一個簡潔的圣維南方程組推導過程

（鄭州大學水利與環境學院，河南鄭州450001）

（鄭州大學水利與環境學院，河南鄭州450001）

圣維南方程組是明渠非恒定漸變流基本微分方程組。它是由連續性微分方程式和運動（能量）微分方程式所構成。由于漸變流又是非恒定流，運動要素既隨流程變化也隨時間變化，推導連續性微分方程式時只考慮一階微量項，直接忽略二階微量項。明渠流是水位變化產生的重力流。運動（能量）微分方程式推導時，把水位看成是由底部高程和水深所構成，兩者獨立分析，分別得出重力和壓力對流動的影響。這樣的推導過程簡潔明了且概念清楚，易于教學。

水力學；明渠流；非恒定流；圣維南方程組

引言

圣維南方程組是明渠非恒定漸變流基本微分方程組。它是由連續性微分方程式和運動（能量）微分方程式所構成。［1］由于是非恒定流，運動要素隨時間變化。由于是非均勻漸變流，運動要素又隨流程坐標變化。選取微元體作為研究對象，并考慮運動要素在微小時段內變化時，就涉及到空間和時間兩個微小變量。如不能區分微量的量級，使推導過程統一在一個必要的尺度上，忽略相對的高階微量項，將十分繁瑣，主次不明。由于是漸變流，流線不相互平行。水面線和底坡線作為兩條特殊的流線也是不相互平行的。在推求運動（能量）微分方程式時，壓力、重力、阻力及加速度等矢量，均應是在所分析方向上的投影。明確投影方向，并將產生壓力差和重力分量的因素清晰的隔離開來，將會使推導過程簡潔明了、概念清晰、方便理解。

一、連續性微分方程式的推導

連續性微分方程式由質量守恒定律推導，是質量守恒定律在明渠非恒定流流動中的體現。

如圖1所示，運用歐拉法，選取上游u-u斷面和下游d-d斷面之間控制體內的液體作為研究對象。流段長度為ds。

圖1連續性微分方程式推導

那么，dt時段內由u-u斷面流入的液體質量為：ρQdt

那么，t時刻控制體內液體質量為：ρAds

由質量守恒定律，dt時段內由于交換而引起控制體內液體的質量增量與由于非恒定而引起控制體內液體的質量增量相等：

此式即為圣維南方程組中連續性微分方程式的形式。與經典形式完全相同。［1］

二、運動（能量）微分方程式的推導

運動（能量）微分方程式由牛頓第二定律推導，反映的是明渠非恒定漸變流流動中力與運動要素之間的關系，也是反映功能轉換的關系。

圖2運動（能量）微分方程式推導

如圖2所示，選取流程坐標s至s+ds流段的水流作為研究對象。

由于每個過水斷面水位均是由渠底高程和水深所構成，即z=z0z+h。則為了簡單起見，把水位變化分割開來，分別單獨考慮渠底高程和水深變化對水流的影響。

圖3壓力分量推導示意圖

當只考慮底坡變化而不考慮水深變化時，即相當于均勻流的情況。如圖4所示。則重力在流動方向的分量為：ρgAdsi。

圖4重力分量推導示意圖

不難得出該流段水流所受到阻力分量的表達式為：Ff=-τ0χds

控制體內液體所受到合外力在流動方向上的分量為：

此式即為圣維南方程組中運動（能量）微分方程式的形式。與經典形式完全相同。［1］

三、結束語

圣維南方程組中連續性微分方程式推導過程中，分析由于流量沿程變化而引起控制體內質量變化時，可忽略水力要素隨時間的變化，均用初始時刻的值進行計算；分析控制體內液體體積隨時間變化而引起質量變化時，可忽略由于斷面位置不同而引起水力要素的變化，均以上游斷面水力要素來進行計算。運動（能量）微分方程式推導過程中，把水位分割成渠底高程和水深兩部分，僅考慮渠底高程變化時計算重力的作用，僅考慮水深變化時計算壓力的作用。這樣的推導過程簡潔明了、概念清楚，易于教學。

［1］吳持恭.水力學與山區河流開發保護國家重點實驗室（四川大學）.水力學（第4版）（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2008：76-80.

一個簡潔的圣維南方程組推導過程

李占松 師冰雪

The Saint-Venant equations are the basic differential equations of unsteady gradual flows in open channels.It consists of the continuous differential equation and motion（energy）differential equation.Because the gradually varied flow is unsteady and the movement elements changed with the changing of flow path and time，we can only consider the first order trace and neglect the second order trace when the continuous differential equation is derived.The open channel flow is a gravity flow resulted from the change of water level.When the motion（energy）differential equation derived，the water level is taken as consisting of the bottom elevation and the depth of the water，then the two parts are analyzed independently，differentiate the effect of gravity and pressure on the flow.This derivation is concise and clear and also easy for teaching.

hydraulics；open channel flow；unsteady flow；the Saint-Venant equations

G642文獻標志碼：A文章編號：2096-000X（2016）18-0097-02

李占松（1965-），男，漢族，河南長葛人，副教授，博士，主要從事計算水力學及工程水力學方面的研究。