排列組合中的易錯問題

張小松

【摘要】排列組合問題通常涉及多種情況，需要進行分類討論，解題過程中若分類或分步不正確，容易重復或者遺漏，從而導致出錯；特殊元素特殊位置比較多時，考慮不全面也易導致計算不正確；本文結合例題，分析了排列組合問題的易錯點.

【關鍵詞】排列組合；特殊元素；重復；遺漏

例1 三部車床加工四個不同的零件，不同的加工方法有種.

錯解 每一部車床都可加工四種零件，所以一共有 43=64 種加工方法.

錯解分析 混淆了“元素”與“位置”的主次關系，分步不正確，應視零件為“元素”，車床視為“位置”.

正確解答 第一個零件有3種加工方法，第二個零件有3種加工方法，第三個零件有3種加工方法，同樣第四個零件也有3種加工方法，則一共有34=81種加工方法.

例2 5名同學站成一排，其中女生3名，男生2名，要求男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位相鄰，則不同的站法共有種.

A.60B.48C.42D.36

錯解1 （1）第一類女生在兩端，先用捆綁法選兩名女生排列，再與第三名女生排列，最后兩位男生在中間排列：A23A22A22=24；（2）第二類男生乙在兩端，再選中間兩個位置給女生，剩下的一個中間位置排甲，另一個位置排第三名女生，共C12C23A22=12種排法；兩類情況相加得總排法數為36種，答案為D.

錯解分析1 特殊元素特殊位置多引起混亂，第二類中忽略了3個女生之間可排列的情況.

錯解2 為保證女生分開（1）第一類先將甲排在中間，乙也在中間，剩余三位女生排列：C23C12A33=36.（2）第二類將甲排在五個位置中的正中間，乙和三位女生排列在兩邊位置：A44=24；……