基于DFM/FEM鋁蜂窩夾層結構耦合損耗因子預測

孔憲仁, 王英誠 ， 張紅亮

(1. 哈爾濱工業大學 衛星技術研究所，哈爾濱　150080；2. 北京強度環境研究所，北京　100076；3.中國空間技術研究院 航天東方紅衛星有限公司，北京　100010)

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基于DFM/FEM鋁蜂窩夾層結構耦合損耗因子預測

孔憲仁1, 王英誠2， 張紅亮3

(1. 哈爾濱工業大學 衛星技術研究所，哈爾濱150080；2. 北京強度環境研究所，北京100076；3.中國空間技術研究院 航天東方紅衛星有限公司，北京100010)

摘要：在使用統計能量分析對復雜的蜂窩夾層結構進行高頻動力學響應預示的關鍵環節之一在于準確估算耦合損耗因子。研究應用對偶模態/有限元法(DFM/FEM)估算鋁蜂窩夾層結構之間的耦合損耗因子，通過算例對該方法進行仿真驗證，結果表明，該方法可行且高效準確。最后對L型耦合鋁蜂窩夾層板結構進行振動實驗，并使用功率輸入法辨識試件間的耦合損耗因子，比較功率輸入和和對偶模態/有限元法結果，兩者一致性好，進一步驗證了對偶模態/有限元法估算鋁蜂窩夾層板系統耦合損耗因子的可行性，擴展了統計能量分析在復雜結構上的應用。

關鍵詞：統計能量分析；對偶模態法；耦合損耗因子；鋁蜂窩夾層板

應用統計能量分析(SEA)對復雜結構進行高頻動力學響應預示時，關鍵在于確定統計能量分析參數，特別是準確估算出結構間的耦合損耗因子(CLF)。目前，對于絕大多數工業結構而言，CLF往往通過實驗辨識。在實驗統計能量分析方面，最為經典的無疑是功率輸入法(PIM)，許多學者對其進行了研究與驗證，其中，Bies等[1]利用功率輸入法實驗估計了兩塊耦合的板結構的損耗因子矩陣，并對隨機選擇的激振點數目對輸入功率的影響進行了深入的研究。Lalor[2]對PIM的能量矩陣的組裝方式進行了改進，將耦合損耗因子和內損耗因子分離求解，以實現對計算的簡化，并且在一定程度上提高了估算精度。雖然PIM已經得到廣泛的認可，但其要求實體的結構，步驟繁瑣，隨著子系統數量的增加容易出現病體矩陣等問題，對于講究高效迅速的今天，難以滿足在產品設計初期進行結構動力學高頻環境預示的要求。

蜂窩夾層結構由較薄的面板與較厚的芯子膠接而成。在彎曲荷載作用下，面板主要承擔拉壓應力，蜂窩芯主要承擔剪切應力，因其具有極高的剛質比、抗失穩能力強、耐疲勞以及隔熱等諸多優點被廣泛用于航天航空領域[3]。目前，蜂窩夾層結構的模態密度已經具有理論公式[4-6]。對于阻尼損耗因子而言，雖然阻尼機制復雜，但在以往試驗結果和理論分析對比的基礎上逐漸對阻尼的分布也有了定性的認識[7]。而準確估算出蜂窩夾層結構之間的CLF仍舊非常困難。因此，尋找新的估算在設計初期準確估算出鋁蜂窩夾層板結構間的CLF的方法對于擴展SEA在航天航空領域的應用來說意義重大。

基于上述介紹，本文提出應用對偶模態法/有限元(DFM/FEM)估算鋁蜂窩夾層板結構間的CLF。首先，給出對偶模態法的理論推導。其次，通過數值仿真驗證該方法的正確性。最后，對L型鋁蜂窩板耦合結構進行振動實驗，對比分析實驗和DFM/FEM的辨識結果。

1統計能量分析

統計能量分析(SEA)始于在20世紀60年代[8]，用于計算耦合的子系統之間的功率流傳遞。如圖1所示，假定功率Piin輸入至一個子系統i時，只能通過子系統i耗散或傳遞給耦合的子系統j。功率流平衡等式為：

Piin=Pidiss+Pij

(1)

耗散功率和傳遞功率可以使用子系統能量Ei來表示。

(2)

式中:Piin是子系統i的輸入功率，ηi為子系統i的阻尼損耗因子，ηij是子系統i和子系統j之間的耦合損耗因子，ωc是分析帶寬的中心角頻率。耦合損耗因子滿足互易性關系：

niηij=njηji

(3)

式中:ni和nj分別為子系統i和j的模態密度。

圖1　二子系統SEA模型Fig.1 Two-Subsystem SEA Model

2對偶模態法

2.1基本原理

對偶模態法最初由Maxit等[9-10]提出，該方法基于一組應力位移對偶模態方程，通過非標準的模態擴展，利解耦子系統的模態去描述解耦子系統的自由振動。如圖2所示，對耦合的二子系統SEA模型進行解耦分析，其中一個子系統的耦合邊界面受檔，它的響應通過應力模態振型表示。另外一個子系統耦合邊界面自由，它的響應通過位移模態振型表示。這時，子系統1和子系統2之間的模態功率流平衡方程可以寫成類似于SEA基本等式的形式：

(4)

圖2　對偶模態法原理Fig.2 Principle of dual formulation method

(5)

(6)

兩個子系統之間的功率流為模態與模態之間的功率流的總和，即：

(7)

根據模態能量均分假設：

(8)

由式(7)與式(8)可以得到：

(9)

其中:耦合損耗因子η12為：

(10)

(11)

式中：N1,N2為子系統分析帶寬的共振模態數。

3鋁蜂窩夾層板等效理論

蜂窩夾層結構動力學機制復雜，難以像均值板一樣推導出結構動力學方程，在早期的蜂窩復合夾層結構分析模型中，由于芯層相對于面板較軟，為了簡化計算，常常忽略芯層的面內剛度和彎曲剛度。如圖3所示，將蜂窩夾層等效為各向異性板，等效參數可以由式(12)得到。

(12)

圖3　蜂窩夾層結構Fig.3 Honeycomb sandwich construction

事實上，芯層相對于面板而言卻有較大的厚度，因此忽略其面內剛度和彎曲剛度必然會帶來不可忽視的誤差。

圖4　蜂窩夾層結構Fig.4 Honeycomb sandwich construction

如圖4所示，蜂窩胞元的變形為：

P=σ1(h+lsinθ)b

(13)

式中:b為壁板的寬度。

(14)

(15)

x,y方向上的等效應變：

(16)

等效泊松比：

(17)

X方向的楊氏模量：

(18)

圖5　蜂窩夾層結構Fig.5 Honeycomb sandwich construction

如圖5所示，蜂窩胞元的變形為：

(19)

斜壁板AB的撓度為：

(20)

斜壁板AB伸長量:

δ2=Wsinθl/(Esbt)

(21)

鉛直壁板BC的伸長量:

δ3=Wh/(Esbt)

(22)

x,y方向上的等效應變：

(23)

等效的泊松比:

(24)

y方向的楊氏模量

(25)

等效的橫向剪切模量:

(26)

蜂窩芯的等效密度為：

(27)

式中:ρs為蜂窩壁材料容重，ts蜂壁厚度，d,c為蜂窩格邊長，θ蜂窩壁內角的一半。

三明治夾芯板理論將蜂窩夾芯等效為正交各向異性的均勻連續結構，考慮了蜂窩芯子形狀對蜂窩夾層板整體性能的影響特性，使得這種等效理論更符合實際情況。對于正六邊形蜂窩芯，蜂窩芯的等效參數可以通過下式獲得[11]：

(28)

式中:γ是修正系數，一般取0.4～0.6，理論值取1。Es,Gs,ρs,μs分別代表蜂窩芯子的材料的彈性模量，剪切模量，密度以及泊松比。

4算例仿真

考慮兩塊鋁蜂窩夾層板組成L型耦合結構，其中蜂窩夾芯為正六邊，面板材料為鋁材，蜂窩芯為鋁箔，彈性模量為72 GPa，泊松比0.33，密度為2 700 kg/m3，蜂窩夾芯壁厚0.04 mm，壁長4 mm，其中，小板長1.5 m，寬1 m，面板厚度為0.5 mm，蜂窩芯層為8 mm。大板長為2.5 m，寬為1 m，面板厚度為0.5 mm，蜂窩芯層為24 mm，假設阻尼損耗因子均為η1=η2=0.04。

根據三明治夾心板等效理論，由式(28)可以得到蜂窩芯層的等效參數,示于表1。

表1　蜂窩芯等效參數

(29)

我們使用SEA數值實驗[12]和VA-one軟件的數值仿真結果作為對比驗證。其中，SEA數值實驗計算CLF的原理是通過有限元建模進行數值實驗，利用外部激勵作用下耦合子系統的能量比與耦合損耗因子之間的關系求得，屬于模態方法。VA-one估算鋁蜂窩夾層板之間的CLF是將蜂窩夾層結構進行等效后采用基于半無限子系統假設的波方法估算CLF。兩者均是估計耦合損耗因子的有效方法，但對于蜂窩夾層結構復雜，波方法在對其進行等效估算時誤差相對較大。

如圖6所示，為模擬模態不相關激勵，對小板隨機選取五個節點進行激勵，求各板在均方根為1的隨機力激勵作用下的響應。需要說明的是，使用有限元進行高頻動力學響應分析時，有限元網格必須足夠細密才能捕捉到高頻模態，一般來說，有限元網格應該小于波長的八分之一。即便如此，有限元分析結果仍舊會出現特征頻率和模態陣型漂移等問題，但誤差會隨著多個激振點平均而減小。

圖6　數值實驗示意圖Fig.6 sketch of numerical experiment

根據隨機振動理論可以得到隨機作用下得到子系統的均方能量響應。此時，兩個子系統的SEA功率流平衡方程為：

(30)

根據式(14)中的第二個式子可以得到：

(31)

式中:〈Ei〉是激勵作用下鋁蜂窩板i響應能量，n1,n2是三分之一倍頻內的模態密度。

鋁蜂窩夾層板的模態密度可以由Erickson[11]公式得到：

(32)

式中:a,b為蜂窩夾層板的長和寬，Ef,μ,tf,tc為蜂窩夾層板面板的彈性模量、泊松比、厚度以及蜂窩夾心層的厚度。m為整個蜂窩夾心板的單位面積質量，f為頻率。

(33)

(34)

(35)

(36)

假設小板為子系統1大板為子系統2，對模型分別使用三種方法進行仿真，仿真結果如圖7所示所示。對偶模態法、Va-one和SEA數值實驗三種方法的結果趨勢相同，子系統之間的耦合損耗因子隨著頻率的升高而減小，同時可以看出，DFMFEM法的估算值與SEA數值實驗的匹配度要好于Va-one的估算值與SEA數值實驗的匹配度，故可以證明DFMFEM法能夠更加準確地估算鋁蜂窩夾層板結構間的耦合損耗因子，并且相對于SEA數值實驗，該方法具有步驟簡單，計算量等優點。

圖7　耦合損耗因子Fig.7 Coupling loss factor

接下來，進一步探討對偶模態法是否適用于復雜蜂窩殼結構的情況。如圖8所示，一個半圓柱鋁蜂窩夾層殼體與一塊鋁蜂窩夾層殼體平板耦合連接，其中半圓柱的曲率半徑為1.5 m，高為3 m，蜂窩夾層總厚度為24 mm面板厚度為0.5 mm，面板的材料為鋁，蜂窩芯夾層材料為鋁箔。底板幾何形狀為半圓板，面板厚度為0.5 mm鋁板。蜂窩夾層厚度為14 mm，材料為鋁箔。蜂窩夾心的形狀均為正六邊形，蜂窩壁厚0.04 mm，蜂窩壁長4 mm。材料參數為：彈性模量為72 GPa，泊松比0.33，密度為2 700 kg/m3。

圖8　鋁蜂窩殼結構示意圖Fig.8 Illustration of aluminum honeycomb sandwich shell

對解耦子系統分別進行有限元分析，其中鋁蜂窩半圓柱殼體耦合邊界自由，提取位移模態振型。鋁蜂窩半圓板耦合邊界受檔，提取應力模態振型。使用對偶模態法對辨識該結構子系統之間的耦合損耗因子，結果圖9所示。

從結果可以看出，對偶模態法的估算值與Va-one的估算值在趨勢吻合且未出現較大誤差，數量級相同，整體上，兩種方法的估算結果在大于400 Hz時具有很好的一致性。η12均大于η21。鋁蜂窩殼(子系統2)的模態密度要大于鋁蜂窩板(子系統1)，根據互易性關系可知，η12在理論上應該大于η21，仿真結果合理。

故此，可以證明DFMFEM法可以正確地估算出更為復雜的蜂窩夾層板殼結構之間的耦合損耗因子，為對偶模態法在工程實際中的應用奠定了基礎。

圖9　耦合損耗因子Fig.9 Coupling loss factor

5實驗驗證

對L型鋁蜂窩板耦合結構的實驗模型進行振動實驗與分析，實驗試件如圖10所示。

圖10　實驗試件Fig.10 Structure for Experiment

試件由兩塊鋁蜂窩夾層板組成L型耦合結構，小板尺寸為120 mm×130 mm，上下面板厚度均為1 mm，中間夾層厚度為8 mm。大板的結構尺寸為120 mm×140 mm，上下面板厚度均為1 mm，中間夾層厚度為13 mm。公共邊處通過11個鐵角碼及對應的44個螺栓連接而成，面板為鋁質材料，兩塊板的蜂窩夾芯均為正六邊形鋁箔，蜂窩壁厚為0.06 mm，長為4 mm。材料屬性為：彈性模量E=7 200 MPa，密度為2.7×103kg·m-3、泊松比為0.33

實驗裝置如圖11所示，用到的設備包括激振器(JZQ50)、任意波形發生器(Agilent33250A)、加速度傳感器(333B30)，阻抗頭(288D01)，功率放大器(DH5801)以及數據采集系統(JAGUAR)組成。實驗現場如圖12所示。

圖11 實驗裝置示意圖Fig.11Sketchmapoftestsetup圖12 實驗照片Fig.12Photooftest

為得到較好的空間平均數據，每塊鋁蜂窩板隨機選擇5個激振點，小板隨機布置13個加速度測點，大板隨機布置15個加速度測點。測試時，將試件和激振器使用彈性繩懸掛起來，激振力由信號發生器中的隨機白噪聲信號經功率放大器作用后驅動激振器產生。

作為實驗驗證， 使用經典的功率輸入法作為實驗

辨識方法，實驗辨識需要的數據包括穩態激勵作用下各子系統的平均輸入功率和響應能量。其中單點輸入功率可以通過連接于激振器的阻抗頭所測量的力和加速度的互譜得到，理論公式[13]如式(37)所示，鋁蜂窩板的輸入功率由5點平均得到。

(37)

式中:F為激振力f(t)的傅里葉變換，Y為激勵點的點導納，Sfa(ω)為激振力和加速度的互譜密度。

振動能量分別由各蜂窩板的所有測點(激振點處除外)的估算值平均得到，公式如式(38)所示。

(38)

式中:Saa(ω)為加速度自功率譜密度。

將計算得到的振動能量對輸入功率進行歸一化平均，圖10為小板受到激振并進行平均處理后，中心頻率為315 Hz～3 125 Hz的連續三分之一倍頻程帶寬內兩塊鋁蜂窩板的平均能量。

使用對偶模態法辨識實驗試件之間的耦合損耗因子，在解耦分析中，小板耦合邊界受檔，大板耦合邊界條件自由，阻尼由實驗測得。實驗及DFMFEM法辨識計算分別在連續的三分之一倍頻程分析帶寬內進行，分析頻帶的中心頻率取315 Hz～4 000 Hz。實驗結果和仿真和仿真結果如圖14和圖15所示。

DFMFEM法的估計結果與實驗結果較低頻率域還是存在較大的誤差，究其原因，如圖16所示，在頻域較低時，鋁蜂窩夾層板的模態密度較低，模態數小于5，模態能量均分假設難以滿足，但這時SEA理論是否成立也需要進一步研究。由圖14和圖15可以看出，隨著頻率的升高，DFMFEM法的估算值與實驗結果吻合度越來越高，在頻率大于1 000 Hz的頻域內，兩者在個別頻帶內誤差有所增加，但并不明顯(小于3 db)。與此同時，DFMFEM法的估算結果與實驗結果的匹配度要好于VA-one仿真結果與實驗結果的匹配度。

圖13 穩態激勵時子系統歸一化平均能量Fig.13Normalizedaveragesofsubsystemenergiesundersteadystateexcitation圖14 耦合損耗因子Fig.14Couplinglossfactor圖15 耦合損耗因子Fig.15couplinglossfactor

圖16　三分之一倍頻程內板的模態數Fig.16 Number of modes of plates in third octive frequency band

6結論

由仿真和實驗結果可以得出：DFMFEM法能有效估算鋁蜂窩夾層板結構之間的CLF。與傳統的數值實驗方法相比，DFMFEM法更加簡單高效，不需要求解運動方程，僅需根據解耦蜂窩夾層結構耦合邊界節點上的振動模態振型便可直接估算出CLF。將該法預測的CLF與VA-one、AutoSEA2等統計能量分析軟件結合進行建模仿真，可以提高預示的精度和準確性，這對于擴展SEA在工程實際中的應用具有極其重要的意義，

本文的研究結果可以作為進一步DFMFEM法估算蜂窩夾層結構之間CLF的基礎，仍需要對更為復雜的結構進行研究和驗證。

參 考 文 獻

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收稿日期：2014-07-04修改稿收到日期：2015-09-06

通信作者王英誠 男，助理工程師，1989年生

中圖分類號:V416.2；TB533

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.021

Coupling loss factors estimation of aluminum honeycomb sandwich structures using DFM/FEM

KONG Xian-ren1, WANG Ying-cheng2, ZHANG Hong-liang3

(1. Research Institute of Satellite Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China; 2. Beijing Institute of Structure & Environment Engineering, Beijing 150080, China; 3. Aerospace Dongfanghong Satellite Co., LTD, China Aerospace Science and Space Technology Institute, Beijing 100010, China)

Abstract:The accurate estimate of coupling loss factor is one of key steps in a SEA prediction for high frequency dynamic responses of honeycomb sandwich structures. Here, coupling loss factors estimation of aluminum honeycomb sandwich structures was studied using the dual formulation method/finite element method (DFM/FEM). The numerical simulation results demonstrated that the proposed method is feasible and effective. The vibration tests on L-shaped aluminum honeycomb sandwich plates were conducted, and the power input method was used to identify the coupling loss factor among the tested plates. The results with the power input method agreed well with those using DFM/FEM. So, the coupling loss factors estimation of aluminum honeycomb sandwich structures using DFM/FEM was verified to be feasible. The method extended applications of SEA in complex structures.

Key words:statistical energy analysis (SEA); dual formulation method (DFM); coupling loss factor; aluminum honeycomb sandwich plates

第一作者 孔憲仁 男，博士，教授，博士生導師，1961年生