基于Lyapunov指數的管道超聲導波小缺陷定位實驗研究

武　靜， 張偉偉， 聶振華， 馬宏偉,3, 楊　飛

(1.暨南大學 理工學院，廣州　510632；2.太原科技大學 力學系，太原　030024； 3.青海大學 土木工程學院，西寧　810016)

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基于Lyapunov指數的管道超聲導波小缺陷定位實驗研究

武靜1， 張偉偉2， 聶振華1， 馬宏偉1,3, 楊飛1

(1.暨南大學 理工學院，廣州510632；2.太原科技大學 力學系，太原030024； 3.青海大學 土木工程學院，西寧810016)

摘要：為了提高超聲導波檢測長距離管道中小缺陷的檢測靈敏度，提出了基于杜芬方程最大Lyapunov指數的超聲導波損傷定位方法。依據管道超聲導波實測信號的采樣頻率、中心頻率以及杜芬方程特性，設置檢測系統參數，將待測信號作為杜芬方程外策動力擾動項輸入杜芬方程中。通過比較杜芬系統在無信號輸入和輸入實測導波信號后，最大Lyapunov指數隨策動力幅值F的變化，確定可用于識別導波信號的F值。利用移動窗函數給出了缺陷超聲導波的波到時刻識別方法，從而給出了缺陷定位方法。實驗研究表明，利用最大Lyapunov指數可有效提高超聲導波的檢測靈敏度。

關鍵詞：最大Lyapunov指數；超聲導波；損傷定位；杜芬檢測系統

管道廣泛應用于各個行業，是繼鐵路、公路、航空運輸、水運之后的第五大運輸工具。然而，由于受到環境影響，人為破壞等因素，管道事故頻發，因此，對管道進行安全監測十分必要。超聲導波檢測技術是近年來發展起來的長距離管線檢測的新技術。與傳統超聲波檢測技術相比，超聲導波沿著波導結構長度方向激發，其檢測范圍是“線”而非“點”，檢測范圍可達50～100 m，已經成為長距離管線檢測的重要方法。

目前，針對超聲導波的檢測技術，研究人員主要關于三個方面：① 超聲導波在管道結構中的傳播特性研究，如不同管道特征中及不同服役條件下的頻散特性研究[1-2]、衰減特性研究[3]、傳播模態與模態轉換研究[4]等；② 超聲導波的激發和接收裝置研究，如壓電效應，磁致伸縮效應[5]及基于脈沖激光式導波傳感器設計與應用研究[6]等；③ 信號分析與缺陷特征提取，如小波變換[7-8]，FFT[9]，缺陷參數識別[10]等。相關文獻表明在上述三個方面已有豐富的研究成果。但在超聲導波檢測技術的工業應用中，仍存在一些問題。尤其是導波傳播中的頻散和多模態特性極大的限制了超聲導波的檢測效果。此外，噪聲水平、缺陷大小，以及檢測距離都在一定程度上影響超聲導波檢測靈敏度，對于長距離小缺陷檢測，其回波信號必然表現為強噪聲背景下的弱導波信號。而混沌系統具有初值敏感性，若將弱信號作為混沌系統的初值輸入到系統中，從混沌系統的響應中可有效識別出弱信號，并且可以降低信噪比門限，提高檢測靈敏度。

常用的混沌檢測系統主要有Lorenz系統和Duffing系統。近年來,基于Duffing振子的微弱周期信號檢測方法得到了深入研究。其最初是Birx等[11]開展的，由于當時有關基礎理論尚不完善而缺乏深入理論研究。隨后，李健等[12]利用對非自治杜芬混沌系統的參數共振微擾來實現檢測，并且開展了基于混沌檢測技術的系統統計特性、弱信號周期檢測、未知頻率檢測、信號振幅估計等相關研究，但大部分圍繞著周期和諧波信號。現在也有越來越多的學者利用杜芬混沌系統進行弱超聲導波信號的識別。如張淑清等[13]指出了杜芬系統在超聲導波檢測中的潛力，但其缺乏超聲導波信號檢測的實例。鄒珺等[14]嘗試利用杜芬系統的相軌跡檢測了鋼絞線實驗導波信號。張偉偉等[15]利用改進型杜芬方程討論了給定導波信號下的系統參數設置，討論了利用相軌圖的改變識別Hanning窗調制的正弦信號，給出了二分法定位導波信號的方法，展示了利用杜芬振子系統進行無損檢測的有效性。

本文通過計算杜芬系統的最大Lyapunov指數開展小缺陷管道的損傷定位實驗研究。為了確定檢測系統參數，分別計算最大Lyapunov指數在無信號輸入和輸入實測導波信號后隨著策動力幅值F的符號的改變，選擇對導波信號敏感而對噪聲具有一定免疫能力的F的值作為檢測系統。為了進一步對實驗中的缺陷鋼管進行缺陷位置的確定，構造時移窗函數截取接收到的全長度信號，計算其相應的Lyapunov指數曲線，通過Lyapunov指數曲線的突變區域識別小缺陷的回波信號，并進一步通過其包絡線的峰值確定接收到入射波、缺陷回波以及端面回波的時刻，根據三者之間的比例關系，給出缺陷位置。最后，利用這種方法給出了6種工況下的損傷定位結果。

1杜芬方程及其Lyapunov指數判據

杜芬方程可描述為[15]：

(1)

式中:c為阻尼比，-x3+x5為系統的非線性恢復力項；Fcos(ωt)為內策動力項，F是策動力幅值，ω為策動力角頻率。將周期與式(1)相同的待檢測信號s(t)=fsin(ωt)輸入杜芬檢測系統，得到：

(2)

利用簡單的三角變換，式(2)仍可化簡歸為式(1)的形式。因此，可以認為輸入同周期的正弦(或余弦)信號，相當于改變了系統(1)外策動力項的幅值和相位，由于系統具有初值敏感性，若選擇合適的F，系統的動力學行為將發生明顯改變，如周期狀態以及混沌狀態之間的轉變[16]，最大Lyapunov指數值的符號的改變等。另一方面當輸入信號頻率與ω差距較大時或輸入純噪聲信號時，系統卻幾乎不發生動力學行為的改變。利用杜芬系統對信號敏感對噪聲免疫的這一性質可以進行強噪聲背景下的弱周期信號的有效識別[15]。

Lyapunov指數是描述混沌系統對初值敏感性的定量指標，可用來表征系統在相空間中相鄰軌道間隨著時間的推移收斂或發散的平均指數率，可以實現杜芬系統狀態的定量識別，本文利用Lyapunov指數進行缺陷管道的識別與損傷定位。

在求解杜芬方程的Lyapunov指數時，首先把二維非自治系統轉化成三維自治系統如下：

(3)

(4)

由于在上述演化過程中，每個向量都會向著其增長速度最快的方向進行演化，從而導致所有軸向量的切線空間取向變得無法區分。因此，要對新的向量不斷的進行斯密特正交化，即Wolf文章中提出的GSR[18]方法，其具體步驟如下：

(6)

三維杜芬方程對應3個Lyapunov指數，按其大小排序，稱為Lyapunov指數譜。綜上，發現GSR沒有影響到第一個矢量的方向，因為不需要對它進行正交化，只需要對其進行單位化，并沒有改變其方向，因此，這個矢量的方向就代表增長速度最大的方向，計算出的Lyapunov指數也是最大的Lyapunov指數，記作λ1。通過λ1的符號即可進行混沌的有效判別，即只要λ1大于 0，就可以肯定系統處于混沌狀態[19]，當λ1小于0時，系統為周期狀態。而λ1的大小則定量標志著其混沌特性的強弱[20]。本文主要通過研究λ1的正負，來判斷系統的狀態，并利用λ1所代表的系統的混沌特性的強弱進行強噪聲下的弱導波信號的識別及小缺陷管道的損傷定位。

2損傷識別與定位原理

2.1超聲導波信號與檢測系統的選擇

在管道超聲導波檢測中，經Hanning窗調制的導波信號經常被用來激發管道中L(0,2)模態導波[9]，本文將該信號作為待檢測信號，驗證所提方法的有效性。導波信號的表達式為：

(7)

式中:n為選用的單音頻數目，ωc=2πfc，fc為信號的中心頻率，由于杜芬系統只能檢測頻率與其策動力角頻率ω相同或相近的信號，因此這里選擇杜芬系統中的ω=ωc，而ωc的選擇取決于實際測量時所激發信號的頻率。c值的選擇參考文獻[15]中的取值。因此，杜芬檢測系統的選擇主要是確定策動力幅值F的值。

杜芬系統隨著F值得改變，自身動力學行為有明顯的不同，主要為不動點、周期一，周期二，準周期，然后經過倍周期分叉進入混沌狀態[15]。為了選擇對導波信號敏感的檢測系統，將實測導波信號輸入杜芬系統，觀察杜芬系統的λ1隨F的變化特點，并與無信號輸入時，系統自身的λ1隨F的變化進行比較，選擇加入實測導波后使得系統的λ1符號改變，即系統的狀態發生改變，且λ1改變值最大時對應的F值作為檢測系統。此時若無信號輸入時的系統λ1小于0，即未進入混沌狀態，則輸入導波信號后系統的λ1變為大于0代表進入混沌狀態，以此來檢測所測信號中是否存在導波信號(如入射波、端面回波和缺陷回波)。具體檢測方法和步驟詳見后文實驗研究。

2.2缺陷識別及定位原理

利用上述確定的杜芬檢測系統可以對小缺陷管道中的缺陷回波進行識別。為了進一步進行缺陷定位，構造一個時移矩形窗函數，將窗函數在所測信號全長度上進行移動掃描。矩形窗函數[9]定義為：

S*=g(t-nτ)S，g(t-nτ)=

(8)

式中:S代表記錄下的全時域信號，S*代表被窗函數g(t-nτ)截取后的信號，N代表全時域信號長度，2δ代表窗長度，nτ代表窗函數的中心時刻，通過變化n對S全長度進行掃描。利用時移窗函數進行損傷識別及定位的原理是,將完整的全時域信號S，通過窗函數g(t-nτ)截取后得到的不同S*分別輸入到上述杜芬檢測系統中，計算每一段信號S*所對應的λ1，通過觀察λ1的顯著變化識別截取信號S*中是否含有導波信號并依據時移窗函數的中心時刻nτ定位導波信號，最后依據確定出的入射波、缺陷回波及端面回波的時刻之間的比例關系定位缺陷位置。因此，只需要畫出λ1隨截取信號的中心時刻的變化，即可進行缺陷的識別及有效定位。其中，損傷位置根據下列公式計算：

(9)

式中:dx代表缺陷距離信號記錄點的距離，d代表管道長度，t1，t2，t3分別代表接收傳感器接收到入射波，缺陷回波，端面回波的時刻。相對誤差公式定義為：

(10)

式中:d1代表缺陷距離信號記錄點的實際距離。

3實驗研究

3.1實驗裝置

為了驗證本文方法的有效性，選用長3 m，半徑50.75 mm，壁厚為2.32 mm的鋼管，利用鋸弓在距離信號激勵端1.5 m處設置人工缺陷，進行實驗研究[21]。其中，缺陷及參數設置如圖1所示，并考慮表1所示的6種工況。

圖1　管道中的人工缺陷Fig.1 The artificial defects in pipes

工況裂紋環向尺寸θ裂紋深度a截面減少率/%1無無02π/61mm43π/62mm84π/52mm125π/42mm166π/32mm20

本實驗中采用PZT5材料作為超聲導波的激發和接收傳感器，實驗原理如圖2所示。實驗主要儀器包括：任意信號發生器，低頻功率放大器和數字示波器。

圖2　實驗原理圖Fig.2 Scheme of the experiment

3.2檢測系統的選擇

上述杜芬系統針對于不同的檢測信號設置系統參數c,ω和F。以實驗中常用的中心頻率為70 kHz, 10周期調制信號為例，信號記錄儀采樣頻率為50 MHz。參數設置如下：

70 kHz=0.07(1/μs),

ω≈0.439 823 rad/μs，c=0.5[15]

以下確定F的值。首先，記錄工況1的時程曲線，如圖3(a)所示。為了選擇對實驗導波信號敏感的F值，將圖3(a)所示的入射波和端面回波信號分別輸入杜芬系統，計算出的λ1隨策動力幅值F的變化特點，如圖3(b)所示。從圖3(b)可以看出，在F∈(0.48,0.52)范圍內，無實驗導波信號輸入時，系統的λ1均為小于0，說明此時系統未進入混沌狀態，而輸入實驗導波信號后對應的λ1均變為大于0，說明系統進入了混沌狀態。這是因為實驗導波信號和杜芬方程外策動力頻率相同，將這些實驗導波信號輸入到杜芬方程中，相當于改變了杜芬方程的外策動力幅值，從而導致了λ1的符號的改變。為了使得在實驗導波信號輸入杜芬系統后，系統具有顯著變化，在輸入超聲導波信號前后兩個λ1乘積小于0的區域即F∈(0.48,0.52)，選擇兩個λ1之差的絕對值最大時所對應的策動力F的值作為杜芬振子信號檢測系統的策動力幅值(即F=0.514處)。

圖3　選擇檢測系統Fig.3 The choice of the defect system

3.3缺陷識別及定位

根據上述分析，作為弱導波檢測系統的杜芬方程的參數設定為：ω=0.439 823，c=0.5，F=0.514，迭代初值設為(0,0,0)。利用式(8)所代表的時移窗函數分別截取示波器上記錄得到的6種工況下的時程曲線如圖4(a)～圖4(f)藍線所示，分別輸入到上述杜芬檢測系統，并計算相應的λ1，結果如圖4(a)～圖4(f)紅線所示。其中，固定2δ=50 μs相當于半個入射波長，固定τ=2.5 μs。從上圖4(a)可以看出，對于完好管道，由于沒有缺陷存在，藍線所代表的時程曲線上只能檢測到入射波和端面回波，同理紅線所代表的計算出的最大Lyapunov指數λ1，也只在入射波和端面回波位置處，發生了明顯改變，變為明顯大于0，代表輸入這些信號不僅使得系統的狀態發生了改變，系統的混沌特性也比較強。而中間部分相當于純噪聲信號，對應計算出的紅線所示的λ1小于0，說明輸入中間部分的純噪聲信號系統未進入混沌狀態。由于只要存在弱導波信號，即使導波信號不完整也會使得計算出的λ1變為明顯大于0，因此在含有導波信號時，其計算出的λ1大于0的時間區域是一個范圍。以下為了敘述簡單，統一簡稱為λ曲線。通過λ曲線的變化特點，可以判斷缺陷回波的波到時刻。圖4(b)、(c)所示工況2、3由于缺陷比較小，直接觀察藍線所代表的時程曲線，無法看到明顯的缺陷回波，因而無法判斷管道中是否存在缺陷，而通過計算其對應的λ1，可以看出在入射端、末端位置以及中間部分都會出現λ1明顯大于0的時間范圍。這是因為待測信號中含有和杜芬方程外策動力頻率相同的信號，分別為入射波、缺陷回波及端面回波，將這些信號輸入到杜芬方程中，相當于改變了杜芬方程的外策動力幅值，從而導致了λ1的改變，而且不僅使得λ1的符號發生改變，變為大于0，即系統的狀態從周期狀態變為混沌狀態，其λ1也均大于0.04。對比含有純噪聲信號的位置，由于杜芬系統對噪聲具有一定的免疫能力[15]，使得噪聲對應的λ1均小于0.01，其值明顯小于導波信號對應的λ1，即噪聲使得系統進入的混沌程度明顯弱于導波信號使系統進入的混沌程度。依據導波信號和噪聲信號使得系統進入混沌程度的強弱的明顯不同可以進行導波信號的有效識別。當缺陷較大時，如圖4(d)、(e)、(f)所示的工況4、5、6，藍線所代表的時程曲線可以看到明顯的缺陷回波，其所在的時間范圍與紅線所代表的λ曲線上λ1明顯大于0的時間范圍幾乎吻合，進一步驗證了利用λ曲線可有效識別損傷。

圖4　不同工況下的損傷識別Fig.4 The inspection of defects in different cases

以上方法只能推斷出結構中含有缺陷，能否定位結構中的缺陷才是關鍵。由于缺陷回波的返回時間與缺陷的大小無關，而與缺陷的位置和材料參數有關，因此，可以通過缺陷回波的到達時間準確地判斷出缺陷的所在位置。對于比較大的缺陷，如工況5、6，從其時程曲線上，可以直接觀察到明顯的缺陷回波的波到時間，從而進行缺陷定位。而對于小缺陷，如工況2、3，由于缺陷太小，反射回來的弱導波信號淹沒在強噪聲中，無法直接觀察到其缺陷回波的波到時刻，而利用本文提出的λ曲線可進行有效確定。但是通過圖4觀察到的λ曲線上λ1明顯大于0的區域，涉及時間范圍比較寬，不利于缺陷的精確定位。為了得到接收到導波信號的精確時間，進一步畫出λ曲線的包絡線，并選擇包絡線的峰值處，作為接收到導波信號的時刻，如圖5所示。圖5(a)～圖5(f)所標注的t1，t2，t3分別代表利用λ曲線的包絡線的峰值所確定的接收到的入射波，缺陷回波，端面回波的時刻。將利用這種方法確定的波到時刻代入式(9)可以計算出缺陷的位置，并利用式(10)求出相對誤差百分比，計算結果如表2所示。作為對比，表2還給出了直接觀察圖4藍線所示的時程曲線所確定的接收到的入射波、缺陷回波及端面回波的時刻，及利用這些時刻計算出的缺陷位置和相對誤差百分比。

表2　各工況下的損傷定位

圖5　不同工況下的損傷定位Fig.5 The location of defects in different cases

從表2可以看出，對于工況4、5、6，這樣的較大缺陷，圖5所標注的入射波、缺陷回波及端面回波的時刻，非常接近圖4藍線所示時程曲線上觀察到的接收到導波信號的時刻。而且利用這些時刻計算出的缺陷位置與實際缺陷位置1.5 m處相對誤差較小。對于工況2、3這樣的小缺陷，無法直接從時程曲線上觀察到缺陷回波時刻，但是利用λ曲線的包絡線的峰值確定的回波時刻，定位出的缺陷位置，誤差仍較小。實驗結果表明，選擇λ曲線的包絡線的峰值處作為導波信號的波到時刻進行缺陷定位具有可行性，且該方法受缺陷大小影響較小，相比于直接觀察時程曲線，具有明顯的優勢性。因此，本文所提方法可以有效提高小缺陷檢測的靈敏度。

4結論

由于杜芬系統具有對噪聲免疫對周期信號敏感的特性，可以將弱的超聲導波信號作為杜芬系統的初始擾動輸入到系統中，并通過杜芬系統的最大Lyapunov指數λ1代表的系統的混沌特性的強弱來進行缺陷管道的損傷識別及有效定位。本文依據管道超聲導波實測信號的采樣頻率，中心頻率以及杜芬方程特性，設置了檢測杜芬系統參數c,ω；通過比較杜芬系統在無信號輸入和輸入實測導波信號后，λ1隨策動力幅值F的變化，選擇加入實測導波信號后系統的λ1符號發生改變，且其值改變程度最大的F=0.514處作為檢測系統；構造了時移窗函數截取全長度實測信號，將截取的分段信號輸入到杜芬檢測系統，計算了相應的Lyapunov指數曲線，簡記為λ曲線，畫出了λ曲線的包絡線；并利用杜芬方程識別及定位鋼管中導波信號的實驗研究驗證了本文方法的有效性。在本實驗中，直接觀察時程曲線，可以識別的最小缺陷為12%，通過觀察λ曲線的顯著變化可以識別的最小缺陷為4%；而利用λ曲線的包絡線的峰值確定入射波、缺陷回波以及端面回波的波到時刻，計算出的缺陷位置，誤差不超過8%。因此，利用本文方法可以有效提高檢測小缺陷的靈敏度，實現小缺陷管道的有效定位。

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基金項目：國家自然科學基金(11102125,11472146);教育部博士點新教師基金(20134401120009);中央高校培育與創新基金(21613326)

收稿日期：2014-12-18修改稿收到日期：2015-01-14

通信作者馬宏偉 男，博士，教授，1966年生

中圖分類號:TN915.04

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.008

Tests for datecting crack locations in a pipe with ultrasonic guided wave based on Lyapunov exponent

WU Jing1, ZHANG Wei-wei2, NIE Zhen-hua1, MA Hong-wei1,3, YANG Fei1

(1. College of Science and Engineering, Jinan University, Guangzhou 510632, China；2. Department of Mechanics, Taiyuan University of Science & Technology, Taiyuan 030024, China;3. School of Civil Engineering, Qinghai University, Xining 810016, China)

Abstract:In order to improve the detection sensitivity of small crack locations in long distance pipes, a novel detection method based on the maximum Lyapunov exponent of a Duffing system was proposed. According to the sampling frequency and center frequency of the measured ultrasonic guided wave signals and the characteristics of a Duffing chaotic oscillator, the parameters of the detection system were set up. The guided wave signals to be tested were input into Duffing equation as the external driving force’s turbulent term. Comparing the curve of the maximum Lyapunov exponent of the Duffing system varying with the driving force amplitude F without a turbulent term and that with the measured guided wave signals as the turbulent term, the appropriate value of F used to detect the guided wave was determined. Then a time-moving window function was constructed to locate the crack by moving the window along the measured signals. The experimental results showed that the maximum Lyapunov exponent can effectively improve the sensitivity of small crack detection.

Key words:maximum Lyapunov exponent; ultrasonic guided wave; damage locating; Duffing detection system

第一作者 武靜 女，博士生，1988年生