不定積分中的一些做題技巧

（陜西交通職業技術學院，陜西西安710018）

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不定積分是高等數學中的一個重要內容，如何運用基本的積分方法來解題，有一些技巧。本文對不定積分的常用方法給出了技巧，并通過例題作了具體的說明，希望能給同學們的積分學習帶來一些幫助。

拆補法；不定積分；湊微分；分部積分法

積分是高等數學的重要內容，積分的計算是一個關鍵問題。對于高職學生，如何正確求解一個積分更是困難。積分主要分為不定積分和定積分，二者在常用的積分方法上基本是一致的。本文主要從不定積分的計算方法入手，在不定積分的計算中，選取常用的幾種方法以例子的形式給出一些做題技巧，希望可以給積分的學習帶來一些幫助。

一、拆補法

對于有些不定積分，我們需要對分子進行拆開或者添補，達到化簡的目的，這個方法在不定積分的計算中非常常見與有效。

1.拆開法

分析：考慮分母為sin2x cos2x，可將分子拆為sin2x+ cos2x，然后分成兩項進行積分。

2.添補法

分析：我們可將分子變為（x+2）-2，然后將被積函數分成兩項進行計算。

二、湊微分法

1.被積表達式中的“dx”獨自變形，被積函數不需要變形

分析：此種積分中，被積函數形式上非常接近基本積分公式表中的被積函數，實際上，此時的被積函數為基本積分公式表中的被積函數的復合函數（即y=f（g（x），復合過程為y=f（u），u=g（x），只需要變形“dx”為“df（x）”即可。

2.被積函數變成相乘的兩部分，一部分留下來繼續作為被積函數，另外一部分與“dx”湊成一個新的微分，為留下來的被積函數服務。

三、分部積分法

分部積分法主要適用于被積函數由兩種不同類型基本初等函數相乘的形式。

我們需要將被積表達式變為udv的形式，重點在于u的選取。我們可按以下的原則進行：

反對冪三指，誰前誰為u，其余為dv

我們需要注意兩點：

1.“反對冪三指”分別指基本初等函數中的反函數，對數函數，冪函數，三角函數，指數函數。

2.被積函數中若遇到1，可看成冪函數x0

分析：被積函數是冪函數“x”與三角函數“cos x”相乘，根據“反對冪三指，誰前誰為u”的原則，冪函數在三角函數的前面，因此選擇“x”為u，“cos xdx”為dv

則du=dx，v=sinx

本文僅針對不定積分的部分方法給出做題技巧，實際上在做題中，還有其他的一些技巧，比如分母有理化，利用圖形進行三角代換等。同時雖然定積分與不定積分的有些方法是一致的，但定積分也有一些獨有的方法，如利用定積分的幾何意義計算積分值、積分中值定理等。高等數學中每個知識都是值得我們去深入探索的，在平時的學習中，應該多練習，多總結，掌握更多的做題技巧。

［1］張博，吉耀武，李金鎖.高等數學（經管類）［M］.北京：高等教育出版社，2008：105-116.

［2］王萍.不定積分技巧點滴［J］.上海工程技術大學教育研究，2006（2）.

［3］陳飛.關于不定積分的解題技巧的探討［J］.商丘職業技術學院學報，2014（2）.

［4］張永勝.不定積分求解方法研究［J］.洛陽工業高等專業學校學報，2004（9）.

［5］孫立卓，孫群.談不定積分運算中的一些靈活性［J］.高等數學研究，2002（5）.

不定積分中的一些做題技巧

劉穎

Indefinite integral is an important content in advanced mathematics.There are some skills in using the basic indefinite integral method to solve problems.This paper gives some skills in the methods of indefinite integral and makes specific description by examples.I hope that this paper can bring some help to students in learning indefinite integral.

demolition and complement method；indefinite integral；improvising differentiation；integration by parts

G642文獻標志碼：A文章編號：2096-000X（2016）18-0101-02

劉穎（1985-），陜西交通職業技術學院基礎部數學教師，講師。