輔助圓的妙用

仇喜勤

【摘要】合理添加輔助圓，對(duì)于解析平面幾何題，常會(huì)起到事半功倍的作用，因此，本文以實(shí)題為例，闡述合理添加輔助圓解題思維和技巧在實(shí)際解題過(guò)程中的運(yùn)用，顯現(xiàn)其四兩撥千斤的靈妙作用.

【關(guān)鍵詞】輔助圓；妙用

我們?cè)诮馄矫鎺缀晤}時(shí)，最棘手的莫過(guò)于添加輔助線.常用添加輔助線的方法，有連接、延長(zhǎng)、平移或旋轉(zhuǎn)，這些都是對(duì)直線而言的.至于利用輔助圓解（證）平面幾何題，雖不如直線那么為人所熟知，但如果輔助圓添加合理，同樣可以使分散的條件集中、隱蔽的條件明顯；同樣使條件與結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)形象直觀；同樣可以溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系.因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，將已知條件、欲求結(jié)論及所給圖形三個(gè)特點(diǎn)進(jìn)行認(rèn)真分析、思考，即可發(fā)現(xiàn)，適當(dāng)添加輔助圓，可起到“搭橋鋪路”的作用.下面舉例說(shuō)明：

一、運(yùn)用四點(diǎn)共圓的判定方法添加輔助圓

四點(diǎn)共圓是一個(gè)常用的知識(shí)，它除了可以靈活運(yùn)用于角與角之間的等量轉(zhuǎn)換外，還可以解決與圓冪定理（相交弦定理和切割線定理）相關(guān)的問(wèn)題.四點(diǎn)共圓的判定是個(gè)難點(diǎn)，現(xiàn)歸納總結(jié)出四點(diǎn)共圓的幾種常用判定方法，以解決添加輔助圓的問(wèn)題.一是直接找出一點(diǎn)到所正四點(diǎn)的距離相等；二是證明四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或外角等于內(nèi)對(duì)角；三是利用相交弦定理或切割線定理的逆定理證明四點(diǎn)共圓；四是證明線段同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)對(duì)線段的張角相等，則這兩個(gè)點(diǎn)與線段的兩個(gè)端點(diǎn)共圓.

對(duì)于在已知條件的線上找點(diǎn)與已知點(diǎn)構(gòu)成一定的角的問(wèn)題，如果能根據(jù)題目的題設(shè)和結(jié)論，構(gòu)造出符合題意特征的輔助圓，即把題目中的固定角轉(zhuǎn)化為圓的圓周角問(wèn)題，就能使問(wèn)題得以順利解決，這種方法利用數(shù)形結(jié)合，使代數(shù)與幾何等知識(shí)相互滲透，綜合應(yīng)用，它不但能較好的達(dá)到解題的目的，還有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力.

綜上所述，我們可以把某些與定點(diǎn)成定角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓周角問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，則能輕易加以解決.

可見(jiàn)，只要我們認(rèn)真分析題意，靈活聯(lián)系知識(shí)，巧妙借助輔助圓，尤其添加輔助圓，必能達(dá)到以一博十、出奇制勝的效果.