高中數學中分類討論思想的探究

李冬明

【摘要】分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想對于簡化研究對象，發展人的思維有著重要幫助，因此，有關分類討論的數學命題在高考試題中占有重要位置.要掌握這一重要的數學思想方法，需要搞清楚兩個問題，即為什么要討論，怎樣討論.

【關鍵詞】分類討論；數學思想

分類討論思想是當問題的對象不能進行統一研究時，就需要對研究的對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結論，最終綜合各類結果得到整個問題的解答，實質上分類討論就是“化整為零，各個擊破，再集零為整”的數學思想.要用好分類討論的思想解決問題必須注意以下幾個方面.

一、弄清分類討論的原因

（1）由數學概念而引起的分類討論：如絕對值的定義，不等式的定義，二次函數的定義，直線與平面所成的角，直線的傾斜角，兩條異面直線所成的角等問題.

（2）由數學運算引起的分類討論：如導數的正負號，除法運算中除數不為零，偶次方根為非負數，不等式兩邊同乘以一個正數、負數，三角函數的定義域，對數運算中真數與底數的要求等問題.

（3）由函數的性質、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數的單調性、等比數列的前n項和公式等問題.

（4）由參數的變化而引起的分類討論：如含參數的方程、不等式，含參數的函數的單調性、值域（最值）等問題.

（5）由圖形不確定引起的分類討論：如角的終邊所在的象限，點、線、面的位置關系等問題.

（6）其他根據實際問題具體分析而引起的分類討論：如排列組合，概率等實際問題.

二、確定分類討論依據

實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略.對于何時需要分類討論，則要視具體問題而定，并無規定.但可以在解題時不斷地總結經驗.常見的情形略舉以下幾例：

1.依據數學概念分類討論

例1 已知集合A和集合B各含有10個元素，A∩B含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數：①CA∪B且C中含有3個元素；② C∩A≠.

解析 由已知并結合集合的概念，C中的元素分兩類：①屬于A 元素；②不屬于A而屬于B的元素.并由含A中元素的個數1、2、3，而將取法分三種.

點評 當已知條件不能確定圖形的位置時，在求解或證明過程中，則需根據可能出現的圖形位置進行分類.此類問題在立體幾何和解析幾何中較為常見.

三、把握分類討論應遵循的原則和步驟

1.原則：分類的對象是確定的，標準是統一的，其中最重要的一條是“不漏不重”.

2.基本步驟：（1）分類轉化，結合已知所涉及的知識點，找到合理的分類標準；（2）依次求解，在每一類所滿足的條件下，逐類求解；（3）匯總作答，匯總分類結果，得出結論.

四、分類討論應注意的問題

在運用分類討論解題時，我們要明確分類的原因是什么？對象是什么？分幾個類別？不僅要掌握分類的原則，而且要把握分類的時機，重視分類的合理性與完整性.

分類討論思想是高中數學中一種重要的解題策略，對于培養學生邏輯思維的嚴密性、嚴謹性和靈活性以及提高學生分析問題和解決問題的能力無疑具很大的幫助.如果能很好地掌握這種分類討論思想，再聯系數形結合的思想、函數與方程思想等解題思想方法，則必可在解決高中數學中一些綜合性難題的時候，達到迅速、準確的解題目的.