在“解決問題”中滲透數學思想方法

潘振璋

摘 要：“問題解決”是小學數學學習的重要能力，貫穿在小學數學課程的全部內容之中。學生在“解決問題”的過程中，不僅需要獲得適應未來社會生活所必需的數學知識以及數學技能，更需要掌握數學思想方法。在“解決問題”的教學過程中，教師要滲透分類思想方法、集合思想方法、模型思想方法、數形結合思想方法。

關鍵詞：解決問題；數學思想方法；滲透

在知識大爆炸的時代，掌握科學的思維方法比獲得知識更重要。數學思想是數學方法的進一步提煉和概括，它的抽象概括程度較高；數學方法則具有可操作性，數學思想要依靠數學方法來實現。在“解決問題”的教學過程中，教師要精心挖掘數學知識和問題背后所蘊含的數學思想方法，引導學生在掌握知識、解決問題的同時，體驗和領悟數學思想方法，發展數學思維。

一、滲透分類思想方法

人們面對比較復雜的問題，有時無法通過統一研究或者整體研究解決，需要把研究的對象按照一定的標準進行分類并逐步進行討論，再把每一類的結論綜合，使問題得到解決。其實質就是“分而治之、各個擊破、綜合歸納”。這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法，是數學領域解決問題比較常用的思想方法。

分類的思想方法從一年級下冊的“物體分類整理”到六年級的“數據整理”“正、反比例”，在小學數學中占有比較重要的地位，而且應用廣泛。

在日常教學中，由于條件與問題之間的聯系不是單一的，情況比較復雜，用一般的思維方法難以解決。不妨根據問題的實際情況和需要恰當分類，并逐類分析思考求解，從而順利解決問題。需要注意的是，應用分類思想方法解決問題時要抓住問題的本質特征合理分類，做到不重復不遺漏。

例如，圖中一共有多少個三角形？

此題如果直接數，很容易數錯，可以運用分類的思想解決：最小的三角形面積為1，則面積為1的三角形有22個；面積為4的三角形有10個；面積為9的三角形有2個，因此共有三角形有34個。

二、滲透集合思想方法

小學數學的很多內容滲透了集合思想。例如在數的概念方面，自然數可以從對等集合基數（元素的個數）的角度來理解；在一年級時通過兩組數量相等的實物建立一一對應的關系，讓學生理解“同樣多”的概念，實際上就是在兩個對等集合的元素之間建立一一對應；數的運算也可以從集合的角度來理解，如加法可以理解為兩個交集為空集的集合的并集。

在小學數學教學中廣泛滲透集合思想，我們要做到以下幾點。

1.正確理解有關概念。只有正確理解有關概念，我們才能運用集合進行直觀的運算。

2.正確把握集合思想的教學要求。集合思想雖然在小學數學中廣泛滲透，但是集合的知識并不是小學數學的必學內容，因而應注意把握好知識的難度和要求，盡量使用通俗易懂的語言滲透集合思想。文氏圖、維恩圖除了可以表示概念系統及概念間的關系外，利用維恩圖進行集合的直觀運算，還可以解決一些分類計數的問題。

3.集合思想的教學要貫徹小學數學的始終。如上所述，集合思想在一年級學習之初，學生在學習認數和分類等知識中就已經有所接觸，一直到高年級學習公因數和公倍數、三角形和四邊形的分類、數的分類（正數、0、負數）、六年級（下）總復習中對各領域知識的系統整理和復習等等，在不同年級和不同知識領域中都有所滲透。這里涉及了用集合語言表示概念及概念間的關系、集合的元素之間的對應關系、集合的運算等等。因此，集合思想的滲透不是一朝一夕的事情，而是堅持不懈的長期的過程。

三、滲透模型思想方法

數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征，及數量關系和空間形式的一種數學結構。數學的模型思想是一般化的思想方法，數學模型的主要表現形式是數學符號表達式、圖形和圖表，因而它與符號化思想有很多的相通之處，同樣具有普遍的意義。數學模型是運用數學的語言和工具，對現實的一些信息進行適當簡潔化，經過推理和運算，對相應的數據進行分析、預測、決策和控制，并要經過實踐的檢驗。

模型思想在小學數學中廣泛滲透，在教學中要做到幾點：1.讓學生學習的過程經歷類似于數學家建模的再創造；2.根據對現實情景的分析，利用已有的數學知識建構模型；3.應用已有的數學知識分析數量關系和空間形式，經過抽象建立模型，進行解決各種問題。

以植樹問題為例，可以封閉圓圈植樹問題為核心模型，再演示出其他模型。封閉圓圈植樹中的點與間隔一一對應，長度÷間隔=棵數。再根據實際情況演示出其他模型：（1）一端栽一端不栽與封閉圓圈植樹模型相同：長度÷間隔=棵數；（2）兩端都栽：長度÷間隔+1=棵數；（3）兩端都不栽：長度÷間隔-1=棵數。

四、滲透數形結合思想方法

數形結合思想方法，就是把問題的數量關系和空間形式相互滲透、相互轉化，其實質是將抽象的數量關系與直觀的圖形結合起來，使得抽象的數量關系直觀化、生動化、簡單化，有利于學生準確把握數學問題的本質。數形結合思想在數學中的應用大致可以分為兩種情形：一是借助數的精確性、程序性和可操作性來明確闡述形的某些屬性，可稱為“以數解形”；二是借助形的幾何直觀性來闡述某些概念和數之間的關系，可稱為“以形助數”。

數形結合思想的教學，我們要注意：1.正確理解數形結合思想。數形結合中的“形”主要是幾何圖形和圖像；2.適當拓展數形結合思想的運用。數形結合思想中的以數解形在中學應用得較多，小學數學中常見的就是計算圖形的周長、面積和體積等內容。

正如數學家華羅庚的論述：“數以形而直觀，形以數而入微?！苯鉀Q一些數量關系復雜、一般思考方法難以解決的問題時，可以把問題中的數量關系用圖形直觀形象地表示出來，變抽象思維為形象思維，然后“按圖索驥”，迅速發現解決問題的方法和途徑。

例如，六年級同學表演團體操，如果每排少站3人，正好排10行；如果每排多站5人，正好排6行。六年級有多少名同學參加團體操表演？

題中數量關系比較抽象復雜，可以用長方形ABCD 的長表示團體操隊列的排數，寬表示每排的人數，用長方形的面積表示參加團體操表演的人數?！叭绻颗派僬?人，正好排10行”即長方形ABCD 的寬減少3，長增加到10；“如果每排多站5人，正好排6行”即長方形的寬增加5，長減少到6。由于參加團體操表演的人數不變，也就是長方形的面積不變，即長方形ABCD 的面積=長方形ALJG 的面積=長方形AEFH 的面積，所以圖中S1（長方形ELJK ）=S2（長方形GKFH ） ，而長方形ALJG = 6×（ 3 + 5 ）÷（10-6 ）×10=120 ，即六年級有120 名同學參加團體操表演。

正如杜甫的詩句“好雨知時節，當春乃發生。隨風潛入夜，潤物細無聲”所表達的心境一樣，數學思想方法的教學也應像春雨一樣，不斷地滋潤著學生的心田。在“解決問題”中滲透數學思想方法，可以實現數學素養的真正提高。

作者單位：福建省永春縣達埔中心小學校