多重分形在滬深300股指期貨市場的應(yīng)用研究

◇陳仁蓮

?

多重分形在滬深300股指期貨市場的應(yīng)用研究

◇陳仁蓮

摘要：本文采用Hurst指數(shù)檢驗法，分析滬深300股指期貨市場是否存在多重分形特征。運用MF-DFA法，結(jié)合mat鄄lab，做出滬深300股指期貨收益率序列的多重分形譜f（α）與奇異指數(shù)α的關(guān)系圖，知收益率序列的標度指數(shù)也將不同，進而通過多重分形參數(shù)△α來初步預(yù)測股指期貨合約價格走勢。

關(guān)鍵詞：多重分形；多重分形譜；市場風險測度指標；投資分析

10.13999/j.cnki.scyj.2016.06.023

金融市場的研究一直是大家關(guān)注的熱點，而分形理論的出現(xiàn)，給金融市場的探索開辟了另一條道路。1964年Mandelbrot[1]在研究資本市場的收益率時就有了分形思想，Peters （1994）[2]提出金融市場分形理論。隨著分形市場理論的研究不斷深入，對證券市場的研究結(jié)果表明：大多數(shù)市場具有明顯的分形特征：自相似性、顯著的 Hurst指數(shù)以及平均循環(huán)長度[3-5]；許滌龍（2004）、黃詒蓉（2005）等分別利用 R/S分析方法得到我國股市的 Hurst指數(shù)和平均統(tǒng)計循環(huán)長度，以不同形式的結(jié)果表明，我國金融市場存在長期自相關(guān)性[6-7]。然而以上研究均僅考慮金融時間序列的單分形過程，事實上，不同證券市場的價格變化或收益率變化具有多重分形特征[8-11]。本文主要運用多重去趨勢波動分析（MF-DFA）及多重分形譜來研究滬深300股指期貨收益率。為投資者認知我國市場提供幫助，運用分形特征獲取最大利益。

一、數(shù)據(jù)描述

滬深300股指期貨是以滬深300指數(shù)作為標的物的期貨品種，在2010年4月由中國金融期貨交易所推出。本文選用的樣本數(shù)據(jù)為2010年4月26日至2016年3月27日的滬深300股指期貨（IF8888）收盤價格數(shù)據(jù)，來源于同花順期貨行情系統(tǒng)。首先對數(shù)據(jù)進行分析和預(yù)處理，剔除不完整數(shù)據(jù)，共余1443個有效數(shù)據(jù)。先選用大家熟悉的對數(shù)收益率為研究對象，即：

其中Rt（τ）表示在時間標度τ下t時刻的收益率，τ=1、5、22（對應(yīng)為日、周、月），P（t）為t時刻價格。

二、數(shù)據(jù)處理

本文主要采用多重分形方面的方法并結(jié)合matlab軟件處理所獲得數(shù)據(jù)。

消除趨勢波動分析方法（DFA）是由Peng[12]（1994）等在研究DNA機理時采用的標度指數(shù)計算方法，用于分析時間序列的長程相關(guān)性。但DFA算法只適合分析一維的單重分形時間序列。Kantelhardt[13]（2002）等將多重分形運用到DFA方法，提出用多重分形趨勢波動分析方法（MF-DFA）來刻畫時間序列在不同時間標度下的多重分形特征，其步驟如下：

考察時間序列{X（t）}（t=1，2，…，N）的q階配分函數(shù)Xq（s）：

MF-DFA法與DFA法的前三步相同。

第四步:對所有子區(qū)間取平均,即得q階波動函數(shù)：

第五步：對同一q,描繪Xq（s）對s的雙對數(shù)曲線。

Xq（s）是q和s的函數(shù)。對于同一q，Xq（s）隨s的增大而增大。Xq（s）也隨著多項式的階數(shù) m的變化而變化，s的變化范圍為s≥m+1。

如果時間序列X（t）具有標度特性,則Xq（s）與s成冪律關(guān)系：

Xq（s）與s的雙對數(shù)曲線應(yīng)存在線性關(guān)系：

其中h（q）稱為廣義赫斯特指數(shù)（Hurst）。當h（q）為q的函數(shù)時，序列X（t）具有多重分形特性；當h（q）=0.5時，序列{X （t）}不相關(guān)。

1.Hurst指數(shù)檢驗

用Hurst指數(shù)檢驗滬深300股指期貨是否具有多重分形結(jié)構(gòu)，不妨取q為-10到10之間的整數(shù)，運用MF-DFA并結(jié)合matlab軟件得廣義Hurst指數(shù)，見圖1。

圖1　q-Hurst指數(shù)圖

由圖1知，Hurst指數(shù)h（q）隨著q的不同而不同。當取t= 1、5、22時，三條Hurst指數(shù)曲線h（q）都隨著q的增大而減小，因此不同時間標度下的滬深300期貨市場存在多重分形特征。同時，q=0的右邊附近像是一個拐點，h（q）>0.5，從而說明市場存在長期記憶性，而當h（q）<0.5，說明市場存在反持續(xù)性。

2.多重分形譜（MFS）分析

多重分形描述的是分形幾何體在生長過程中不同層次的特征。定義α為不同小區(qū)域內(nèi)的生長幾率，令有相同α值的小區(qū)域構(gòu)成一個子集，則α稱為局部分維，或奇異指數(shù)。f（α）表示相同α值的子集的分形維，如果把不同的α值下對應(yīng)的f （α）放在一起，這時的f（α）稱為多重分形譜。而多重分形譜曲線是f（α）隨α變化的曲線，若能夠找到f（α）與α關(guān)系，便可以獲得某一時間序列下的多重分形譜。故對（5）進行Legendre變換:

對滬深300股指期貨τ=1（日）的收益率結(jié)合matlab軟件作MF-DFA分析，s為天，q取-10到10之間的整數(shù)，結(jié)果如圖2。

圖2　τ=1時收益率Rt（τ）的MF-DFA分析

圖2是滬深300股指期貨序列的多重分形譜，可以看出：第一，分形譜是不對稱的，呈現(xiàn)右偏狀。τ=1時，α∈（0.9962，1.0033），說明α在不斷的變化。第二，α范圍隨著時間標度的增加逐漸增大，f（α）的取值變化為（0.9672，1.0019），且當約q=0時取得最大值，因此f（α）是一條光滑的曲線，所以收益率序列的標度指數(shù)也將不同。

由于分形譜的寬度△α=αmax-αmin，運用matlab做出股指期貨合約走勢圖3和△α的趨勢圖4，如下：

圖3　股指期貨合約走勢圖

圖4　△α的趨勢圖

圖3為滬深300股指期貨合約走勢,圖4是根據(jù)移動窗口求出的滬深300股指期貨合約的多重分形參數(shù)△α的走勢。對比可知，多重分形譜參數(shù)△α與滬深300股指期貨合約價格走勢大體上吻合，說明兩者之間有一定的相關(guān)性。因此可以粗略地用△α來預(yù)測股指期貨合約價格的變化趨勢。

三、結(jié)論

綜上對滬深300股指期貨合約走勢的Hurst指數(shù)分析，知其市場存在多重分形特征。運用MF-DFA法，結(jié)合matlab軟件，觀察出滬深300股指期貨收益率序列的 f（α）與 α的關(guān)系圖，可知收益率序列的標度指數(shù)也將不同，進而通過多重分形參數(shù)△α來初步預(yù)測股指期貨合約價格走勢，因此具有一定的指導(dǎo)意義和價值。

參考文獻：

[1]B Mandelbrot.The variation of certain speculative prices[J]. Journal of business,1963（36）.

[2]EE Peters．Fractal market analysis：applying chaos theory to in鄄vestment and economics[M].New York:John Wiley＆Son Lnc.,1994.

[3]SR Hurst,E Platen,ST Rachev.Option pricing for a log sta鄄ble asset price model[J].Mathematical and Computer Modelling, 1999（29）.

[4]MKP So.Long-term memory in stock market volatility.Ap鄄plied Financial Economics,2000（10）.

[5]T.Henry.Long memory in stock returns:some international evidence[J].Applied Financial Economics,2002（12）.

[6]鄒新月,許滌龍.H指數(shù)估計方法的有效性檢驗[J],統(tǒng)計研究, 2004（08）.

[7]黃詒蓉.中國股市分形結(jié)構(gòu)的 R/S實證分析[J],現(xiàn)代管理科學,2005（02）.

[8]Sun X,Chen H P,et al.Multifractal analysis of Hang Seng in鄄dex in Hong Kong stock market[J].Physica A,2001（09）.

[9]Lu Fangyuan.The multifractal analysis on stock market returns in China[J].Systems Engineering-Theory&Practice,2004 （06）.

[10]郝冰,陳付彬,禹旺勛.多重分形譜主要系數(shù)在股票預(yù)測問題中的研究[J].價值工程,2016（03）.

[11]張羽.中國股市分形特征及其應(yīng)用研究[D].合肥：安徽大學, 2014.

[12]CK Peng,SV Buldyrev,et al.Mosaic organization of DNA nucleotides[J].Physical Review E,1994（02）.

[13]JW Kantelhardt,SA Zschiegner,et al.Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series[J].Physica A,2002 （16）.

基金項目：茂名市軟科學項目（20140340）。

作者單位：（廣東石油化工學院理學院）