探秘丟番圖

時杰

【摘要】本文從丟番圖的生平事跡、墓志銘、著作等方面對丟番圖進行了介紹，重點介紹了《算術》和丟番圖方程，以期讀者對“代數學之父”有所了解，并激發讀者對代數學的興趣，進而投身對代數學的研究.

【關鍵詞】丟番圖；代數學；《算術》；丟番圖方程

一、丟番圖的生平事跡

丟番圖是希臘數學家，關于丟番圖的生平，人們知道得很少，但是可以肯定，丟番圖在二次方程式有杰出的貢獻，并將希臘人已完成的代數成果加以匯集編目，被譽為代數學的鼻祖.希臘數學自畢達哥拉斯學派后，數學的重心就在幾何，他們認為只有經過幾何論證的命題才是可靠的.為了邏輯的嚴密性，代數也披上了幾何的外衣.一切代數問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入了幾何的模式之中.直到丟番圖，才把代數解放出來，擺脫了幾何的羈絆.他認為代數方法比幾何的演繹陳述更適合于解決問題，而且在解題的過程中展示出的高度的巧思和獨創性，在希臘數學中獨樹一幟.他被后人認為“代數學之父”實至名歸.

二、丟番圖墓志銘

在《希臘詩文選》中，收錄了一個特別有趣的丟番圖墓志銘：墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地記錄了所經歷的道路.上帝給予的童年占六分之一，又過十二分之一，兩頰長胡，再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭.五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓.悲傷只有用數論的研究去彌補，又過四年，他也走完了人生的旅途.

用這樣的方式記載了他享年的秘密，這相當于一元一次方程：1[]6x+1[]12x+1[]7x+1[]2x+4=x，x=84.由此知他享年84歲.

從墓志銘中也看出，研究數學需要能吃苦，能忍受寂寞，也正是丟番圖將喪子之痛化為研究數論的力量，才有了如此巨大的貢獻.

三、巨著《算術》

希臘時代“算術”一詞，主要指“數的理論”，即相當于現在的“數論”.而數字的加減乘除等運算則叫做“計算的技巧”，兩者有明顯的區別.這種分法從畢達哥拉斯時代開始，一直延續到近代，如高斯的數論名著就叫做《算術研究》.

他的《算術》是一部巨著，它在歷史上影響之大，對后來數論學者有很深的影響，可媲美歐幾里得的《幾何原本》.《算術》研究數論，討論一次、二次以及個別的三次方程，還有一些不定方程，對于具有整系數的不定方程，如果只考慮其整數解，這類方程被稱為丟番圖方程，它是數論的一個分支，不過丟番圖并不求解整數解，而只要求是正有理數解.

從另一個角度看，《算術》一書也可以歸入代數學的范圍.代數學區別于其他學科的最大特點是引入了未知數，并對未知數加以運算，根據問題的條件列出方程，然后解方程求出未知數.

《算術》也有未知數，這未知數一般就是問題的答案，一切運算只允許對已知數來施行.在代數中既然要對未知數加以運算，就需要用某種符號來表示它.從引入未知數，創設未知數符號以及建立方程的思想這幾方面來看，丟番圖《算術》完全可以算得上是代數.當時代數學沒有專門的名稱，algebra是9世紀花拉子米以后才出現的名詞，而且直到17世紀還沒被歐洲人普遍接受.在《算術》中，丟番圖采用了一套數學符號來表示未知量，他也是首位用符號來表示冪的數學家.丟番圖將這方面的成果冠以算術之名是很自然的.

丟番圖《算術》中最有名的一個問題是第2卷問題8，丟番圖的表述是：

將一個已知的平方數分為兩個平方數.

用現代符號表述這個問題就是：已知平方數Z2，求數x和y，使得x2+y2=Z2.在丟番圖的著作里，所有的數都是指正有理數.

丟番圖以Z2=16為例來說明他的解法.他先設第一個平方數為x2，則另一個是16-x2，所以問題變成要求16-x2是平方數y2.設y=mx-4，m是某一整數，例如m=2，于是有16-x2=4x2-16x+16，解得x=16[]5，12[]5.當然這個方程還有其他解，可惜的是丟番圖只寫出一組解.

這個問題有名是因為17世紀法國數學家費馬在閱讀拉丁文本《算術》時對該問題所作的一個邊注，引出了后來舉世聞名的“費馬大定理”，這也說明丟番圖這部著作對后世的影響.

當然《算術》以問題集的形式收錄題目，卻沒有分類標準，基本上是一題一解法，使人眼花繚亂，于是有人說：研究了丟番圖的一百道題以后，還不知道怎樣去解第一百零一道題.丟番圖沒有著力去探求一般性的解法，或去研究多種解法之間的內在聯系，這是《算術》的最大缺點.

四、丟番圖方程

如前問所述，丟番圖方程是具有整系數的且只考慮整數解的不定方程.在丟番圖方程中，各種形式的不定方程是無窮無盡的，但解決問題的方法，從古至今都是不同的問題用不同的方法，其中顯示了人類高度的智慧.人們自然要問，是否存在一個一般的解不定方程的方法？這個問題的特殊情形是屬于D.Hilbert第十問題的，這個問題的一般回答是否定的.D.Hilbert第十問題比較復雜，有興趣的讀者可以查閱文獻.

解丟番圖方程由于沒有一個一般的方法，因而它向人類的智慧提出了挑戰.有一些看上去簡單的方程，但解決起來卻是相當困難，例如求不定方程

1+x2=2y4的正整數解x，問題.

通常，解一個丟番圖方程很大程度上由人們的數學基礎和研究經驗決定.這常常導致初學者望而生畏.但也有些初學者不了解丟番圖方程的內容，以為丟番圖方程是從屬于初等數論的，就是初等數論中的幾個小玩意兒，因此，許多初學者在不具備一定數學基礎的同時，就不切實際地去試圖證明Fermat大定理.

人們為了解決一些很難的丟番圖方程，創立了許多數學方法，例如代數數論方法，padic方法和丟番圖逼近方法等，這些方法大大豐富了數論的內容，同時也為我們求解更廣泛地丟番圖方程提供了有力的工具.