五點定橢圓的尺規作圖方法

【摘要】已知橢圓上五點，確定橢圓圓心、主軸方向和長軸短軸等三個步驟，尺規作圖橢圓.

一、通過五點尋找橢圓圓心

原理：通過已知的五點，作橢圓的切線，獲得橢圓割線的極點，將割線中點和割線極點和連接，其延伸線必定通過橢圓的圓心.

橢圓切線做法：帕斯卡定理（五點+切點二次）做切線，或如圖1作橢圓切線.

如圖1，已知橢圓上P，H，G，Q，A五點，利用橢圓內接四邊形PQGH確定對角線PQ和GH交叉點T，可繪制極點T的極線E F，利用橢圓內接四邊形PQAB（H）確定對角線PQ和AB（H）交叉S點（利用帕斯卡定理，新構造橢圓第六點B點，替換H點），繪制極點S的極線MN，極線MN和極線EF交于C點，C點即為PQ割線的極點.

證明：依據極點極線的對偶定理，由于 S，T為PQ極線上的二點，可知S、T極點的極線MN和極線EF相交點C，就是割線PQ的極點.

依靠極點C，利用三割線定理及阿波羅尼斯圓的調和分割性質，構造更多的橢圓臨時點.

二、確定橢圓坐標主軸方向

原理：通過已知的橢圓圓心和橢圓A、B、C三點，可構造二條共軛直徑，然后確定橢圓坐標主軸方向.

1.構造橢圓的共軛直徑

如圖2，通過A點和橢圓圓心可構造D點，連線AD為橢圓直徑，過C點作NA切線的平行線CL，割線CL即為直徑AD的共軛弦.

作直徑為AD的圓，垂直于AD過Q點作PQ，形成三角形ΔPQL.垂直于AD過圓心O點作KO線段，過K點作P L的平行線，KE和OE延伸交于E點.依據仿射原理，可知，OE即為橢圓的共軛半徑，AD和EF為二條共軛直徑.

2.構筑橢圓坐標主軸方向

如圖3，共軛半徑OE旋轉90度，獲得N點，連接NA連線，獲得NA中點K，以K點為圓心作一個任意半徑的圓，與KO交于W點，與NA交于H，G二點.則WG為橢圓長軸方向，HW為橢圓短軸方向，完成橢圓坐標主軸方向確定.

三、確定橢圓長軸a和短軸b

原理：已知橢圓圓心和橢圓坐標主軸方向，已知橢圓上二點，利用極點極線關系公式，確定橢圓長軸a和短軸b位置.

如圖4，作B點獲得軸對稱C點，連線AC延伸與橢圓長軸交于N點，則N點與C點對偶關系.連線QN，K為QN中點，以K圓心半徑為KN畫圓，過O點作圓K的切線OH，以OH為半徑原點O為圓心作一個圓，與 x軸交于F點，F點即為長軸a位置.同理可以完成橢圓短軸b位置.

令：OQ=c，ON=l，則：l=a2c.

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