高中數學不等式恒成立問題的解題思路分析

吳永貴江蘇鹽城市大豐區南陽中學

高中數學不等式恒成立問題的解題思路分析

吳永貴
江蘇鹽城市大豐區南陽中學

在高中數學教學當中，不等式恒成立的問題是一個十分重要的題型，在很多知識板塊當中，都包含了這一數學問題。例如函數、不等式、數列、三角、方程等，都能夠體現出這一知識點。基于此，本文主要探討了高中數學不等式的恒成立問題及其解題思路。

高中；不等式恒成立；解題思路

由于不等式恒成立的問題具有較高的思維層次、多樣的表現形式、廣泛的實際內容，因而在很多考試當中，都屬于十分常見的題型。在不等式當中，包含了不等式、導數、圖像、一次函數、二次函數等方面的知識，并且融合了化歸、函數方程、數形結合、換元等數學思想。

一、不等式恒成立求實數取值范圍的題型

在高中數學不等式恒成立問題的解題過程中，不等式恒成立求實數取值范圍的題型是一種十分重點的題型，在解決此類提醒的過程中，配方法是一種較為實用的方法。基于對函數結構形式的掌握和理解，對未知數進行轉換，使之成為完全平方式，然后根據偶次方非負數的特點，對函數最值進行求解。

例2：已知函數f（x）=（x2+2x+a）/x，不等式f（x）＞0在x∈[1，+∞）時恒成立，求實數a的取值范圍。

在解決該題的過程中，x∈[1，+∞）是已知條件，因此，對于f（x）＞0的問題，可以轉變為解決一元二次不等式，即x2+2x+a＞0即可。

解：由于不等式f（x）＞0成立的條件為x∈[1，+∞），也就是x2+ 2x+a＞0，因此，對式中的參數變量進行分離，可得出a＞－x2－2x=－（x+1）2+1。對于得到的函數g（x）=－（x+1）2+1，在x∈[1，+∞）的區間內，函數g（x）是減函數，并且其最大值為－3，因此，根據定理可知，a＞－3。

點評：在不等式恒成立求實數取值范圍的題型的解題過程中，通過對函數結構的轉化，將分數不等式恒大于0的問題，轉變為分子不等式恒大于0的問題進行解決。對參數進行了分隔，再根據相應的定理，將不等式的問題轉變為求函數最值的問題。最后，利用配方法，對函數的最大值進行了確定。

二、不等式恒成立求最值的題型

在解決高中數學不等式恒成立問題的過程當中，針對不等式恒成立求最值的題型，可以采用判別式法進行解決。此種方法主要是通過相互轉換不等式、二次函數、一元二次方程之間的關系，進而解決該類型的題目。例如，可將一元二次不等式轉換為一元二次方程或二次函數，然后通過函數一元二次方程判別式，或是函數圖形，對最終答案進行解答。在不等式恒成立求最值的題型當中，如果采用判別式法進行解決，應當對未知數的二次函數式進行構造。假設在實數集R當中，一元二次不等式恒成立，因此，在解題當中對判別式法的應用就更為簡單。

例1：已知函數f（x）=x2+bx+c，其中，b和c∈R，同時在x∈R的情況下，函數f（x）≥f’（x），證明如果滿足x≥0的條件，f（x）≤（x+c）2。假設對于任意的b、c來說，不等式f（c）－f（b）≤M（c2－b2）恒成立，求M的最小值。

解：對于第一個問題，利用導數定理可知f’（x）=2x+b。由于f（x）≥f’（x），所以，x2+bx+c≥2x+b，即x2+（b-2）x+c-b≥0。如果△=（b-2）2-4（c-b）≤0成立，就可得出c≥b2/4+1，則c≥1。因此，c≥2√（b2/4+1）=丨b丨。因此，2c-b=（c-b）+（c-1）+1＞0。由此可知，如果x≥0，則（x+c）2-f（x）=（2c-b）x+c2-c≥0。因此，在x≥0的條件下，f（x）≤（x+c）2。

對于第二個問題，根據之前的計算，能夠得出x≥丨b丨。對于這一問題，可以拆分為兩個部分進行解答。首先令c＞丨b丨，則M≥[f（x）-f（b）]/（c2-b2）。=（c2-b2+bc-b2）/（c2-b2）=（c+2b）/（c+ b）。假設t=b/c，可知-1＜t＜1。因此，（c+2b）/（c+b）=2-1/（t+1）。因此得出的函數g（t）=2-1/（t+1），其值域為（-∞，3/2）。因此，當c＞丨b丨時，M的取值范圍為[3/2，+∞）。然后令c=丨b丨，則根據上述計算可知c=2，b=±2。因此f（c）-f（b）=0或-8，同時c2-b2=0。因此，f（c）-f（b）≤c2-b2。綜上所述，M的最小值為3/2。

點評：在解決不等式恒成立求最值的題型的過程中，根據一元二次不等式恒成立的條件，將不等式列出，未知數的二元次形式不等式恒成立。在此條件下，可以采用判別式法在對函數不等式進行求解。

結論

在不等式恒成立問題的解題過程中，很多高中教師都會教學生用分離參數的方法進行解題。這種方法雖然能夠在很多題型中發揮作用，但是，在解決不同題型的過程中，不應全部使用此種方法，否則將會在一定程度上限制學生的解題思路。在實際解題當中，應當針對不同的題型，采取不同的解題思路和解題方法，從而更好的解決高中數學不等式恒成立的問題。

[1]郭喜紅.高中數學不等式恒成立問題的解題思路研究[J].數理化解題研究(高中版),2013,12:22.

[2]曹志新.高中生解不等式困難點的研究[D].東北師范大學, 2012.