不確定收益的最優投資組合模型

韓　穎,楊夕涵,沈蘭雅,錢家昌,張曉斌

(中國民航大學　理學院,天津　300300)

?

不確定收益的最優投資組合模型

韓穎,楊夕涵,沈蘭雅,錢家昌,張曉斌

(中國民航大學理學院,天津300300)

[摘要]投資組合理論是金融學乃至整個經濟學領域一個非常激動人心的部分,涌現出了大量的投資模型和理論,這些模型大多采用概率論或者模糊理論方法處理投資中的不確定性,對于缺乏樣本數據這種情形(如購買的是新出現的證券)建立的模型甚少。針對這種投資情況,利用不確定理論考慮了馬科維茨的均值——方差投資組合模型的變形形式,建立了不確定收益的最優投資組合選擇模型,進一步豐富了證券投資理論。

[關鍵詞]不確定理論；不確定規劃；風險分析；投資組合

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.24.234

1952年,Markowitz[1]提出了著名的均值方差模型(MV)。均值-方差投資組合理論在研究方法上建立了衡量效用與風險程度指標,確定了資產組合的基本原則。Markowitz在其出版的《證券組合選擇》一書中,詳細論述了證券組合的基本原理,從而為現代西方證券投資理論奠定了基礎。Markowitz資產組合理論研究的是多種資產的組合問題,根據這個理論,我們可以在方差一定的情況下,研究預期收益最大的投資組合問題；也可以研究預期收益一定情況下,方差最小的投資組合問題。

以往諸多投資分析的模型,往往以概率論方法處理投資中的不確定性,[2]而忽視了另一種不確定性—模糊性。事實上,金融市場有許多不確定性,例如受國家政策、突發事件,以及眾多投資人的行為相互作用的影響。假設投資者欲購買新出現的證券(如股票),則沒有或者有很少的樣本數據可供統計分析,這時若用概率論方法及模糊理論方法處理該問題就顯得力不從心。而劉寶碇于2007年建立的不確定理論[3]是處理此類問題的強有力工具,本文利用不確定理論給出了馬科維茨均值方差模型的變形形式,即證券收益是不確定變量的情況。不確定理論是一個公理化的數學系統,假設讀者已經熟悉了不確定理論的相關定義,如信度、不確定測度、不確定空間、不確定變量、(正則)不確定分布及相應的逆分布、期望、方差等,參考文獻第一章和第二章。[4]

1相關引理

1.1引理一[4]

1.2引理二[5]

假設ξ1,ξ2,…,ξn是n個獨立的不確定變量,且有正則的不確定分布分別是Φ1,Φ2,…,Φn,如果函數f(x1,x2,…,xn)相對于x1,x2,…,xm嚴格遞增,相對于xm+1,xm+2,…,xn嚴格遞減,那么不確定變量ξ=f(ξ1,ξ2,…,ξn)的期望。

1.3引理三[6]

假設ξ是一個獨立的不確定變量,且有正則的不確定分布分別是Φ,和有限的期望e,則：

2期望收益一定下的最小風險投資組合模型

假設投資者欲購買n種新證券A1,A2,…,An,用xi(≥0)表示投資者在第i種證券上的投資額所占投資總額的比例,ξi表示第i種股票的收益率(i=1,2,…,n),由于所投資的n種新證券的收益沒有樣本數據可供統計分析,因此ξi服從不確定分布(分布函數由專家給出建議),投資者要在期望收益一定的情況下,要是投資風險達到最小,應如何選擇投資比例？馬科維茨的均值方差模型可轉化為下面的形式：

(1)

式中，E表示期望值算子,V表示方差算子,b是投資者可以接受的最小期望收益率。

假設ξ1,ξ2,…,ξn是n個獨立的不確定變量,且有正則的不確定分布分別是Φ1,Φ2,…,Φn,由引理一至引理三,上面的數學模型可以轉化為下面的數學規劃問題

(2)

3數值算例分析

假設投資者購買四種新出現的證券A1,A2,A3,A4；b=0.2。他向三位專家咨詢每種證券的收益率,假設三位專家給出各種證券的收益率(假設權重相同)所滿足的不確定分布如表1所示。

表1　證券收益率分布

由引理二和引理三,根據模型(2)得：

由Matlab7.0軟件計算得出模型的最優解：(0.6667,0.3333,0,0),目標函數值為0.4778,即投資者在可以接受的最低收益率為0.1的前提下,按照上面的最優策略安排其投資比例,可達到最低風險0.4778。

4靈敏度分析

通過表2,我們看到,隨著投資者可接受的最低收益率的逐步增大,他所要承擔的最低風險也在逐步增大,符合“高回報,高風險”的規律。

表2　最低風險與可接受最低收益率期望關系

5結論

針對投資者購買新出現的證券,缺乏歷史數據可對證券收益率進行統計這種情況,本文利用不確定理論建立了不確定收益下的最優投資組合選擇模型,得到了一個二次規劃模型(2),并通過算例進行了投資模擬。通過采納多位專家的意見,對專家給出的證券收益率所滿足的不確定分布進行加權處理,使得投資風險進一步降低。下一步我們將研究投資者同時購買新出現的證券和已出現時間較長的證券的情況,即證券的收益率既有隨機變量,也有不確定變量的情況。

參考文獻：

[1]Markowitz H..Portfolio Selection[J].Journal of Finance,1952(7)：77-91,

[2]Konno H.,Yamazaki H..Mean-variance Deviation Portfolio Optimization Model and its Applications to Tokyo Stock Market[J].Management Science,1991,37(5):519-531.

[3]Liu B.D..Uncertainty Theory[M].2nd ed.,Berlin：Springer-Verlag,2007.

[4]Liu B.D..Uncertainty Theory[M].5nd ed.,Uncertainty Theory Laboratory,2015.

[5]Liu Y.H.,Ha M.H..Expected Value of Function of Uncertain Variables[J].Journal of Uncertain Systems,2010,4(3)：181-186.

[6]Yao K..A Formula to Calculate the Variance of Uncertain Variable[J].Soft Computing,2015,19(10)：2947-2953.

[基金項目]本文系(天津市級)大學生創新創業訓練計劃項目(項目編號：201510059044)相關研究成果。

[作者簡介]韓穎(1994—),女,山西臨汾人,中國民航大學本科生。研究方向:統計學；楊夕涵(1995—),女,陜西寶雞人,中國民航大學本科生。研究方向：統計學；沈蘭雅(1992—),女,天津人,中國民航大學本科生。研究方向：統計學；錢家昌(1994—),男,江蘇南京人,中國民航大學本科生。研究方向：電子信息工程。通訊作者：張曉斌(1983—),男,山東蓬萊人,博士,中國民航大學講師。研究方向：復分析,運籌與優化。