沖擊振動提取的優(yōu)化稀疏表征方法

秦　毅, 郭　磊, 吳宏鋼

(1.重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶　400044; 2. 重慶通信學(xué)院,重慶　400035)

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沖擊振動提取的優(yōu)化稀疏表征方法

秦毅1, 郭磊1, 吳宏鋼2

(1.重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶400044; 2. 重慶通信學(xué)院,重慶400035)

摘要：針對在背景噪聲及其他振動干擾下沖擊振動信號提取問題，提出了一種利用基追蹤實現(xiàn)沖擊振動優(yōu)化稀疏表征的方法。建立了沖擊振動提取的稀疏求解問題模型，設(shè)計了用于沖擊振動特征提取的變換基，并利用特征譜線在頻譜中所占能量比作為評價沖擊振動提取效果的指標(biāo)，實現(xiàn)了沖擊振動成分的優(yōu)化提取。將該方法用于仿真試驗和齒輪故障診斷，結(jié)果表明，與Morlet小波軟閾值方法相比，所提方法能更好地提取微弱周期性沖擊成分，具有很好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：稀疏求解；基追蹤；變換基；齒輪故障；特征提取

振動信號是機械設(shè)備在運行過程中的動力學(xué)外在表現(xiàn)形式，包含了豐富的狀態(tài)信息，對其分析處理是機械設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷的有效途徑。對于旋轉(zhuǎn)機械而言，在眾多的故障特征中，沖擊故障又占據(jù)了較高的比例。例如，當(dāng)滾動軸承或齒輪出現(xiàn)故障時，損傷點與其他部位的周期性碰撞會引發(fā)周期性沖擊振動信號。但由于復(fù)雜的機械設(shè)備和工作環(huán)境，沖擊振動常常淹沒在工頻振動、諧波振動和背景噪聲中。因此，研究如何提取沖擊振動的發(fā)生時刻和振蕩頻率對旋轉(zhuǎn)機械故障診斷意義重大。

針對沖擊故障振動的非平穩(wěn)性，學(xué)者們提出了時頻分析、小波變換、譜峭度濾波、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)等多種方法來提取沖擊特征[1-4]。Morlet小波[5]和Laplace小波[6]常被用于提取沖擊響應(yīng)成分，并通過引入小波熵來優(yōu)化小波基。李昌林等[7]將EEMD與Laplace小波相結(jié)合來提取多階模態(tài)的沖擊響應(yīng)。梁霖等[8]利用非線性流形學(xué)習(xí)方法來提取沖擊故障特征。李允公等[9]提出了周期序列變換來識別周期性沖擊響應(yīng)成分。以上方法在低噪聲的情況下，能準(zhǔn)確檢測出信號中的沖擊振動分量，但在噪聲較強的情況下，噪聲會對這些方法的有效性和檢測精度帶來很大干擾，因此有必要研究一種能在強噪聲背景下準(zhǔn)確提取沖擊振動分量的方法。

稀疏表征通過使用合適的基函數(shù)來最簡化表征信號，可以用于特征振動分量的提取。于是，本文提出基于稀疏求解的沖擊振動優(yōu)化提取方法，以解決在較強背景噪聲中沖擊特征的準(zhǔn)確識別問題。通過對仿真信號和齒輪故障振動信號進行試驗的結(jié)果驗證了該方法的有效性和先進性。

1信號稀疏求解問題

在信號分析中，通常希望將信號表示為多個特征向量的線性組合。而信號稀疏表征就是指找到一種簡潔的方式來表示信號，使得絕大部分變換系數(shù)的值接近于零或等于零，從而使得到的變換信號是稀疏或者近似稀疏的。

對于某一個信號，均可以用以下欠定方程(1)進行表示：

y=Ax

(1)

式中:A為M×N的變換矩陣，y為長度為M的向量，x為長度為N的向量，且N>M。顯然，該系統(tǒng)未知量的個數(shù)多于方程的個數(shù)，同時矩陣A的寬度大于其長度，當(dāng)假定AA*可逆時，則方程組有無窮解。因此，通常采用最小二乘法來求解該方程。為更好地表征信號，可以采用基追蹤方法(BP)。首先介紹范數(shù)l1和l2，其定義分別為式(2)和(3)所示：

(2)

(3)

于是可以通過使x的絕對值之和最小來求解式(1)，即求解以下優(yōu)化問題。

(4)

式(4)也即是著名的基追蹤(BP)問題。

對于傳統(tǒng)的最小二乘法，它是求取的平方和的最小值，相比求取絕對值的和最小值，其對信號中的較大值更加敏感，如圖1所示。因此，當(dāng)采用最小二乘法時，為保證平方和最小，需要取得少量的較大值，因為相比于小值，它們的影響更大，這樣，最后求取的信號中有更多的小值，也就造成了信號的不稀疏。相反，基于基追蹤降噪(BPD)的方法就不會包含很多較小值，從而會獲得更加稀疏的信號。

2沖擊特征的稀疏提取

由于機械設(shè)備的復(fù)雜性以及振動傳遞路徑的影響，從傳感器拾取的滾動軸承或齒輪振動信號不僅包括沖擊振動，而且包括噪聲和其他一些振動成分，如噪聲、部件本身的固有振動、加工誤差引起的振動等。于是，被測含有沖擊特征的振動信號y(n)可表示為

y(n)=x(n)+w(n)

(5)

式中:x(n)表示沖擊振動，w(n)表示噪聲和其他振動。通過選取合適的變換基A可以對沖擊振動x(n)進行稀疏表征，于是y(n)可重新表達為如下形式：

Y=Ac+w

(6)

式中:A代表變換基矩陣，c代表變換系數(shù)，Y代表含有沖擊特征的振動信號，w代表噪聲和其他振動。變換系數(shù)c可以通過基追蹤方法來計算，即求解以下問題：

(7)

為了提取沖擊故障，如何選取或設(shè)計相應(yīng)的變換基是需要解決的一個關(guān)鍵問題。首先假定用脈沖函數(shù)表示一個沖擊

p(t)=δ(t)

(8)

易知，其傅里葉變換為

P(f)=1

(9)

若取變換基矩陣A可以取為單位矩陣，即

A(i,j)=1

(10)

式中:i=1,2,…,N，j=1,2,…,N，N表示信號長度。由傅里葉反變換可知，可用變換矩陣中任一列向量表示相應(yīng)時刻的沖擊，即可用A中第j列向量來表征第j個時間點處的沖擊信號。因此，利用式(10)所示的變換基可以有效地提取到信號中所有時刻的沖擊成分。需要注意的是，雖然工程中的沖擊信號不是理想的脈沖函數(shù)，但仍能用脈沖函數(shù)進行近似表示。

3沖擊振動的優(yōu)化表征方法

3.1稀疏求解算法

本文需要解決的問題式(7)實際上屬于凸優(yōu)化問題，可以采用迭代閾值收縮算法(ISTA)、Split Bregman迭代算法和“分離變量的增廣拉格朗日收斂算法”(SALSA)進行求解[10]。其中，ISTA和Split Bregman迭代算法能夠保證在每次迭代后成本函數(shù)值的減小，但是它們具有收斂慢的缺點；而SALSA采用了分離變量和最小二乘求解方法，具有很好的收斂性和較快的計算速度。因此，本文采用SALSA算法來求解式(7)。

首先，在RN上定義兩個凸能量函數(shù)f1(x)和f2(x)，其中x為自變量，給出極小化模型：

(11)

為分離變量，引入中間變量v，并將v作為函數(shù)f2的自變量，這樣上式就轉(zhuǎn)化為以下約束問題：

s.t.x=v

(12)

顯然，該問題等價于問題式(11)。然后，利用以下增廣型拉格朗日模型求解：

L(x,λ,μ)=f1(x)+f2(v)+

(13)

式中:λ為拉格朗日乘數(shù)，μ≥0為懲罰參數(shù)。對于該增廣型拉格朗日模型，可以引入序列dk，進行迭代，從而達到不斷收斂的效果，迭代算法過程如下：

(xk+1,vk+1)∈argminf1(x)+f2(v)+

(14)

dk+1=dk-(xk+1-vk+1)

(15)

易知，式(7)能夠表示為式(11)，因此可以用SALSA算法求解式(7)。

3.2參數(shù)優(yōu)化

在式(7)給出的優(yōu)化問題中，參數(shù)λ的選取對于沖擊特征提取效果具有重要的影響。經(jīng)過試驗發(fā)現(xiàn)，若選擇較大的λ，不僅干擾信號大大衰減，而且沖擊振動也大大衰減；而若選擇較小的λ，沖擊振動可能仍然淹沒在其他干擾信號中。因此，可以通過選取合適的指標(biāo)函數(shù)，利用優(yōu)化方法確定合適的λ，以獲得最好的沖擊特征提取效果。

為確定評價指標(biāo)，首先考察周期沖擊振動信號波形及其頻譜。周期沖擊振動信號通常可定義為

式中:ξ=226.2，ωd=1 440π，Ak=1，T=0.6和t∈[0,4]。ξ主要是控制沖擊的支撐區(qū)間，即ξ越大衰減越快。假定采樣頻率為1 500 Hz，則該周期沖擊振動信號的時域波形和頻譜分別如圖1(a)和(b)所示。從圖1(b)可見，周期沖擊振動信號的頻譜是以沖擊頻率fp(fp=1/T)為周期的一系列譜線，其中沖擊頻率的一倍頻和二倍頻出譜線較大。因此，可以選擇這兩根譜線在頻譜中所占能量比作為評價沖擊振動提取效果的指標(biāo)。評價指標(biāo)可定義為

(17)

圖1　周期沖擊振動信號的時域波形和包絡(luò)譜Fig.1 The waveform and envelope spectrum of theperiodic impact vibration signal

式中:H(f)為h(t)的頻譜。從式(17)可以看出，若提取結(jié)果中還存在噪聲或諧波振動時，式(17)的分母會增大，從而使e減小，并且隨著噪聲或諧波振動能量的增加，評價指標(biāo)e會越來越小；另外，若沖擊振動的峰值減小，式(17)的分子會相對于分母減小更多，從而導(dǎo)致e減小。因此，該評價指標(biāo)可以衡量提取結(jié)果中沖擊振動成分的大小。需要注意的是，由于沖擊頻率未知，可以采用多次試驗統(tǒng)計的方法來初步確定fp。

綜合以上分析，本文提出的沖擊特征優(yōu)化提取算法如下：

(1) 依次為λ取多個值，如λ=5,6,…,20，然后分別通過式(7)提取沖擊振動，計算各沖擊振動的包絡(luò)譜，統(tǒng)計最大峰值頻率和次最大峰值頻率的出現(xiàn)次數(shù)，從中找到出現(xiàn)次數(shù)最多的兩個頻率，取其中值較小的為特征頻率fp。

(2) 設(shè)定λ的搜索范圍(如λ∈[1,20])及搜索步長(可取為0.5或1)。

(3) 分別在給定的λ下，提取沖擊振動，計算其包絡(luò)譜，然后按式(17)計算與各個λ對應(yīng)的評價指標(biāo)。

(4) 獲得與最大e對應(yīng)的參數(shù)λ，利用SALSA算法求解式(7)，得到優(yōu)化的沖擊振動提取結(jié)果。

4仿真分析

下面通過兩個具有不同噪聲的仿真信號對本文所提出方法的有效性進行驗證。

首先取一含有工頻振動、諧波振動、沖擊振動和低噪聲的仿真信號

s(t)=cos(2π×175t)+0.8cos(2π×350t)+

0.6cos(2π×700t)+h(t)+n(t)

(18)

式中:h(t)由式(16)定義，n(t)是標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的白噪聲。假定采樣頻率仍為1 500 Hz，則該仿真信號的時域波形如圖2所示。利用本文所提出的方法去提取沖擊振動，所得沖擊振動信號及其包絡(luò)譜分別如圖3和4所示。在圖3中，我們可以清楚地看到?jīng)_擊振動的時間間隔T等于0.467 s，而從它的包絡(luò)譜中可以知道沖擊頻率為2.143 Hz。可見，本文方法能有效地檢測出沖擊振動信號。評價指標(biāo)e與參數(shù)λ的關(guān)系曲線如圖5所示。從圖5中可見，通過該評價指標(biāo)曲線的極大值點容易找到優(yōu)化的參數(shù)λ，此時極大值點對應(yīng)的λ和e分別為0.1和12.5。

為了檢驗本文方法在較強噪聲背景下的性能，取噪聲更大的仿真信號進行試驗。于是，本文將式(18)中的n(t)變成標(biāo)準(zhǔn)差為0.35的白噪聲，則仿真信號的時域波形如圖6所示。比較圖2和圖6可見，此時的沖擊信號已被噪聲所淹沒，已經(jīng)很難判斷信號中是否有沖擊成分。因此，可以利用本文方法去提取沖擊成分，所得結(jié)果如圖7所示。圖中T表示沖擊間隔。此時的最優(yōu)參數(shù)λ及其對應(yīng)的評價指標(biāo)e分別為0.01和18。從圖7中可見，本文方法成功從較強背景噪聲中提取出沖擊振動。該沖擊振動的包絡(luò)譜如圖8所示。從圖8中可以準(zhǔn)確知道沖擊頻率。另外，為了突出本文方法的優(yōu)勢，將基于小波熵優(yōu)化的Morlet小波軟閾值方法[11]用于對比分析，所得結(jié)果及其包絡(luò)譜分別如圖9和10所示。從圖9中可見，利用Morlet小波軟閾值方法檢測的結(jié)果受噪聲干擾較大，且提取到的明顯的等周期沖擊個數(shù)較少。進一步比較圖8和10可知，本文方法所得包絡(luò)譜在特征頻率及其倍頻處的譜線更加明顯，且等間隔譜線條數(shù)越多。因此，本文提出的優(yōu)化稀疏表征方法的效果優(yōu)于Morlet小波軟閾值方法。

圖2 低噪聲仿真信號時域波形Fig.2Thewaveformofsimulatedsignalwithlownoise圖3 低噪聲仿真信號提取結(jié)果Fig.3Theextractionresultofsimulatedsignalwithlownoise圖4 低噪聲仿真信號提取結(jié)果的包絡(luò)譜Fig.4Theenvelopespectrumoftheextractionresultofsimulatedsignalwithlownoise

圖5 評價指標(biāo)e與參數(shù)λ的關(guān)系曲線Fig.5Therelationcurvebetweenevaluationindexeandparameterλ圖6 強噪聲仿真信號時域波形Fig.6Thewaveformofsimulatedsignalwithstrongnoise圖7 本文方法提取結(jié)果Fig.7Theresultobtainedbytheproposedmethod

圖8 本文方法提取結(jié)果的包絡(luò)譜Fig.8Theenvelopespectrumofresultobtainedbytheproposedmethod圖9 Morlet小波軟閾值方法提取結(jié)果Fig.9Theresultobtainedbythesoft-thresholdingmethodbasedonMorletwavelet圖10 Morlet小波軟閾值方法提取結(jié)果的包絡(luò)譜Fig.10Theenvelopespectrumofresultobtainedbythesoft-thresholdingmethodbasedonMorletwavelet

5在機械故障診斷中的應(yīng)用

當(dāng)機械設(shè)備運轉(zhuǎn)時，若齒輪發(fā)生了剝落、點蝕、裂紋等局部損傷故障，會使齒輪在運行過程中發(fā)生局部沖擊現(xiàn)象，而這些沖擊往往包含在它們的振動信號中。于是，從拾取的振動信號中檢測這些沖擊成分就成為診斷齒輪故障的一個重要技術(shù)手段。但齒輪振動故障特征往往受到其他振動和噪聲的干擾，因此可以將本文所提方法用于齒輪沖擊故障特征提取。

在齒輪故障實驗臺上進行了相關(guān)實驗。選取一主動輪發(fā)生了裂紋故障的單級齒輪箱進行試驗，其中主動輪和從動輪齒數(shù)分別為28和36。試驗中設(shè)定輸入軸轉(zhuǎn)速為1 230 r/min，即轉(zhuǎn)頻fr為20.5 Hz，然后利用PCB加速度計采集振動信號，其中采樣頻率為4 096 Hz。采集到的振動波形及其包絡(luò)譜分別如圖11和12所示。從圖11中很難看出其中的沖擊成分，而從圖12中可見，在故障特征頻率fr及其二倍頻和三倍頻處的譜線都不明顯。于是利用本文所提方法提取其中的沖擊振動。獲得的沖擊成分波形如圖13所示。為了準(zhǔn)確獲取故障特征，對該沖擊信號進行包絡(luò)譜分析，所得結(jié)果如圖14所示。從圖中可見，在故障特征頻率fr及其二倍頻、三倍頻和四倍頻處出現(xiàn)了明顯的譜線，這就表明該周期沖擊振動信號的沖擊頻率為fr，因此可以判斷主動輪發(fā)生了局部故障。

同樣地，將基于小波熵優(yōu)化的Morlet小波軟閾值方法用于提取該齒輪故障振動信號中的沖擊成分，所得沖擊信號波形和其包絡(luò)譜分別如圖15和16所示。比較圖13和15可知，本文方法提取的沖擊更加明顯且受噪聲影響較小。再對比圖14和16可知，雖然Morlet小波軟閾值方法所得包絡(luò)譜在故障特征頻率fr及其二倍頻處有較高的譜線，但在三倍頻和四倍頻處的譜線較低和不明顯。因此，本文方法更適于在較強干擾下提取齒輪沖擊故障特征。

圖11 齒輪故障振動信號波形Fig.11Thewaveformofgearfaultvibrationsignal圖12 齒輪故障振動信號包絡(luò)譜Fig.12Theenvelopespectrumofgearfaultvibrationsignal圖13 本文方法提取的齒輪沖擊振動信號Fig.13Thegearimpactvibrationobtainedbytheproposedmethod

圖14 本文方法提取的齒輪沖擊振動信號的包絡(luò)譜Fig.14Theenvelopespectrumofgearimpactvibrationobtainedbytheproposedmethod圖15 Morlet小波軟閾值方法提取的齒輪沖擊振動信號Fig.15Thegearimpactvibrationobtainedbythesoft-thresholdingmethodbasedonMorletwavelet圖16 Morlet小波軟閾值方法提取的齒輪沖擊振動信號包絡(luò)譜Fig.16Theenvelopespectrumofgearimpactvibrationobtainedbythesoft-thresholdingmethodbasedonMorletwavelet

6結(jié)論

本文首先建立了沖擊振動提取的稀疏求解問題模型，構(gòu)造了用于沖擊振動特征提取的變換基，然后利用基追蹤方法進行求解。同時，根據(jù)參數(shù)λ對沖擊提取結(jié)果的重要性，通過利用特征譜線在頻譜中所占能量比作為評價指標(biāo)，提出了基于SALSA算法的沖擊特征優(yōu)化提取方法。仿真實驗和在齒輪故障診斷中的應(yīng)用結(jié)果表明，在較強噪聲和其他振動干擾下，本文方法比Morlet小波軟閾值方法能更好地提取出沖擊特征成分，且診斷效果更好。

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基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(50905191, 51375506);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費項目(CDJZR14285501);中國博士后科學(xué)基金資助項目(2012M521690)

收稿日期：2014-10-22修改稿收到日期：2014-12-03

中圖分類號:TH132.4

文獻標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.010

Optimal sparse representation method for impact vibration extraction

QIN Yi1, GUO Lei1, WU Hong-gang2

(1. State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China; 2. Chongqing Communication College, Chongqing 400035, China)

Abstract:Aiming at the problem of impact vibration signals extraction under strong back-ground noise and other vibration interferences, an optimal sparse representation method of impact vibrations based on basis pursuit was proposed. A sparse solving model for extracting impact vibrations was built, and a transformation basis for impact vibration feature extraction was designed. Then the energy ratio of characteristic spectral lines in the whole frequency spectrum was taken as the index for evaluating the effect of impact vibration feature extraction, and the impact vibration components were optimally obtained with this evaluation index. The proposed method was applied in simulation tests and gear fault diagnosis. The results showed that this approach can better extract the weak periodic impact components, so it is valvuable for actual applications.

Key words:sparse solution; basis pursuit; transformation basis; gear fault; feature extraction

第一作者 秦毅 男，博士，副教授，1982年8月生