的最大中心加速度受到阻尼率的影響極為顯著，故在那一速度時(shí)，板的最大加速度有顯著的變化。當(dāng)超越那一臨界速度時(shí)阻尼率的影響又逐漸變?nèi)酢?/p>

7結(jié)論

本文針對(duì)不同邊界條件下各向同性矩形薄板振動(dòng)研究過程中忽略質(zhì)量塊慣性和聲源激勵(lì)對(duì)板的相互作用，提出了基于動(dòng)質(zhì)量塊和聲激勵(lì)共同作用的各向同性矩形薄板動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。該方法采用Kroneckeδ函數(shù)描述動(dòng)質(zhì)量塊的位置及其與板的相互作用，同時(shí)考慮單極子聲源作為外部激勵(lì)，建立了動(dòng)質(zhì)量塊和聲激勵(lì)協(xié)同作用的運(yùn)動(dòng)微分方程。基于微分求積法，求解動(dòng)態(tài)響應(yīng)值，并通過不同邊界條件下的算例驗(yàn)證了本文所提方法的可行性，得到如下結(jié)論：

(1) 相比Runge-Kutta算法，取樣較少時(shí)，DQM算法計(jì)算量小，可以用權(quán)重系數(shù)表示高階導(dǎo)數(shù)，得到的動(dòng)態(tài)響應(yīng)值DMF精度更高，且數(shù)學(xué)原理簡(jiǎn)單，可操作性強(qiáng)，易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)施，精度較高，是一種有效的數(shù)值計(jì)算方法。

(2) 采用微分求積法計(jì)算板在移動(dòng)荷載用下板的DMF，并與現(xiàn)有文獻(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比，用于保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

(3) 當(dāng)同時(shí)考慮動(dòng)質(zhì)量塊和聲源激勵(lì)對(duì)矩形薄板的作用時(shí)，質(zhì)量塊速度，板的阻尼，聲壓幅值，聲壓頻率，質(zhì)量塊質(zhì)量均對(duì)矩形薄板動(dòng)態(tài)響應(yīng)DMF值有著非常明顯的影響。

(4) 當(dāng)同一質(zhì)量塊通過不同邊界條件的板時(shí)，對(duì)于自振頻率較小的板，其相對(duì)應(yīng)的臨界速度亦較小，其實(shí)際撓度值較大。反之，對(duì)于自振頻率較大的板，其相對(duì)應(yīng)的臨界速度亦較大，其實(shí)際撓度值較小。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 肖新標(biāo), 沈火明. 移動(dòng)荷載作用下的橋梁振動(dòng)及其TMD控制[J]. 振動(dòng)與沖擊,2005, 24(2): 58-62.

XIAO Xin-biao, SHEN Huo-ming. Vibration and the TMD control of bridges under moving loads[J]. Journal of Vibration and Shock, 2005, 24(2): 58-62.

[2] 劉維寧，張昀青. 軌道結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載作用下的周期解析解[J]. 工程力學(xué), 2004, 21(5):100-103.

LIU Wei-ning, ZHANG Yun-qing. A periodic analytical solution of railway track structure under moving loads[J]. Engineering Mechanics, 2004, 21(5):100-103.

[3] 王少欽, 夏禾, 郭薇薇, 等. 變速移動(dòng)荷載作用下簡(jiǎn)支梁橋的動(dòng)力響應(yīng)及共振分析[J]. 振動(dòng)與沖擊,2010,29(2): 26-32.

WANG Shao-qin, XIA He, GUO Wei-wei, et al. Dynamic response and resonance analyses for a simply-supported bridge under speed-varying loads[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(2): 26-32.

[4] Wu J S, Lee M L, Lai T S. The dynamic analysis of a flat plate under a moving load by the finite element method [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1996, 193(1): 307-314.

[5] Raske T F, Schlack A L. Dynamic response of plates due to moving loads [J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1967, 42(3):625-635.

[6] Fryba L. Vibration of Solids and Structures under Moving Loads[M]. London: Thomas Telford Publishing,1972.

[7] Shadnam M R, Mofid M, Akin J E. On the dynamic response of rectangular plate with moving mass [J]. Thin-Walled Structures, 2001, 39(9):797-806.

[8] Nikkhoo A, Rofooei F R. Parametric study of the dynamic response of thin rectangular plates traversed by a moving mass [J]. Acta Mechanica, 2012, 223(1): 15-27.

[9] Uzal E, Sakman, L E. Dynamic response of a circular plate to a moving load [J]. Acta Mechanica, 2010, 210 (3/4):351-359.

[10] Vaseghi A J, Mehri B. A new orthonormal polynomial series expansion method in vibration analysis of thin beams with non-uniform thickness [J]. Applied Mathematical Modelling, 2013, 37(18/19):8543-8556.

[11] Humar J L, Kashif A H. Dynamic response analysis of slab-type bridges[J].Journal of Structural Engineering, 1995, 121(1): 48-62.

[12] Wang R T, Kuo N Y. Nonlinear vibration of Mindlin plate subjected to moving forces including the effect of weight of the plate[J]. Structural Engineering and Mechanics,1999,8(2): 151-164.

[13] Miha P, Gregor C, Miha B. Structural-acoustic model of a rectangular plate-cavity system with an attached distributed mass and internal sound source: Theory and experiment [J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(7): 2003-2018.

[14] Gbadeyan J A, Dada M S. A comparison of dynamic responses of three versions of moving load problem involving elastic rectangular plates [J]. Journal of Vibration and Control, 2010, 17(6): 903-915.

[15] Kinsler L E. Fundamentals of Acoustics[M].New York: Wiley,1982.

[16] Reynolds D D. Engineering Principles of Acoustics, Noise and Vibration Control [M]. Boston: Allyn and Bacon Inc.

[17] 曹志遠(yuǎn). 板殼振動(dòng)理論[M].北京：中國(guó)鐵道出版社,1986.

[18] Au F T K, Wang M F. Sound radiation from forced vibration of rectangular orthotropic plates under moving loads [J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 281(3/4/5): 1057-1075.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金 (11172234) 資助

收稿日期：2014-09-12修改稿收到日期：2015-01-07

通信作者秦衛(wèi)陽(yáng) 男，教授,博士生導(dǎo)師，1967年4月生

中圖分類號(hào):O321

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.022

Dynamic responses of thin rectangular isotropic plates under actions of moving mass and acoustic excitation

ZHOU Zhi-yong, QIN Wei-yang

(School of Mechanics, Civil & Architecture, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

Abstract:Aiming at that in the past studies the effects of mass inertia and sound source excitation on dynamic responses of a plate were ignored, here the differential equations of motion for a plate under action of moving mass and sound source excitation were established using Hamilton’s principle and kronecke δ function. The differential equations of motion were decoupled using the modal transformation, then they were solved with the differential quadrature method (DQM). The numerical results showed that DQM has a higher accuracy for the dynamic responses of the plate than Runge-Kutta algorithm does when the number of grid points is small; the moving mass, moving speed, damping, and acoustic excitation frequency and intensity have significant impacts on the dynamic responses of the plate.

Key words:dynamic response; boundary conditions; moving mass; DQM

第一作者 周志勇 男，博士生，1986年9月生